趙亞文，叢 屾

(黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著現(xiàn)代電力系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)模的逐步擴(kuò)大，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程也變得更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的控制方式已無法滿足其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的控制要求[1]。二次系統(tǒng)是保證電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行及電能質(zhì)量的基本組成部分，特別是基于相量測(cè)量單元(PMU)的廣域量測(cè)技術(shù)(WAMS)的發(fā)展推動(dòng)產(chǎn)生了電力系統(tǒng)的全局化控制[2-4]。然而，在廣域環(huán)境下(特別在遠(yuǎn)距離傳輸時(shí))檢測(cè)并控制系統(tǒng)的運(yùn)行必然存在著測(cè)量和控制環(huán)節(jié)中的時(shí)間延遲現(xiàn)象。有研究表明，在這些環(huán)節(jié)中很小的時(shí)滯都有可能對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行造成致命影響[5-6]。因此，研究二次系統(tǒng)中的時(shí)滯對(duì)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響具有十分重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義[7-8]。

就一般的時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)而言，穩(wěn)定性分析方法主要可分為頻域法和時(shí)域法。由于電力系統(tǒng)自身具有的參數(shù)不確定性及時(shí)滯的時(shí)變性，時(shí)域法更適用于其穩(wěn)定性分析。時(shí)域法中的核心是Lyapunov穩(wěn)定性原理及Lyapunov-Krasovskii泛函(L-K泛函)方法；優(yōu)點(diǎn)在于L-K泛函的構(gòu)造與解析過程可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題加以有效求解，不足之處在于其不可避免地具有一定的保守性。因此，通過適當(dāng)?shù)臉?gòu)造與解析技巧降低L-K泛函方法的保守性成為分析廣域電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的核心問題。

基于以上分析，建立了區(qū)間變時(shí)滯電力系統(tǒng)模型；提出一種新的增廣向量和一種新的L-K泛函構(gòu)造方法。在L-K泛函的解析過程中對(duì)積分區(qū)間進(jìn)行分段處理并結(jié)合Wirtinger積分不等式有效地減少了分析結(jié)果的保守性。通過經(jīng)典的單機(jī)-無窮大系統(tǒng)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了方法的有效性。

1 時(shí)滯電力系統(tǒng)模型

在電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定分析模型中，通常用三階微分方程表示發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)過程，具體表示為

(1)

上述方程中各參數(shù)的含義見文獻(xiàn)[8-10]。因系統(tǒng)中存在時(shí)滯現(xiàn)象，運(yùn)用AVR勵(lì)磁控制方式的勵(lì)磁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程可表示為

(2)

綜上所述，存在時(shí)滯的電力系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可由式(1)和式(2)表示為

(3)

對(duì)式(3)在其平衡點(diǎn)處線性化可得

(4)

0≤h(t)≤h

其中，常量h>0為系統(tǒng)的時(shí)滯上界；常量μ1，μ2為時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上下界。

為得到本文的主要結(jié)論，需要引用以下引理。

2 時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

基于建立的廣域時(shí)滯電力系統(tǒng)模型，通過構(gòu)造新的增廣向量和L-K泛函，給出了一個(gè)新的廣域電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論。

首先，令：

對(duì)系統(tǒng)(4)構(gòu)造如下L-K泛函：

(5)

其中：

P=PT>0,W=WT>0,M=MT>0,Q=QT>0,R=RT>0,Z=ZT>0,F=FT>0。

注1：與現(xiàn)有文獻(xiàn)不同，這里引入新的增廣向量

并且構(gòu)造的泛函中包含三重積分項(xiàng)V5(t)，使得時(shí)滯的信息得到了充分的利用，從而降低了結(jié)論的保守性。

沿著系統(tǒng)(4)解軌線對(duì)V(t)求導(dǎo)可得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

結(jié)合式(6)～式(15)得

(16)

基于以上證明過程，下面給出系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定的主要結(jié)論。

定理1：給定常數(shù)h,μ1,μ2,若存在正定對(duì)稱矩陣P∈R5n×5n,W∈R2n×2n,M∈R2n×2n，Q∈Rn×n,R∈Rn×n,Z∈Rn×n,F∈Rn×n,對(duì)稱矩陣B∈R3n×3n,L∈R3n×3n,以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣G∈R3n×n,N∈R3n×n,C∈R3n×n,使得以下矩陣不等式成立，則系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的：

Π=[Eij]<0，(i,j=1,2,…,7)

(17)

E13=-P13-M12+Y11+Y21-Y12-Y22

E15=-P15+(h-h(t))(P31A+P32+P34+M21A)+2Y12+2Y22

E23=-Y11+Y21+Y12-Y22-2Z

E33=-R-4Z

E34=-h(t)P23-2Y21+2Y22

E35=(h(t)-h)P33-M22+6Z

E36=-h(t)P43

E37=(h(t)-h)P53

E55=(h(t)-h)P35-12Z-3h2F

圖1 單機(jī)-無窮大系統(tǒng)Fig.1 Single-machine infinite-bus system

3 仿真分析

通過仿真分析驗(yàn)證提出方法的有效性。

例1：選用單機(jī)-無窮大系統(tǒng)(圖1)驗(yàn)證本文所提方法的有效性，該系統(tǒng)具體參數(shù)的取值見文獻(xiàn)[14]。

在系統(tǒng)無擾動(dòng)時(shí)，采用不同的方法得到的單機(jī)-無窮大系統(tǒng)的最大穩(wěn)定裕度。利用Matlab軟件LMI工具箱求解得到的穩(wěn)定裕度：本文方法(定理1)為71.90 ms，文獻(xiàn)[4]為65.4 ms，文獻(xiàn)[7]為65.4 ms，文獻(xiàn)[8]為65.29 ms，文獻(xiàn)[10]為61.3 ms，采用本文方法得到的穩(wěn)定裕度最大，結(jié)論的保守性更小。

假設(shè)系統(tǒng)中存在勵(lì)磁放大系數(shù)擾動(dòng)：

令矩陣H,Ea,Eb分別取值為

設(shè)r∈ [0,10],分別求出當(dāng)r=0.5,1,1.5,2,…,10時(shí)，采用不同方法所得最大時(shí)滯值見表1。

隨著擾動(dòng)項(xiàng)r的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度逐漸減小。與文獻(xiàn)[8-9，14]相比，本文所得到穩(wěn)定判據(jù)的保守性更?。粨Q言之，系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域更大。

表1 不同r值求得的時(shí)滯最大值

4 結(jié) 論

考慮到時(shí)滯現(xiàn)象對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行產(chǎn)生的影響，通過建立廣域區(qū)間變時(shí)滯電力系統(tǒng)模型，利用時(shí)滯系統(tǒng)模型來分析電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性問題。通過構(gòu)造新的L-K泛函，并在解析過程中引入時(shí)滯分割及積分不等式技巧，得到了保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù)。仿真分析說明了該方法有效地?cái)U(kuò)大了系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域。