李 澤, 魏 超

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 南京 210023)

0 引言及預(yù)備知識(shí)

?？臻g作為一類較為抽象的空間, 擴(kuò)展了包括Lp空間、Orlicz空間在內(nèi)的許多空間框架, 引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-3].近年來(lái), ?？臻g中的公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛深入的研究. 2007年, Nabizadeh E利用Δ2條件, 在?？臻g中給出了一類非線性收縮映射及漸近收縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理[4]; 2008年, Khamsi M A給出了?？臻g中沒(méi)有Δ2條件的擬壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理[5]; 2012年, Wang X等人將Banach空間中的漸近逐點(diǎn)非擴(kuò)張映射的概念引入到?？臻g中, 并在?？臻g中證明了該映射具有不動(dòng)點(diǎn)[6]; 2016年, ?zturk M等人給出了模空間中ψ-φ廣義壓縮映射的概念, 并且證明了一類公共不動(dòng)點(diǎn)定理[7].

本文擬在?？臻g中探討公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題, 將度量空間中的多個(gè)映射及一類無(wú)限族自映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理推廣至?？臻g, 進(jìn)一步豐富?？臻g的相關(guān)理論.

定義1 設(shè)X為數(shù)域K=R或K=C上的任一向量空間. 對(duì)于X中的?x,y, 泛函ρ:X→[0,+∞)被稱為X上的模, 如果:

(a)ρ(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0;

(b)ρ(αx)=ρ(x)當(dāng)α為標(biāo)量時(shí)且|α|=1;

(c)ρ(αx+βy)≤ρ(x)+ρ(y), 如果α,β≥0且α+β=1.

若條件(c)被ρ(αx+βy)≤αsρ(x)+βsρ(y), 其中αs+βs=1,α,β≥0且s∈(0,1]替代, 則稱模ρ為s-凸模. 如果s=1, 則稱模ρ為凸模. 若向量空間Xρ={x∈X|ρ(λx)→0,當(dāng)λ→0}, 則稱向量空間Xρ為模空間.

定義2 設(shè)ρ為定義在X上的模,Xρ為?？臻g.

(a) 對(duì)于序列{xn}?Xρ, 點(diǎn)x∈Xρ, 若n→∞時(shí), 有ρ(xn-x)→0, 則稱序列{xn}ρ-收斂于點(diǎn)x. 記為xn→x；

(c) 若Xρ中的每個(gè)柯西列都ρ-收斂, 則稱Xρ為完備的模空間；

(d) 當(dāng)模ρ滿足Δ2條件時(shí)： 若n→∞時(shí),ρ(xn)→0可推出ρ(2xn)→0；

(e) 設(shè)映射S為Xρ上的自映射, 若xn→x時(shí), 有Sxn→Sx, 則稱映射S為Xρ上的連續(xù)映射；

(f) 若xn→x時(shí), 有ρ(xn)→ρ(x), 則稱模ρ為連續(xù)的.

1 主要結(jié)果

證明任取x0∈Xρ, 由于f(Xρ)?T(Xρ), 故存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1. 又因?yàn)間x1∈S(X), 則存在x2∈X使得gx1=Sx2. 故一般地, 有fx2n=Tx2n+1和gx2n+1=Sx2n+2. 進(jìn)一步地設(shè)y2n=fx2n=Tx2n+1,y2n+1=gx2n+1=Sx2n+2,

第1步: 證明序列{yn}為柯西列. 考慮到

ρ(y2n-y2n+1)=ρ(fx2n-gx2n+1)≤

若

ρ(y2n-y2n+1)>ρ(y2n-1-y2n),

由上式得ρ(y2n-y2n+1)

由于q<1, 故ρ(y2n-y2n+1)

因此

ρ(y2n-y2n+1)<ρ(y2n-1-y2n),

從而ρ(y2n-y2n+1)

類似可得

ρ(y2n-1-y2n)

依此類推,可得

ρ(yn-yn-1)<…

對(duì)于任意的n>m,n,m∈N, 由于ρ(2x)=2ρ(x), 故有

ρ(yn-yn-1)+…+ρ(ym+2-ym+1)+ρ(ym+1-ym)≤

qn-1ρ(y1-y0)+…+qm+1ρ(y1-y0)+qmρ(y1-y0)≤

第2步: 證明點(diǎn)y為映射f,g,S,T的公共不動(dòng)點(diǎn).

ρ(fx-gy)≤

其中，取x=Sx2n,y=x2n+1時(shí), 有

由ρ連續(xù), 對(duì)上式兩邊取極限, 有ρ(Sy-y)≤qρ(Sy-y).

由于q<1, 故ρ(Sy-y)=0, 從而有Sy=y成立. 同理可得Ty=y成立. 在

上式中，取x=y,y=x2n+1, 由Sy=Ty=y，可得fy=y成立.

最后由

可得gy=y成立.

因此，有Sy=Ty=fy=gy=y.

第3步: 證明點(diǎn)y為唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).若還存在一點(diǎn)x為映射f,g,S,T的公共不動(dòng)點(diǎn), 則有

成立. 由于q<1, 故ρ(x-y)=0, 從而有x=y.

故映射f,g,S,T有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

注1 定理1將文[8]中的相關(guān)結(jié)果從b-度量空間推廣到?？臻g. 由于?？臻g不滿足次可加性, 因此本定理的證明方法也不同于文[8].

考慮到f,g,S,T分別為完備的?？臻gXρ上的自映射, 且有f(Xρ)?T(Xρ),g(Xρ)?S(Xρ); 任取x0∈Xρ, 存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1. 又因?yàn)間x1∈S(X), 則存在x2∈X使得gx1=Sx2. 故一般地, 則有fx2n=Tx2n+1和gx2n+1=Sx2n+2. 進(jìn)一步地設(shè)

y2n=fx2n=Tx2n+1，y2n+1=gx2n+1=Sx2n+2

(*)

至此,可以得到?？臻g中一序列{yn}. 定理2指出迭代序列是收斂的,并且迭代程序是穩(wěn)定的.

定理2設(shè)f,g,S,T分別為完備的模空間Xρ上的自映射, 且有f(Xρ)?T(Xρ),g(Xρ)?S(Xρ); 映射S,T是連續(xù)的且映射對(duì){f,S},{g,T}相容. 若f,g,S,T滿足:ρ(4(fx-gy))≤qρ(Sx-Ty),q∈[0,1). 凸模ρ連續(xù), 滿足Δ2條件及ρ(2x)=2ρ(x), 則，

(a) 映射f,g,S,T有公共不動(dòng)點(diǎn)p, 且由(*)式迭代產(chǎn)生的序列{yn}收斂到點(diǎn)p；

ρ(p-Tz2n+1)≤ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+ρ(4(fz2n-gx2n+1))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(Sz2n-Tx2n+1))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+qρ(2(gz2n+1-Tx2n+1))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+qρ(2(gz2n+1-fx2n))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+qρ(4(gz2n+1-fx2n))+ρ(4(gx2n+1-p))≤

ρ(2(Tz2n+1-fz2n))+qρ(2(Sz2n-gz2n+1))+q2ρ(Tz2n+1-Sx2n))+ρ(4(gx2n+1-p)).

ρ(p-Tz2n+1)≤q2ρ(p-Tz2n+1),q<1.

ρ(p-Sz2n)≤ρ(2(gz2n+1-Sz2n))+ρ(4(gz2n+1-fx2n))+ρ(4(fx2n-p))≤

ρ(2(gz2n+1-Sz2n))+qρ(Tz2n+1-Sx2n)+ρ(4(fx2n-p))≤

ρ(2(gz2n+1-Sz2n))+qρ(2(Tz2n+1-p))+qρ(2(Sx2n-p))+ρ(4(fx2n-p)).

對(duì)上式兩邊取n→∞, 由

定理3 設(shè)Xρ為完備的?？臻g, 凸模ρ連續(xù), 滿足Δ2條件.αi,j≥0(i,j∈N+)且滿足:

設(shè){Tn}為Xρ上的自映射序列且滿足:

ρ(Tix-Tjy)≤αi,jMi,j(x,y)+LNi,j(x,y), ?x,y∈Xρ,i≠j,L≥0,

其中

Ni,j(x,y)=min{ρ(x-Tix),ρ(y-Tjy),ρ(x-Tjy),ρ(y-Tix)}.

則所有的映射序列{Tn}在?？臻gXρ上有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

證明取x0∈Xρ, 由xn=Tn(xn-1)構(gòu)造序列{xn}. 接下來(lái)，分以下4步證明.

第1步: 證明當(dāng)n→∞時(shí), 有ρ(xn-xn+1)→0. 由ρ(Tix-Tjy)≤αi,jMi,j(x,y)+LNi,j(x,y)式, 有

ρ(x1-x2)=ρ(T1x0-T2x1)≤α1,2M1,2(x0,x1)+LN1,2(x0,x1)=

α1,2max{ρ(x0-x1),ρ(x1-x2)}≤α1,2(ρ(x0-x1)+ρ(x1-x2)).

從而有

同理有

依此類推, 得到

第2步: 證明序列{xn}為ρ-柯西列.

從而由此不等式可得

ε≤ρ(x2nk-x2mk)=ρ(x2nk-x2nk-1+x2nk-1-x2mk)≤

ρ(2(x2nk-x2nk-1)+ρ(2(x2nk-1-x2mk))<ε+ρ(2(x2nk-x2nk-1).

在ρ(Tix-Tjy)≤αi,jMi,j(x,y)+LNi,j(x,y)中，取x=x2nk,y=x2mk-1, 則有

ρ(x2nk+1-x2mk)=ρ(T2nk+1x2nk-T2mkx2mk-1)≤

α2nk+1,2mkM2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)+LN2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1).

其中

M2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)=

N2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)=min{ρ(x2nk-x2nk+1),ρ(x2mk-1-x2mk),ρ(x2nk-x2mk),ρ(x2mk-1-x2nk+1)}.

由ρ(2(x2nk-1-x2mk))<ε可得

ρ(x2nk+1-x2mk)=ρ(x2nk+1-x2nk+x2nk-x2nk-1+x2nk-1-x2mk)≤

ρ(2(x2nk+1-x2nk+x2nk-x2nk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk+1-x2nk))+ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk+1-x2nk))+ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ε.

ρ(x2nk-x2mk-1)=ρ(x2nk-x2nk-1+x2nk-1-x2mk+x2mk-x2mk-1)≤

ρ(2(x2nk-x2nk-1+x2mk-x2mk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ρ(4(x2mk-x2mk-1))+ρ(2(x2nk-1-x2mk))≤

ρ(4(x2nk-x2nk-1))+ρ(4(x2mk-x2mk-1))+ε.

注意到

ρ(x2mk-1-x2mk)+ρ(x2mk-x2nk+1))<

ε+ρ(x2mk-1-x2mk)+ρ(4(x2nk-1-x2nk))+ρ(4(x2nk-x2nk+1)).

ρ(x2nk-x2nk-1)+ρ(x2nk-1-x2mk)≤ρ(x2nk-x2nk-1)+ρ(2(x2nk-1-x2mk))<

ρ(x2nk-x2nk-1)+ε.

結(jié)合M2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)可得

M2nk+1,2mk(x2nk,x2mk-1)=

由ρ是凸模,ρ(x2nk-x2mk)≥ε可得

第3步: 證明映射序列{Tn}在?？臻gXρ上有公共不動(dòng)點(diǎn).

因?yàn)閧xn}為ρ-柯西列且模空間Xρ為完備的, 所以存在一點(diǎn)x∈Xρ使得xn→x. 從而對(duì)于任意正整數(shù)m, 有

ρ(x-xn)+ρ(xn-Tmx)=ρ(x-xn)+ρ(Tnxn-1-Tmx)≤

Lmin{ρ(xn-1-xn),ρ(x-xn),ρ(x-Tmx),ρ(xn-1-Tmx)}.

因此,有

從而有ρ(x-y)=0, 即x=y. 故映射序列{Tn}在?？臻gXρ上公共不動(dòng)點(diǎn)是唯一的. 至此定理得證.

本定理將文[9]中的相關(guān)結(jié)果從度量空間推廣到?？臻g. 文在?？臻g中考慮公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題, 引入相容映射和一類無(wú)限族自映射的概念, 將度量空間中的相關(guān)公共不動(dòng)點(diǎn)定理進(jìn)行推廣, 所做的工作將豐富?？臻g的相關(guān)理論.