姜英明，紀(jì)曉雨，侯曉偉，馮彥同

(1.千尋位置網(wǎng)絡(luò)有限公司，上海 200438；2.濰坊職業(yè)學(xué)院農(nóng)林科技學(xué)院，山東濰坊 262737)

0 引言

坐標(biāo)參考框架是坐標(biāo)系統(tǒng)的具體實現(xiàn)，通常通過一組核心站點的測站坐標(biāo)和速度表示.坐標(biāo)參考框架是測繪活動的參考基準(zhǔn)[1]，同時，高精度的坐標(biāo)參考框架也是進行空間大地測量學(xué)研究所必須的前提[2].各個坐標(biāo)參考框架之間往往通過Helmert轉(zhuǎn)換參數(shù)來聯(lián)系.隨著我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）的建成和BDS坐標(biāo)系的啟用，使用BDS進行精密定位定軌等研究和生產(chǎn)，都需要關(guān)注坐標(biāo)框架的概念[3].為了準(zhǔn)確使用各種參考框架，需要分析其轉(zhuǎn)換的性質(zhì).

對于瞬時坐標(biāo)系或精度要求不高的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，一般采用Helmert七參數(shù)進行.而對于高精度的坐標(biāo)參考框架如國際地球參考框架(ITRF)，固定的Helmert七參數(shù)不能描述其框架的時變特性，因此Helmert七參數(shù)被視為是時變的，此時Helmert七參數(shù)被擴展成為Helmert十四參數(shù)[4].坐標(biāo)參考框架在建立時，一般都會公布其到其他主流參考框架如ITRF之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)，以方便用戶使用.

但在實際使用時，某些參考框架之間可能沒有直接的轉(zhuǎn)換參數(shù)，尤其對于某些區(qū)域性的坐標(biāo)參考框架，此情形并不罕見.此時可通過某些“中間框架”如ITRF進行過渡，即首先將坐標(biāo)或速度轉(zhuǎn)換到具有直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的某個ITRF框架，再通過ITRF到目標(biāo)框架的轉(zhuǎn)換參數(shù)，將坐標(biāo)或速度轉(zhuǎn)換到目標(biāo)框架.這造成了實際應(yīng)用的復(fù)雜和不便.基于此類問題，本文推導(dǎo)了由間接的過渡參數(shù)計算直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的公式，以簡化轉(zhuǎn)換過程，提高計算效率.

1 坐標(biāo)框架轉(zhuǎn)換原理

1.1 Helm ert七參數(shù)情形

在不考慮框架轉(zhuǎn)換參數(shù)變率的情況下，一般采用Helmert七參數(shù)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.假設(shè)從框架1到框架3之間沒有直接的轉(zhuǎn)換參數(shù)，但可以使用框架2進行過渡.記框架1到框架2的轉(zhuǎn)換參數(shù)為T1、D1、R1；框架2到框架3的轉(zhuǎn)換參數(shù)為T2、D2、R2.一般情況下，平移參數(shù)T的單位為mm，尺度縮放參數(shù)D的單位為10?9（ppb），旋轉(zhuǎn)矩陣R的單位為千分之一秒（mas）.若坐標(biāo)或角度分別以m或rad為單位，則T、D、R的量級分別為10?3、10?9、10?9.

依據(jù)布爾莎模型，將框架1下的某點P的坐標(biāo)X1先轉(zhuǎn)換到框架2再轉(zhuǎn)換到框架3下的計算公式[5]為：

式中：X2為點P在框架2下的坐標(biāo)；X3為點P在框架3下的坐標(biāo).將式(1)代入式(2)，可得

整理式(3)，可得式(4)：

式(4)中，D2(T1+D1X1+R1X1)和R2(T1+D1X1+R1X1)兩項的量級皆為10?12m，在目前的測量精度下都可以忽略，因此在實際計算中，式(4)可以簡化為

對比布爾莎模型的轉(zhuǎn)換公式，可知框架1到框架3的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)T3、D3、R3可用式(6)計算：

1.2 Helmert十四參數(shù)情形

ITRF給出的各ITRF參考框架之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)也是時變的，因此其轉(zhuǎn)換參數(shù)一般有14個，包括給定歷元t0下的七參數(shù)以及其各自的變化率分別為：T、D、R、T˙、D˙、R˙.變化率的單位分別為mm/a、ppb/a和mas/a，其數(shù)量級分別為：10?3、10?9、10?9、10?3、10?9、10?9.

整理式(11)，可得

后兩項的量級皆為10?12m/a，在計算時可忽略不計，因此速度的轉(zhuǎn)換公式(12)可簡化寫為

同理，將式(7)、(8)代入式(9)，可得坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：

整理式（14）并忽略微小量，可得

作為對照，式(7)亦可寫成

2 算例驗證

2.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

歐洲參考框架網(wǎng)絡(luò)（EUREF）由多個持續(xù)觀測的永久性全球衛(wèi)生導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）站點構(gòu)成，用于歐洲地區(qū)的參考框架維持.EUREF的數(shù)據(jù)由法國國家地理學(xué)院（IGN）或德國波茲坦地學(xué)中心（GFZ）統(tǒng)一處理，并基于其坐標(biāo)和速度實現(xiàn)ETRS89坐標(biāo)系.ETRS89是一種地心地固坐標(biāo)系，其坐標(biāo)系實現(xiàn)包括ETRF2000、ETRF2005和ETRF2014等[6].EUREF的站點分布由圖1所示。

圖1 EUREF站點分布圖

EUREF公布了其 714個站點分別位于ITRF2014、ETRF2014和ETRF2000框架下的坐標(biāo)和速度，同時公布了ETRF到各ITRF框架的轉(zhuǎn)換參數(shù).但是，其公布的成果中并未包含ETRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù).本文以將EUREF站點坐標(biāo)從ETRF2014轉(zhuǎn)換到ETRF2000為例，驗證由式(17)計算直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的可行性.此時坐標(biāo)轉(zhuǎn)換有兩種方案：

1）首先將坐標(biāo)和速度從ETRF2014轉(zhuǎn)到ITRF2014，然后再從ITRF2014轉(zhuǎn)換到ETRF2000，記為方法A；

2）使用式(17)計算ETRF2014到ETRF2000的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后對ETRF2014框架下的坐標(biāo)和速度進行轉(zhuǎn)換，記為方法B.

EUREF公布的2010.0歷元下，ETRF2014轉(zhuǎn)換到ITRF2014的轉(zhuǎn)換參數(shù)如表1所示：

2010.0歷元下，ITRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù)如表2所示：

表1 ETRF2014到ITRF2014的轉(zhuǎn)換參數(shù)

表2 ITRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù)

由式(17)計算得，方法B所使用的2 010.0歷元下ETRF2014到ETRF2000的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)如表3所示：

表3 ETRF2014到ETRF2000的轉(zhuǎn)換參數(shù)

2.2 結(jié)果分析

作為驗證，首先使用方法A將714個站點在ETRF2014下的坐標(biāo)和速度轉(zhuǎn)換到ETRF2000，并將轉(zhuǎn)換成果與EUREF官方公布的數(shù)據(jù)進行對比.統(tǒng)計方法A與EUREF官方公布的ETRF2000框架下坐標(biāo)和速度的差異，統(tǒng)計結(jié)果如表4所示：

表4 方法A計算結(jié)果與官方數(shù)據(jù)對比統(tǒng)計

其坐標(biāo)和速度的差異分布分別如圖2、圖3所示：

圖2 方法A與ETRF2000公布的坐標(biāo)的差異分布

圖3 方法A與ETRF2000公布的速度的差異分布

從統(tǒng)計可以看出，方法A與EUREF官方公布的站點在ETRF2000框架下的成果，坐標(biāo)差異均優(yōu)于1mm，速度差異均優(yōu)于0.1mm/a，且差異有正有負均勻地分布在0兩側(cè)，這說明方法A所進行的轉(zhuǎn)換是正確的，其轉(zhuǎn)換差異主要受到偶然誤差的影響.

然后通過方法B使用表3中的轉(zhuǎn)換參數(shù)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，并將其轉(zhuǎn)換成果與方法A作為對比.差異分布統(tǒng)計如表5所示：

差異分布如圖4、圖5所示：

表5 方法A與方法B計算結(jié)果對比統(tǒng)計

圖4 方法A與方法B坐標(biāo)差異分布圖

圖5 方法A與方法B速度差異分布圖

由以上統(tǒng)計可以看出，基于方法A和方法B得到的坐標(biāo)差異均為10?8m量級，速度差異為10?9m/a量級.并且，其差異均大于0，說明二者之間存在系統(tǒng)差.結(jié)合方法B的推導(dǎo)過程，易知這是因為方法B的計算過程中忽略了一些微小量所造成的.但由于二者差異足夠小，因此可認為方法A和方法B在一般使用中是等價的.

為驗證式（18），使用參考框架ETRF2014到ITRF2014的轉(zhuǎn)換參數(shù)，將ETRF2014下的基站速度轉(zhuǎn)換到ITRF2014.作為對比：

1）方法C使用站點在ETRF2014下的坐標(biāo)；

2）方法D假定站點在ETRF2014下的坐標(biāo)未知，使用其在ITRF2014下的坐標(biāo)近似.

兩種方法的差異統(tǒng)計如表6所示。

表6 使用精確和近似坐標(biāo)進行速度轉(zhuǎn)換對比

其差異分布如圖6所示。

圖6 使用精確坐標(biāo)與概略坐標(biāo)轉(zhuǎn)換速度的差異分布圖

由以上統(tǒng)計可發(fā)現(xiàn)，由方法C和方法D所計算的基站速度差異在10?9m/a量級.二者雖然存在一定的系統(tǒng)差，但在實際使用時完全可以忽略.

3 結(jié)論

利用Helmert轉(zhuǎn)換公式進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時，對于沒有直接轉(zhuǎn)換參數(shù)的坐標(biāo)框架，使用多步“過渡”的方式進行轉(zhuǎn)換時公式復(fù)雜低效.本文對傳統(tǒng)的間接坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法進行改進，推導(dǎo)了坐標(biāo)框架間的直接轉(zhuǎn)換公式，并使用714個EUREF站點在ETRF2014和ETRF2000的坐標(biāo)和速度進行驗證，得出以下結(jié)論：

1）對于Helmert七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，兩個框架的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)可由作為過渡的框架轉(zhuǎn)換參數(shù)求和計算，計算方法如式(6)；

2）對于Helmert十四參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，兩個框架的直接轉(zhuǎn)換參數(shù)，其Helmert七參數(shù)的變率可由作為過渡的框架轉(zhuǎn)換參數(shù)的變率求和計算，Helmert七參數(shù)可將作為過渡的轉(zhuǎn)換參數(shù)歸算到某一相同歷元后求和計算，計算方法如式(17)；

3）在對速度進行框架轉(zhuǎn)換時，若與原框架下速度對應(yīng)的坐標(biāo)未知，可使用其他框架下相差不大的坐標(biāo)代替.

總體而言，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的直接參數(shù)法和間接參數(shù)法差異較小，但本文的轉(zhuǎn)換方法可簡化計算步驟，各參考框架之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)可提前計算后保存，方便程序?qū)崿F(xiàn)，也可以節(jié)約計算資源.