李志 涂幾會(huì)

[摘 要]小數(shù)概念課教學(xué)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要部分，理解小數(shù)的概念，為學(xué)習(xí)小數(shù)的大小比較、小數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)的加減法以及解決實(shí)際問(wèn)題奠定知識(shí)基礎(chǔ)。在教學(xué)小數(shù)概念時(shí)，教師要關(guān)注三個(gè)核心概念，滲透三種重要的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)認(rèn)知過(guò)程中的五個(gè)不同層次。通過(guò)“三三五教學(xué)策略”，提高小數(shù)概念課教學(xué)的有效性。

[關(guān)鍵詞]小數(shù)概念課教學(xué);有效性;核心;思想方法

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）11-0047-03

小數(shù)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)τ谡麛?shù)離散性到小數(shù)的稠密性的一次重要擴(kuò)充。而小數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要部分，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)小數(shù)是數(shù)域的一次擴(kuò)充。關(guān)于小數(shù)概念的教學(xué)，人教版教材分兩個(gè)階段進(jìn)行，第一階段安排在三年級(jí)下冊(cè)，第二階段安排在四年級(jí)下冊(cè)。三、四年級(jí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵時(shí)期，況且，小數(shù)的概念是小數(shù)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，所以提高小數(shù)概念課教學(xué)的有效性就尤為重要。在小數(shù)概念課教學(xué)中，教師要把握小數(shù)的核心概念，滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、關(guān)注小數(shù)概念的三個(gè)核心，深入理解小數(shù)的含義

1.小數(shù)意義的理解。對(duì)于小數(shù)的概念，三年級(jí)教材是這樣定義的——像3.45、0.85、2.60、36.6……這樣的數(shù)叫作小數(shù)，采用描述性方式表達(dá)了什么是小數(shù)，通過(guò)舉例的方式讓學(xué)生初步感知什么是小數(shù)。三年級(jí)學(xué)生初步接觸小數(shù)，主要在具體的情境中理解小數(shù)的意義，對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)更多的是建立在生活中熟悉的具體量或者直觀圖形的基礎(chǔ)之上的，是感性的。到了四年級(jí)，教材是這樣描述小數(shù)的：分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)可用小數(shù)來(lái)表示，采用描述的方式定義什么叫小數(shù)。盡管已經(jīng)建立在具體量與直觀或半直觀模型之上的，但是四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)最終需要脫離具體的量與圖形，抽象概括出小數(shù)的意義，認(rèn)識(shí)小數(shù)的本質(zhì)，理解小數(shù)就是在不斷分的過(guò)程中產(chǎn)生的。因此，在設(shè)計(jì)每個(gè)階段的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，教師一定要把握教材的教學(xué)尺度與要求，不拔高、不降低標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)合理地安排教學(xué)內(nèi)容。

2.小數(shù)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)。數(shù)的認(rèn)識(shí)有兩個(gè)維度，一是數(shù)的產(chǎn)生，二是數(shù)的組成。二者相輔相成，互相解釋驗(yàn)證。任何一次數(shù)域的擴(kuò)充都是來(lái)自于生產(chǎn)生活。小數(shù)的產(chǎn)生也不例外。三年級(jí)下冊(cè)教材在“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”起始課就創(chuàng)設(shè)了大量的生活場(chǎng)景，商品的重量和價(jià)格、學(xué)生的體溫、兒童的身高等大量的、學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生感知小數(shù)產(chǎn)生的必要性和用小數(shù)記錄的便捷性。這是來(lái)自實(shí)物的計(jì)數(shù)，還需要向抽象出小數(shù)的本質(zhì)屬性過(guò)渡，圖示便是最好的表達(dá)方式。有一位教師在“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課中設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：出示一張被平均分成10份的長(zhǎng)方形紙，將其中6份涂色，問(wèn)學(xué)生用哪個(gè)數(shù)表示涂色的部分。學(xué)生想到0.6，因?yàn)槔锩嬗?個(gè)0.1;教師繼續(xù)在第7份中涂了一點(diǎn)顏色，問(wèn)“還能用0.6表示嗎？”一步步引導(dǎo)學(xué)生把第7份平均分成10份，進(jìn)而想到把這個(gè)長(zhǎng)方形平均分成100份，得到0.61;如果再增加一份呢？……增加到0.66后接著分析兩個(gè)6是否一樣，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)第一個(gè)6表示6個(gè)0.1，第二個(gè)6表示6個(gè)0.01。這樣，學(xué)生對(duì)小數(shù)計(jì)數(shù)的產(chǎn)生就有比較深刻的認(rèn)識(shí)了。學(xué)生經(jīng)歷了小數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，很好地理解了小數(shù)的計(jì)數(shù)單位。如果學(xué)生不理解小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，很難深入地理解小數(shù)的意義。一個(gè)小數(shù)十分位上的數(shù)字，它的計(jì)數(shù)單位是十分之一，表示幾個(gè)十分之一;百分位上的數(shù)字，它的計(jì)數(shù)單位是百分之一，表示幾個(gè)百分之一;千分位上的數(shù)字，它的計(jì)數(shù)單位是千分之一，表示幾個(gè)千分之一……比如0.35，可以看成是由35個(gè)0.01組成，也可以看成由3個(gè)0.1與5個(gè)0.01組成。小數(shù)的計(jì)算單位是小數(shù)的一個(gè)核心概念，通過(guò)數(shù)計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位，通過(guò)分一個(gè)計(jì)數(shù)單位，也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)更小的新的計(jì)數(shù)單位，讓學(xué)生感受相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10。

3.十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。整數(shù)采用的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，在表示小數(shù)的時(shí)候同樣適用。小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式，學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，才能夠?qū)⑿?shù)、分?jǐn)?shù)與整數(shù)三者聯(lián)系起來(lái)，建立比較完整的數(shù)的體系。如何幫助學(xué)生理解小數(shù)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法呢？一位教師在教學(xué)了一位、兩位、三位小數(shù)以后，出示一個(gè)動(dòng)畫課件：1個(gè)正方體，把正方體平均分成10份并將其中的1份涂色，把正方體平均分成100份取其中的1份，把正方體平均分成1000份取其中的1份。從圖中發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)“1”不斷地疊加就得到了10、100、1000……把自然數(shù)1不斷地平均分成10份、100份、1000份……就得到了0.1、0.01、0.001……反過(guò)來(lái)看，10個(gè)0.001就是0.01，10個(gè)0.01就是0.1，10個(gè)0.1就是1，10個(gè)1就是10……最后用一句話總結(jié)，就是每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10，巧妙地讓學(xué)生理解了小數(shù)與整數(shù)一樣，也可采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

二、滲透三種思想方法，豐富小數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)涵

1.培養(yǎng)數(shù)感。 托拜厄斯·丹齊克（Tobias Danzig，1967）于1954年引入了“數(shù)感”這一術(shù)語(yǔ)，將之描述為：在個(gè)體沒(méi)注意到的情況下，在一小堆物體中增加或者移除一個(gè)物體后，個(gè)體能夠意識(shí)到這堆物體發(fā)生了變化的能力。小數(shù)的數(shù)感是什么呢？比如說(shuō)看到1.7能馬上想到量，想到1.7元，想到一個(gè)作業(yè)本的價(jià)錢，一支圓珠筆的價(jià)錢，等等;或者是能馬上想到1.7的大小，1.7在哪兩個(gè)整數(shù)之間。那么如何在小數(shù)概念課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢？

首先，要結(jié)合具體的量，比如用長(zhǎng)度單位來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義。例如認(rèn)識(shí)0.35時(shí)，看到0.35馬上聯(lián)想到0.35米，知道0.35米是35厘米，可從米尺上找到0.35米的長(zhǎng)度，也可用手大概比畫出0.35米的長(zhǎng)度，等等。其次，教師還可以在不斷地猜數(shù)字的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，如教師寫下一個(gè)小數(shù)，提示“它比0.6大，比0.8小”，然后采用區(qū)間套逼近的方法讓學(xué)生不斷地去猜小數(shù)，用大得多、大一些、小得多、小一些等詞語(yǔ)幫助學(xué)生猜，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

2.建立模型思想。數(shù)學(xué)模型是指對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了達(dá)到某種特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具將對(duì)象轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在小數(shù)概念課中教師應(yīng)注重模型思想的滲透。例如，一個(gè)具體的小數(shù)0.3就是一個(gè)數(shù)字模型。首先，要在實(shí)際情境中提煉出0.3：把一張長(zhǎng)方形紙平均分成10份，涂色3份，用0.3表示。其次，拓展模型的外延，給這個(gè)數(shù)字模型賦予更多的生活意義。如“表示你心中的0.3”，學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中，得出了不同的答案，有的加單位分米，得到0.3分米，在直尺上找到了0.3分米;有的加元，得到0.3元，用語(yǔ)言表述0.3元的意義;有的用正方形分一分表示0.3……在這里，把0.3這個(gè)抽象的數(shù)字看成一個(gè)模型，學(xué)生用生活中的情境講述了0.3的意義，更重要的是初步滲透了數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練了學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。通過(guò)思維的發(fā)散與聯(lián)想讓學(xué)生對(duì)“0.3”這個(gè)模型進(jìn)行擴(kuò)張和推廣，學(xué)生能夠深入理解0.3這個(gè)小數(shù)的本質(zhì)屬性，進(jìn)而利用遷移類推的方法來(lái)理解認(rèn)識(shí)其他的小數(shù)。

3.滲透極限思想。極限思想是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。簡(jiǎn)單地說(shuō)，極限是一種趨向性，無(wú)窮無(wú)盡。小數(shù)的產(chǎn)生就是一個(gè)不斷進(jìn)行平均分的過(guò)程。一位教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：用0、2、3和一個(gè)小數(shù)點(diǎn)組成一個(gè)最小的小數(shù)（學(xué)生得到0.23），如果加上單位“米”就是0.23米，你能在軟尺上找到0.23米嗎？在軟尺上找到0.023米，表示2厘米3毫米;找到0.0023米，表示2毫米3絲米;找到0.00023米，表示2絲米3忽米;找到0.000023米，表示2忽米3微米，雖然這個(gè)小數(shù)很小很小，可是科技工作者卻非常在乎這樣的小數(shù)，你知道為什么嗎？

學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，在一次一次對(duì)未知長(zhǎng)度單位的猜測(cè)中，在一次一次找尋長(zhǎng)度的體驗(yàn)中，流淌著他們對(duì)長(zhǎng)度及單位不斷變化的真實(shí)感受。隨著對(duì)小數(shù)的深入認(rèn)識(shí)，他們清楚地看到都是用0、2、3來(lái)表示的數(shù)，長(zhǎng)度卻在逐步地縮小再縮小，小到已經(jīng)很難用肉眼分辨，就在放大鏡下繼續(xù)分、再分、繼續(xù)分。學(xué)生也知道了，有些小數(shù)是可以用眼睛看到的，但是有些小數(shù)看不到只能想象。此時(shí)，學(xué)生深深地領(lǐng)悟中間總是有空隙的，是很小很小的空隙。學(xué)生頭腦中已經(jīng)開(kāi)始萌發(fā)數(shù)學(xué)的極限思想，學(xué)生也知道了小數(shù)的出現(xiàn)是為了更精確地認(rèn)識(shí)數(shù)，同時(shí)還體會(huì)到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)與真實(shí)性。

三、經(jīng)歷五個(gè)認(rèn)知層次，科學(xué)有效地掌握小數(shù)知識(shí)

德恩特蒙特認(rèn)為，小數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程包括五個(gè)不同的層次：具體物的層次、操作說(shuō)明的層次、程序的層次、心智的層次和抽象的層次。

1.具體實(shí)物的層次。這是小數(shù)學(xué)習(xí)的第一個(gè)步驟，通俗地說(shuō)，就是聯(lián)系生活實(shí)際，引出學(xué)習(xí)的素材。例如，一位教師在教學(xué)“小數(shù)的意義”這節(jié)課時(shí)，拿出了一個(gè)運(yùn)動(dòng)會(huì)中用過(guò)的別針，問(wèn)道：“這種別針多少錢一個(gè)？”有學(xué)生答道：“1角?！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“0.1元?！苯處熇^續(xù)提問(wèn)：“難道1角=0.1元？0.1元表示什么意義？0.01元表示什么意義？本節(jié)課我們就一起來(lái)研究0.1、0.01、0.001等小數(shù)的意義?！痹谶@里，探究的素材就是來(lái)源于學(xué)生熟悉的具體物件，它是實(shí)實(shí)在在的，不陌生的。

2.操作說(shuō)明的層次。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，將物轉(zhuǎn)化成直觀的可操作的形，直觀地解釋某一個(gè)具體物中小數(shù)的含義?！耙粋€(gè)別針0.1元”，這里的0.1元到底是什么意思？教師把量轉(zhuǎn)化成圖：“如果把1元看成一張正方形的紙，那么1角會(huì)占這一張紙的多大一塊？”學(xué)生一開(kāi)始的表達(dá)是不完整的，但互相補(bǔ)充以后就得到了1元=10角，“把1元看成一張正方形的紙，把這張紙平均分成10份，1角就占其中的一份，用分?jǐn)?shù)表示是十分之一元，用小數(shù)表示是0.1元，其中的0表示0元，1表示1角”。在操作的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)實(shí)際情境與圖形雙重素材初步感知了0.1的含義。結(jié)合1元=100分，學(xué)生也會(huì)通過(guò)此種操作理解0.01元的意義。

3.程序操作的層次。會(huì)使用操作法則直觀理解多個(gè)小數(shù)。學(xué)生初步理解了0.1元或者是0.01元的意義并不代表能夠理解其他小數(shù)的意義，他們知道了把1元平均分成10份，取出其中的一份就是十分之一元，也就是0.1元，那么按照剛才的操作程序，取出2份、3份呢，他們會(huì)嗎？為了讓學(xué)生更深一步理解，教師需要引導(dǎo)學(xué)生按程序來(lái)進(jìn)一步操作：“我們知道了1角、十分之一元與0.1元之間的關(guān)系，在圖中你還看到了幾角？它可用哪個(gè)分?jǐn)?shù)和小數(shù)來(lái)表示呢？為什么？”按照這樣的程序操作，能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)一位小數(shù)的理解。對(duì)于兩位小數(shù)的操作，就可放手讓學(xué)生自己去創(chuàng)造：給每位學(xué)生一張正方形的紙，讓學(xué)生按照操作程序創(chuàng)造出自己喜歡的小數(shù)，然后與同桌交流自己的創(chuàng)作方法。這樣，學(xué)生通過(guò)具體的元、角、分之間的關(guān)系與直觀圖形的結(jié)合，進(jìn)一步理解了一位小數(shù)與兩位小數(shù)的意義。

4.心智模式的層次。大部分學(xué)生雖然在程序操作層次時(shí)的表現(xiàn)還算不錯(cuò)，但還無(wú)法達(dá)到最后一個(gè)層次，可見(jiàn)應(yīng)該還有一個(gè)介于這兩者之間的層次，即心智模式的層次。比如把一個(gè)正方形平均分成10份后，學(xué)生能找到0.1、0.8等小數(shù)，能結(jié)合具體的元、角、分情境說(shuō)出這些小數(shù)的意義，但是這里的理解僅僅是就事論事、就物論物、就圖論圖，脫離了元、角、分以及圖形的分一分，學(xué)生還能理解0.4的意義嗎？例如教師拿出一根4分米的繩子，提問(wèn)：“如果用米做單位，這是多少米呢？”這個(gè)時(shí)候，學(xué)生就會(huì)有一個(gè)心智快速活動(dòng)的過(guò)程，物變了，不再是人民幣了，圖也變了，不再是正方形了，他們通過(guò)思考，可能會(huì)直接用語(yǔ)言表達(dá)，也有可能會(huì)通過(guò)畫圖的方式表達(dá)，不管怎樣，這都是一個(gè)舉一反三、獨(dú)立思考的過(guò)程，是一個(gè)量變到質(zhì)變的過(guò)程。教師也可為學(xué)生提供幾個(gè)學(xué)具，例如讓學(xué)生從米尺、數(shù)軸、溫度計(jì)、健康秤中任意選出一種學(xué)具表示一個(gè)具體的小數(shù)，讓學(xué)生創(chuàng)造小數(shù)，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，清楚一位小數(shù)或兩位小數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，理解小數(shù)的意義。

5.抽象概括的層次。此時(shí)學(xué)生對(duì)于小數(shù)的感知已經(jīng)能夠脫離具體的量與圖而存在了，他們對(duì)于“0.3表示什么？0.7表示什么？”以及“為什么”都能給出合理的解釋，學(xué)生只有達(dá)到這個(gè)層次，才算真正直達(dá)小數(shù)知識(shí)的核心——小數(shù)概念的理解。這個(gè)時(shí)候，教師再組織學(xué)生抽象概括一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)的意義就比較容易了。

德恩特蒙特認(rèn)為，在上述層次中，每一種層次都是被外面的層次逐層所包裹的，小數(shù)概念的建立是小數(shù)知識(shí)的起點(diǎn)，也是核心，學(xué)生為了要獲得小數(shù)的概念性知識(shí)，必須層層剝離，從物到形，從物形結(jié)合又回到數(shù)，從數(shù)再回到生活，這樣的一個(gè)過(guò)程，才是學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷的一個(gè)小數(shù)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程。

總之，在小數(shù)概念課的教學(xué)中，教師要“吃透”核心概念的內(nèi)涵與外延;滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，關(guān)注小數(shù)概念課教學(xué)的三個(gè)核心，滲透三種思想方法，從而真正提高小數(shù)概念課教學(xué)的有效性。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 王光明，范文貴.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)·小學(xué)數(shù)學(xué)[M]北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 托拜厄斯·丹齊克. 數(shù)：科學(xué)的語(yǔ)言：為有文化而非專攻數(shù)學(xué)的人寫的評(píng)論性概述 [M].蘇仲湘，譯.上海：上海教育出版社，1985.

[3] 史寧中.數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，2018.

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[5] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

（責(zé)編 黃春香）