王學(xué)斌

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西 太原 030051)

眾所周知，人類文明得以進(jìn)步的關(guān)鍵，便是認(rèn)識和改造世界，從微觀視角來看，微結(jié)構(gòu)固有拓?fù)湫蚊矟M足設(shè)計條件，這也給設(shè)計人員帶來了全新的挑戰(zhàn)，即在力學(xué)指標(biāo)特定的前提下，如何完成相關(guān)設(shè)計工作。在此背景下，強調(diào)晶格分布的點陣結(jié)構(gòu)組應(yīng)運而生，該結(jié)構(gòu)可對裂紋延伸方向進(jìn)行改變，避免不必要的問題。

1 拓?fù)鋬?yōu)化方法

歷經(jīng)數(shù)十年的發(fā)展，現(xiàn)階段，拓?fù)鋬?yōu)化已經(jīng)成為設(shè)計領(lǐng)域常用方法，通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料分布路徑的方式，在減少材料用量的基礎(chǔ)上，使設(shè)計人員擁有可供參考的全新構(gòu)型。

一般來說，拓?fù)鋬?yōu)化所采用思想與數(shù)學(xué)優(yōu)化相似，均以數(shù)量確定的材料為基礎(chǔ)，結(jié)合特定設(shè)計區(qū)域，對其進(jìn)行拓?fù)浞植?，確保設(shè)計所得結(jié)構(gòu)具備良好物理性能，如流通性、剛度、散熱性等。事實證明，在設(shè)計空間的大小上，拓?fù)鋬?yōu)化較形狀優(yōu)化、尺寸優(yōu)化更加占優(yōu)，這是因為設(shè)計人員現(xiàn)有經(jīng)驗給優(yōu)化效果所帶來影響可以忽略不計，隨著設(shè)計空間得到拓展，設(shè)計所得拓?fù)錁?gòu)型描述，自然較之前更加新穎而優(yōu)質(zhì)。

下文著重介紹了實證有效的拓?fù)鋬?yōu)化方法，供相關(guān)人員參考。

（1）變密度法。從描述設(shè)計空間內(nèi)部材料分布情況的角度出發(fā)，以有限元框架為依托，將設(shè)計區(qū)域分為數(shù)個單元，再利用黑白像素對單元是否有材料分布進(jìn)行描述，通過將材料分布問題向整數(shù)規(guī)劃問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方式，降低設(shè)計難度。設(shè)計人員需要明確的是，利用該法進(jìn)行數(shù)值求解時，設(shè)計變量帶來的影響往往十分直觀，僅有小規(guī)模問題適用。要想扭轉(zhuǎn)上述局面，關(guān)鍵是改變設(shè)計變量密度，確保材料分布得到有效控制，這也是本文所采用方法的原型。實踐結(jié)果表明，該法較易出現(xiàn)的問題，主要是有棋盤格現(xiàn)象存在，由于連接不同單元材料的載體是節(jié)點，對材料進(jìn)行如此分布時，相關(guān)人員并未將節(jié)點剛度考慮在內(nèi)。局部密度過濾可使該現(xiàn)象得到有效消除，另外，具有相同功效的方法，還有靈敏度過濾、雙向漸進(jìn)優(yōu)化等，設(shè)計人員可酌情對其進(jìn)行選用。

（2）節(jié)點密度法。利用變密度法對單元材料進(jìn)行優(yōu)化的過程，通常不具備連續(xù)性，這也是優(yōu)化結(jié)果擁有鋸齒狀邊界的主要原因，將優(yōu)化載體由單元向節(jié)點進(jìn)行過渡是大勢所趨?；谠摲ㄋO(shè)計變量，通常在單元節(jié)點進(jìn)行分布，設(shè)計人員可借助材料分布插值，對材料分布和屬性加以明確。早期，節(jié)點密度法所依托單元為四邊形單元，這樣做雖然使棋盤格效應(yīng)得到了有效消除，但仍有亟待解決的問題存在，即孤島效應(yīng)。關(guān)于該問題實證有效的解決策略有兩個，分別是利用平均密度對其進(jìn)行改善，還有非局部密度插值，二者均強調(diào)對設(shè)計變量點進(jìn)行科學(xué)利用，在對材料分布情況與結(jié)構(gòu)邊界進(jìn)行捕捉的前提下，通過精簡有限元擴展步驟的方式，提高優(yōu)化效果。

2 力學(xué)超材料設(shè)計

2.1 確定材料插值模型

近幾年，力學(xué)超材料逐漸為越來越多人所熟知，對其進(jìn)行橫向單軸拉伸，通常會有縱向膨脹變形的情況出現(xiàn)。由此可見，在力學(xué)屬性方面，該材料與常規(guī)材料存在明顯差異，這也是運動、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域?qū)ζ溥M(jìn)行運用的主要原因。另外，在剪切變形的抑制、使材料具有理想斷裂韌性、對聲能進(jìn)行吸收等方面，該材料也有十分優(yōu)異的表現(xiàn)。

現(xiàn)階段，圍繞超材料設(shè)計展開研究的側(cè)重點，普遍集中在負(fù)泊松比設(shè)計上，當(dāng)然，超材料結(jié)構(gòu)及特征也有所涉及，如果以負(fù)泊松比對應(yīng)微結(jié)構(gòu)為參照物，手性微結(jié)構(gòu)能夠旋轉(zhuǎn)變形的原因，主要是基帶可以旋轉(zhuǎn)，受外載荷作用影響，上文提到的旋轉(zhuǎn)機制可使結(jié)構(gòu)實現(xiàn)連鎖變形，結(jié)構(gòu)吸能性能往往能夠得到充分發(fā)揮。但要明確一點，現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的設(shè)計基礎(chǔ)均為韌帶結(jié)構(gòu)，研究領(lǐng)域尚未向拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計延伸，這便是本次實驗的開展背景。本文設(shè)計內(nèi)容以孔洞、強材料和弱材料為主，設(shè)計人員選擇利用插值模型，對材料選擇進(jìn)行描述，而楊氏模量為：

其中，E/EH/ES對應(yīng)單元插值彈性模量/強材料模量/弱材料模量。對應(yīng)設(shè)計變量實際密度的數(shù)值。在懲罰系數(shù)≥3的前提下，表明單元存在材料分布，表明單元所選擇材料為強材料，則表明單元所選擇材料為弱材料。由此可見，單元彈性模量需要滿足的關(guān)系為：

2.2 優(yōu)化列示

設(shè)計人員考慮到手性拓?fù)錁?gòu)型對后續(xù)環(huán)節(jié)的重要性，遂決定將初始拓?fù)淙毕菀朐O(shè)計區(qū)域，雖然現(xiàn)有模型已經(jīng)能夠獲得相對完善的拓?fù)錁?gòu)型，由于所得微結(jié)構(gòu)所具備特征僅局限于異性材料，要想將拓?fù)浣Y(jié)果向同性材料和正交材料進(jìn)行延伸，有目的性地引入對稱約條件很有必要。

2.3 實現(xiàn)數(shù)值

設(shè)計人員結(jié)合實踐經(jīng)驗，將數(shù)值實現(xiàn)流程歸納如下：第一步，初始化設(shè)計變量；第二步，經(jīng)由上文提及模型插值，確定材料的楊氏模量，這里提到的材料，其坐標(biāo)點位于單胞空間；第三步，確定目標(biāo)函數(shù)與靈敏度，在借助移動漸近線，確保設(shè)計變量可得到同時更新。通過不斷重復(fù)上述迭代過程的方式，確保其無限接近收斂準(zhǔn)則。

2.4 進(jìn)行數(shù)值算例

首先，由設(shè)計人員對各項異性和超材料進(jìn)行設(shè)計，并比較同性結(jié)果與正交結(jié)果；其次，對優(yōu)化結(jié)果做周期陣列處理，通過有限元分析的方式，得出相應(yīng)結(jié)論；最后，以三維組裝設(shè)計為切入點，借助仿真分析法，確定同性結(jié)果的變形特征。

本文所討論超材料的設(shè)計，通常要運用到泊松比。在確定弱材料泊松比、強材料泊松比和彈性模量的基礎(chǔ)上，利用平面應(yīng)力單元，對設(shè)計區(qū)域進(jìn)行離散處理。設(shè)計人員綜合考慮多方因素后，將材料泊松比設(shè)定為0.3，弱材料彈性模量為2GPa，而強材料彈性模量為10GPa。

要想確保優(yōu)化結(jié)果有手性拓?fù)錁?gòu)型與之對應(yīng)，在條件允許的前提下，設(shè)計人員可選擇對初始拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行引入，通過誘導(dǎo)的方式，形成相應(yīng)材料布局（如圖1），其中，紅色對應(yīng)材料分布情況，白色則指代孔洞。

2.5 仿真驗證

在驗證手性微結(jié)構(gòu)時，設(shè)計人員選擇借助有限元軟件，對多材料微結(jié)構(gòu)模型加以確定，隨后，利用實體單元，對周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散處理。

要想對等效泊松比的固有屬性進(jìn)行確定，一方面，要將位移載荷施加于豎直方向；另一方面，要對豎向自由度、位移自由度加以約束。與此同時，設(shè)計人員考慮到結(jié)構(gòu)較易出現(xiàn)整體偏移的特征，遂決定在水平方向?qū)︻~外約束進(jìn)行施加。待上述工作告一段落，便可借助現(xiàn)有軟件完成仿真驗證。

2.6 手性超結(jié)構(gòu)

設(shè)計人員借助三維組裝方法，對手性超結(jié)構(gòu)、手性單胞進(jìn)行了設(shè)計，具體方法如下：首先，通過旋轉(zhuǎn)手性拓?fù)錁?gòu)型的方式，獲得圓筒結(jié)構(gòu)；其次，在豎直方向上，對8層周期列陣進(jìn)行加設(shè)，確保底面節(jié)點對應(yīng)自由度可受到固定約束；最后，通過施加軸向載荷的方式，獲得相應(yīng)結(jié)構(gòu)。研究表明，該結(jié)構(gòu)兼有以下特性：其一，負(fù)泊松比；其二，受軸向載荷影響而旋轉(zhuǎn)。

3 其他設(shè)計方法

圖1 拓?fù)鋬?yōu)化初始構(gòu)型

以密度拓?fù)鋬?yōu)化為基礎(chǔ)，對梯度點陣進(jìn)行并發(fā)設(shè)計，其優(yōu)勢主要是無須利用微結(jié)構(gòu)對灰度單元進(jìn)行解釋，設(shè)計人員往往更傾向于借助孔隙率約束與材料覆蓋約束，完成微結(jié)構(gòu)及宏觀拓?fù)湫螒B(tài)的設(shè)計工作。研究表明，如果以均勻點陣結(jié)構(gòu)為參照物，多層點陣結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢主要表現(xiàn)在以下方面：其一，剛度更加接近理想水平；其二，該結(jié)構(gòu)能夠使自支撐設(shè)想成為現(xiàn)實；其三，無論是均勻點陣結(jié)構(gòu)，還是實心結(jié)構(gòu)，在極限承載力方面，均與梯度結(jié)構(gòu)有較為明顯的差距。但要明確一點，本文所討論內(nèi)容均以線彈性假設(shè)為前提，設(shè)計對象多為二維結(jié)構(gòu)，無法完全匹配三維構(gòu)型。由此可見，在未來一段時間內(nèi)，設(shè)計人員的工作重心將逐漸轉(zhuǎn)向?qū)Ψ蔷€性、三維結(jié)構(gòu)和多物理場進(jìn)行設(shè)計上，以增材制造方案為依據(jù)，通過對缺陷加以引入的方式，獲得結(jié)構(gòu)力學(xué)性能相關(guān)數(shù)據(jù)。

4 結(jié)語

通過上文的敘述能夠看出，微結(jié)構(gòu)固有等效力學(xué)屬性較易被諸多因素所影響，例如，材料組分占據(jù)百分比、泊松比、剪切模量、體積模量。與此同時，上文所提及力學(xué)屬性，除特殊情況外，均可經(jīng)由同性約束或施加正交的方式，達(dá)到調(diào)節(jié)的目的。另外，設(shè)計人員還通過組裝的方式，獲得了拉扭轉(zhuǎn)耦合突出的超結(jié)構(gòu)，這表明該方法可向設(shè)計新型微結(jié)構(gòu)的領(lǐng)域進(jìn)行延伸，確保設(shè)計所得材料具備指定性能。