雷立, 魚先鋒

(1.商洛職業(yè)技術學院 公共基礎部， 陜西 商洛 726000； 2.商洛學院 數(shù)學與計算機應用學院， 陜西 商洛 726000)

0 引言

中藥材質(zhì)量標準是中藥材產(chǎn)、供、銷、儲、用和監(jiān)督管理過程中的基本準則和法定依據(jù)[1]. 由最早記載的《神農(nóng)本草經(jīng)》和《雷公炮制論》，到《本草綱目》，新中國成立后，1959 年頒布了《36 種藥材商品規(guī)格標準》、1964 年頒布了《54種藥材商規(guī)格標準》、1984 年部頒布《七十六種藥材商品規(guī)格標準》，再到2015年的《中國藥典》. 經(jīng)過不斷的研究和完善，為中藥材能安全有效的使用奠定了基礎[2]. 中藥材安全有效與臨床療效相統(tǒng)一是中藥材質(zhì)量標準化的前提，而標準和法規(guī)的一致性也有利于中藥材的國際化發(fā)展[3]. 因此，根據(jù)國際市場需求和現(xiàn)有基礎，建立合理有效的中藥材質(zhì)量評價方法，形成適應中藥材特點的現(xiàn)代化中藥材質(zhì)量標準顯得尤為重要. 總體來看，中藥材商品規(guī)格等級標準研究工作相對緩慢，還處于摸索探究階段，缺少科學的研究模式. 就文獻報道，現(xiàn)已制定的中藥材商品規(guī)格等級標準只有川芎[4]、陽春砂[5]、厚樸[6]、金銀花[7]、大黃[8]、太子參[9]6 個品種，而其他中藥材均未形成適應當前產(chǎn)地和市場需求的規(guī)格等級標準, 且這些標準都是文件形式的并沒有實現(xiàn)中藥材定級估價的智能化、自動化。

中藥材外觀大小、色澤、質(zhì)地等 感官特征對評價藥材優(yōu)劣是最直觀和重要的。尤其是在制定商品規(guī)格等級標準中，傳統(tǒng)的感官評價方法大多是主觀描述性指標，這種指標準確性相對較差、經(jīng)驗傳承困難、評判結(jié) 果重現(xiàn)性差，而量化指標對于市場商品藥材流通來說，直觀、 方便、具體，又易于理解。感官評價包括定性與定量信息，化學評價一般是定量信息。因此，感官評價與化學評價相結(jié)合是當前中藥材商品規(guī)格等級標準研究的重點。

模糊集[10]理論和直覺模糊集理論[11]，是結(jié)合定量與定性信息的一種強大建模工具。筆者將其應用在模糊評價評價、模糊控制等領域已經(jīng)取得眾多的理論和應用成果[12-20]。文章將基于模糊理論建立了一個模糊評價樹模型； 用節(jié)點刻畫評價指標記錄評價數(shù)據(jù)，用樹上的邊記錄評價權(quán)重；并在節(jié)點和邊上定義合理的模糊評價算子，進行多級綜合評價對中藥材定級估價。評價過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高； 評價結(jié)果科學合理且信息量大。討論了該模型的計算復雜度。

1 模糊評價樹模型

先介紹模糊數(shù)學和模糊評價的幾個基本概念。

定義1：模糊集[20]

集合X上的模糊集合(Fuzzy set)是一個映射A:X→[0,1], 也稱為模糊集合X的隸屬函數(shù), 常記為μA，?x∈X,μA(x)稱為x屬于模糊集A的隸屬度。

定義2:模糊權(quán)重[14]

定義3:模糊評價算子

設在某一級模糊評價中有n個評價指標，評價數(shù)據(jù)是模糊向量R=(r1,r2,…rn)，?ri∈R,ri∈[0,1]為評價對象對第i個指標的隸屬度；對應模糊權(quán)重為模糊向量W=(w1,w2,…,wn)，?wi∈W,wi∈[0,1]，則評價函數(shù)定義，如式(1)。

(1)

現(xiàn)在約定一些符號。若綜合評價有m級，m∈N，評價等級標號之集(Grade Order Set)記為GOS={1,2,…,m}。實際上?i∈GOS將用來表示評價樹中的節(jié)點在樹中的層數(shù)。在某一級模糊評價中有n個評價指標，n∈N+，評價指標標號之集(Index Order Set)記為IOS={1,2,…,n}。

定義4:模糊定級估價樹

模糊定級估價樹模型( Fuzzy grading evaluation tree model) FGET是一個4元組,如式(2)。

FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)

(2)

式中,ODN表示葉子節(jié)點之集，記錄初級評價數(shù)據(jù)，EGN為中間內(nèi)部節(jié)點記錄評價數(shù)據(jù)，EPN為根節(jié)點，記錄估價結(jié)果。E為邊集，刻畫模糊評價函數(shù)。模糊定級估價樹的框架示意圖，如圖1所示。

圖1 模糊評價樹框架示意圖

在圖1中用圓圈表示葉子結(jié)點ODN，用矩形表示內(nèi)部節(jié)點EGN，用圓矩形表示根節(jié)點EPN,用箭頭代表邊集E。

FGET中各種節(jié)點和邊具體定義如下。

定義5：葉子節(jié)點

葉子結(jié)點(Original Date Node )是一個3元組ODN=(GC,OD,EO)，其中:

(1) GC=(c1,c2,…,cn)為n個評價指標的標簽或特征值；

(2) OD=(o1,o2,…,on)為n個評價指標的原始數(shù)據(jù)；

(3) 模糊函數(shù)EO:GC→[0,1]OD將每一個指標ci的原始評價數(shù)據(jù)oi模糊化得到葉子層評價數(shù)據(jù)eoi∈EO∈ODN。

定義6：內(nèi)部節(jié)點

內(nèi)部節(jié)點為中間評價節(jié)點(Evaluation Node for Grade)是一個3元組EGN=(EGNC,WG,GC,EG)遞歸定義如下。

(1) 記EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價樹中一個第i級評價節(jié)點；則EGNC[i]為EGN[i]的子節(jié)點之集遞歸定義,如式(3)。

EGNC[i]={EGN[i+1][j]|j∈IOS}

(3)

其中,EGN[i+1][j]表示EGN[i]的第j個孩子節(jié)點。

(2) WG=(w1,w2,…wn)為n個評價指標的權(quán)重，?wj∈W,wj∈[0,1]，表示第EGN[i+1][j]個指標對評價結(jié)果的權(quán)重；

(4) GC=(c1,c2,…cn)為n個評價指標的標簽或特征值，?cj∈GC表示第EGN[i+1][j]個指標的標簽或特征值；

(3) 評價函數(shù)EG為模糊映射,如式(4)。

EG:WG×EGNCT→[0,1]GC

(4)

即EG(EGN[i])=WG·EGNC[i]T這里“·”為定義3定義的模糊評價算子。

這里是一個EGNC[i]T是n×m的模糊評價矩陣，對應于指標EGN[i]的n個子節(jié)點也就是n個子指標，每個桌子指標劃分|GC|=m個評價等級。EG(EGN[i])是一個|GC|=m維的模糊向量，為i-1級評價數(shù)據(jù)滿足正規(guī)性，一般要將EG(EGN[i])做歸一化處理，如式(5)。

EG(EGN[i])[m]/si)

(5)

定義7:定級節(jié)點

一級評價節(jié)點有且只有一個，即EGN[1]，該節(jié)點刻畫多級評價的最終值。

例1.一級節(jié)點在中藥材評價中將表示被評價藥材融合多種信息的終級等級或評價得分。

定義8:根節(jié)點

根節(jié)點為估價節(jié)點(Evaluation Node for Price )是一個2元組EPN=(EGN[1],EP)其中，EGN[1]為定級節(jié)點，映射EP:EGN[1]×GC[1]→R+為估價函數(shù)。一般的計算品級與其評價值的加權(quán)平均，如式(6)。

EP(EPN)=EGN[1]·GC[1]T=

(6)

定義9:評價函數(shù)

評價函數(shù)集,E={EO,EG,EP}是模糊化函數(shù)EO、模糊評價函數(shù)EG和估價函數(shù)EP的集合。

以下定義10和定義11是為了自然的參照經(jīng)典樹理論的術語描述FGET的性質(zhì)。經(jīng)典樹理論的其他概念像滿k叉樹，完全k叉樹等概念也可以很容易拓展到FGET，而本文不會用到這些概念所以這里不再累述。

定義10:樹高, 層高

設FGET是一個模糊定級估價樹，將要做被評價對象的m級評價。定義根節(jié)點EPN所處為層數(shù)為0，記為hight(EPN)=0; 定級節(jié)點EGN[1]所處層數(shù)1，記為，hight(EGN[1])=1; ?EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價樹中一個第i級評價節(jié)點則稱EGN[i]所處的層數(shù)為i，記為hight(EGN[i])=i。 并定義FGET的高度hight(FGET)=m。

定義11:樹杈，子樹

設FGET是一個模糊定級估價樹，?EGN[i]∈EGN,i∈GOS為評價樹中一個第i級評價節(jié)點，則稱以EGN[i]為根節(jié)點的樹記為ST(EGN[i])為FGET的一顆子樹。其葉子節(jié)點之集為EGNC[i]，若|EGNC[i]|=k∈N+則稱EGN[i]節(jié)點分了k叉。進一步，若在FGET中FGET有|EGNC[i]|≤n∈N+，則稱FGET為一棵n叉樹。

定理12:FGET的規(guī)模

設,FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個n叉模糊定級估價樹,hight(FGET)=m。則有如下:

(1) |EPN|=1,|EGN[1]|=1;

(2) |ODN|≤nm-1;

(3) |EGN|≤(nm-1-1)/(n-1);

(4) |E|=|EPN|+|EGN|+|ODN|-1≤(nm-1)/(n-1), 邊數(shù)比節(jié)點數(shù)少1。

證明：用數(shù)學歸納法在FGET上按層歸納得到各層節(jié)點數(shù)是關于層數(shù)的等比數(shù)列，公比為n，再用等比數(shù)列求和公式很容易證得定理1中的結(jié)論。

定理13:空間復雜度

設，F(xiàn)EGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個n叉模糊定級估價樹,hight(FGET)=m。則FGET的節(jié)點數(shù)為，|ODN|+|EGN|+|EPN|邊數(shù)為|E|； FGET的空間復雜度為O(nm-1)。

證明：將定理12的結(jié)果定理13是顯然的。

定理14:時間復雜度

設,FEGT=(ODN,EGN,EPN,E)是一個n叉模糊定級估價樹,hight(FGET)=m。則用FGET做定級估價需要做|E|+|ODN|+|EGN|次運算，F(xiàn)GET的時間復雜度為O(nm)。

定理15:需要指出的是雖然FGET的計算復雜度形式上為樹杈數(shù)n關于樹高m的指數(shù)形式O(nm)。但慶幸的是現(xiàn)實中樹高m也就是評價等級一般比較小，m≤4，最多數(shù)情況是m=3或m=2；所以用FGET做定級估價是高效的，不會出現(xiàn)狀態(tài)爆炸。

2 評價實例

參照《七十六種藥材商品規(guī)格標準》，和《中國藥典》結(jié)合中藥材貿(mào)易多名專業(yè)人士和知名中醫(yī)專家的經(jīng)驗，依據(jù)特爾斐法建立了表1所示的一個天麻評價定級的3級評價指標體系并給出相應指標權(quán)重。并根據(jù)10位專家對一批天麻的評價數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 天麻評價定級指標體系與權(quán)重

見表1后面三列評價等級得票數(shù)，用FGET做定級估價。需要指出的是表中空白的地方是因為這一級指標缺失，比如“形狀”是2級指標，沒有分解的3級指標；對應到FGET上沒有3級分叉。下面用用FGET做次批天麻定級估價。

(1) 葉子節(jié)點計算

每一個3級指標對應3個葉子節(jié)點，若沒有3級指標則每一個2級指標對應3個葉子結(jié)點。1組3個葉子結(jié)點對應1, 2, 3個等級。例如3級指標“長度”(GND[長度])對應3個葉子GNDC[長度]={GNDC[長度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[長度])=0/1+0.4/2+0.6/3

類似地有:

GNDC[厚度]={GNDC[厚度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[厚度])=0/1+0.7/2+0.7/3

GNDC[寬度]={GNDC[寬度][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[寬度])=0/1+0.4/2+0.6/3

GNDC[個重]={GNDC[個重][i]|i=1,2,3}

EO(GNDC[個重])=0/1+0.2/2+0.8/3

他葉子結(jié)點如法炮制，不再累述。

(2) 內(nèi)部節(jié)點計算

由“長度”“寬度”“厚度”“個重”4個3級指標模糊合成其對應的2級指標“大小”。權(quán)重為，WG[大小]=(0.223 1,0.247 0,0.231 1,0.298 8)，2級指標“大小”的評價矩陣如下。

“大小”的評價計算如下。

EG(WG[大小],EGNC[大小]T)=

(0.0,0.35,0.65)。

此結(jié)果反映了在評鑒專家們認為，這一批天麻0.35%的可能為“二等品”，0.65%的可能為“三等品”。

類似的可以求得，

EG(WG[表面特征],EGNC[表面特征]T)=

EG(WG[感官],EGNC[感官]T)=

(0.133 40.237 50.165 60.143 80.203 10.115 6)·

此評價結(jié)果說明專家認為這批天麻“感官”6%的可能為“一等品”，33%的可能為“二等品”，61%的可能為“三等品”。

這是一級評價結(jié)果說明專家認為這批天麻”4%的可能為“一等品”，26%的可能為“二等品”，70%的可能為“三等品”。

(3) 根節(jié)點計算

在商洛市市場調(diào)研后給出的不同品級天麻收購價格，現(xiàn)在計算根節(jié)點,如表2所示。

表2 商洛市2020年1月天麻價格

估價結(jié)果，EP(EPN)=106.8∈[100,110]?[95,115]，說明這批天麻的理論收購價格為106.8(元/kg)，建議可以在圍繞在這以價格的一個價格區(qū)間比如100～110或95～115(元/kg)；收購這一批天麻。

3 總結(jié)

基于模糊數(shù)學理論建立了一個用于中藥材定級估價的模糊評價樹模型(定義4-定義9)； 用節(jié)點刻畫評價指標記錄評價數(shù)據(jù)(定義5-定義8)，用樹上的邊記錄評價權(quán)重；并在節(jié)點和邊上定義合理的模糊評價算子(定義3, 定義9)。討論了該模型的計算復雜度(定理12-定理14)。給出了中藥材—天麻定級估價的一個實例，結(jié)果表明該評價模型客觀高效。

建立的FGET模型評價過程考慮定性與定量信息，更加客觀自然且自動化程度高；評價結(jié)果科學合理且信息量大。不同評價指標建立的不同指標體系框架，都可以靈活高效的形式化為一個FGET，這以模型為實現(xiàn)中藥材定級估價的自動化提供了重要的原型支撐。筆者后續(xù)研究工作將考慮將FGET的框架用于其他中藥材定級估價建模。考慮在FGET的評價算子中添加其他一些模糊計算和模糊控制算子，使得擴充后的FGET模型可以用來做模糊智能決策和控制，比如用于中醫(yī)對患者病情的智能診斷等。