趙柳月，王全保，周平方，段登平

(上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院，上海 200240)

0 引言

位移測量技術(shù)在工程中具有重要意義，是其他變形測量的基礎(chǔ)。為了解決高低溫等非常溫下進行亞像素位移測量的問題，研究了多種測量方法，包括非接觸式全場變形測量技術(shù)，如云紋干涉法、數(shù)字圖像相關(guān)方法、電子散斑干涉法、電子散斑干涉法等[1]。其中，數(shù)字圖像相關(guān)(digital image correction，DIC)是一種非接觸全場測量方法，量程大、精度高、設(shè)備簡單、對測試環(huán)境要求低且易于操作，被廣泛應(yīng)用于位移場和應(yīng)變場測量[2]。該方法利用圖像處理技術(shù)對材料結(jié)構(gòu)實現(xiàn)位移、變形以及應(yīng)力測量，通過匹配變形前后散斑圖像的對應(yīng)點，確定散斑圖像點的位移信息，從而確定全場位移。為了解決整數(shù)形式的像素坐標導(dǎo)致攝影測量精度只能達到像素級的問題，一般采用插值或亞像素算法求得更精確的亞像素位移，曲面擬合法是常用的方法之一[2]。

高低溫環(huán)境下的數(shù)字圖像相關(guān)方法需要利用保溫裝置將相機與外界非常溫環(huán)境隔離。文獻[2]表明相機裝上保護裝置后，透過光學(xué)窗口拍攝的照片足夠清晰可進一步分析。文獻[3]將玻璃折射簡單類比為鏡頭徑向畸變，通過畸變校正減弱了玻璃折射對光路改變的影響。Lyons等[4]用對比實驗證明保溫實驗箱的光學(xué)窗口對圖片質(zhì)量和測量匹配有影響并最終影響數(shù)字圖像相關(guān)方法的測量結(jié)果。然而當前對光學(xué)玻璃引起的折射誤差進行詳細地評估和修正的研究還不夠充分。

本文推導(dǎo)了光學(xué)窗口玻璃折射下的誤差模型，針對偏移誤差提出了一種基于DIC方法的理論校正模型，以減小位移測量時由光學(xué)窗口折射引起的測量誤差。通過研究光學(xué)窗口的玻璃折射光路，分析了其折射效應(yīng)對偏移誤差的影響，定量研究了玻璃和拍攝距離等因素對誤差的影響，驗證本文的校正方法對DIC測量精度的提高作用。

1 數(shù)字圖像相關(guān)方法測量系統(tǒng)

1.1 測量系統(tǒng)

數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)(DIC)是常用的變形測量技術(shù)和圖像匹配技術(shù)。典型的二維數(shù)字圖像相關(guān)方法測量系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)由計算機、工業(yè)攝像機、照明光源和試件等構(gòu)成。試件表面有承載物體信息的紋理圖案，如果原有的紋理圖案不足以表現(xiàn)其變形信息，則在其表面制作人工散斑[5]。

圖1 數(shù)字圖像相關(guān)方法測量系統(tǒng)

1.2 亞像素位移算法

攝像機對不同變形情況下的物體進行拍攝，數(shù)字圖像相關(guān)算法通過相關(guān)函數(shù)尋找變形前后對應(yīng)的像素點。為了得到精度更高的亞像素位移發(fā)展了多個亞像素位移算法，如牛頓-拉夫森(N-R算法)，梯度法和曲面擬合法。文獻[6]表明曲面擬合法能夠兼顧精度和效率，常用于實際工況中。

像素點信息由以該像素點為中心的正方形子區(qū)表征。假設(shè)變形前后像素點坐標為(x,y)和(x′,y′)，變形前后圖像中對應(yīng)的灰度值分別為f(x,y)和g(x′,y′)，u和v表示橫縱方向的位移，變形前后像素點對應(yīng)關(guān)系為：x′ =x+u；y′=y+v。

相關(guān)函數(shù)是描述變形前后圖像子區(qū)相似程度的函數(shù)，最小平方距離相關(guān)函數(shù)[6]表達式如下：

(1)

其中，2M+1是子區(qū)大小。在變形后的圖像中搜索與變形前像素點(x,y)相似度最高的像素點，但通過相關(guān)搜索獲得的位移u和v只能是整像素。為了獲得更加精確的小數(shù)位移值，使用曲面擬合法進一步定位變形后像素點，常用二元二次多項式擬合相關(guān)函數(shù)曲面[6]。對于整像素變形像素點(x′,y′)，鄰域像素點如圖2，擬合的曲面表達式為

(2)

圖2 曲面擬合像素點

文獻[6]證明擬合窗口大小為3×3時，精度最高、效果最好。因此有3×3個表達式，完全足夠求解a0，…，a5的6個未知數(shù)。擬合的曲面求得極值時認為變形后的亞像素位置定位準確，即

(3)

(4)

綜上，使用最小二乘法求解二次曲面的待求系數(shù)，擬合曲面的極值點坐標和亞像素位移分別為：

(5)

u=x′-x；v=y′-y

(6)

1.3 保溫裝置

非常溫環(huán)境下，需要特殊的保護措施才能保證相機正常工作，圖3展示了常見的I-CAN保護罐。保溫罐可正常工作的溫度范圍為-200～100 ℃，內(nèi)部溫度保持在相機正常工作溫度范圍內(nèi)，保溫罐前端會開設(shè)一個由玻璃組成的光學(xué)窗口,相機在保溫罐內(nèi)透過光學(xué)窗口對圖片進行拍攝。

圖3 保溫罐

2 玻璃折射誤差及校正

2.1 折射誤差

保溫罐由一個保溫罐體和一個光學(xué)窗口組成，相機通過光學(xué)窗口對待測物進行攝影，試樣放置在觀察窗口前方，保溫罐內(nèi)放置CCD照相機，其光軸垂直于樣品表面。對于帶有普通光學(xué)玻璃的保溫罐，高低溫下DIC實驗中的測量光路如圖4所示，由于玻璃折射的影響，像素點由真實的位置A點偏移至A′點。L為相機鏡頭到試件的距離，t為玻璃厚度，n為玻璃折射率，x為垂直方向像素點到中心的距離。Δx為因為折射產(chǎn)生的位移偏移。

圖4 包含玻璃影響的DIC實驗的光路

分析圖4中的偏移誤差，由折射定律、幾何相似關(guān)系及MN=OA′-AA′-AQ-OP，化簡得到Δx的表達式為

(7)

式(7)是玻璃折射引起的像素點位移誤差。為了進一步分析其對數(shù)字圖像相關(guān)方法的位移精度的影響，必須對其進行簡化處理。

為了分析像素點偏差規(guī)律，對兩塊玻璃a和b分別進行測試。玻璃各項參數(shù)如表1所示。圖5展示了不同玻璃不同距離下不同階次的擬合誤差，計算范圍為到中心點50 pixel距離內(nèi)的點。

表1 玻璃參數(shù)

(a)玻璃a

(b)玻璃b圖5 不同玻璃不同拍攝距離下折射偏移的擬合誤差

圖5表明當拍攝距離較小時，二階和三階等函數(shù)更好地擬合真實的偏移誤差的走勢，更高次項的擬合沒有明顯減小誤差，但增加了計算量。根據(jù)誤差擬合分析，可以合理假設(shè)偏移誤差可以由x的多項式近似擬合，為了證明假設(shè)的正確性，令

(8)

式中f為一個關(guān)于x的未知函數(shù)，且滿足x的階數(shù)在-3～0之間。

這樣的假設(shè)是基于二次和三次函數(shù),可以很好擬合偏移誤差的驗證。由于x是小于1的數(shù)，為了簡化，省略x高階項x4,x6,x8得到：

(9)

最終可以得到：

(10)

任意方向上的偏移誤差只與像素點到光心投影中心的距離有關(guān)，分解在x軸和y軸上為

(11)

至此，基于實驗分析和假設(shè)驗證合理推出折射誤差模型，根據(jù)玻璃折射的各方向同理性折射僅對像素點相對于圖像中心的模長有影響，該偏移誤差隨著像素點距離中心點距離的增大而增大，外部因素僅與玻璃折射率和厚度以及相機拍攝距離有關(guān),偏移誤差隨著像素點的遠離光心投影點的距離的增大而增大。

2.2 數(shù)字圖像相關(guān)方法校正

玻璃折射使參考圖像上的像素點A偏移了原來的位置，折射前后的坐標分別為(xA,yA)和(x′A,y′A)。經(jīng)過變形之后A點在變形圖像中的對應(yīng)點表示為A′，其在折射前后的坐標分別表示為(xA,yA′)和(x′A,y′A)。則折射下的像素點的位移可以表示為：

(12)

(13)

式中：σxA、σyA分別為變形前x和y方向的折射偏移量；σxA′、σyA′分別為變形后的x和y方向的折射偏移量，具體值由式(11)給出；U和V分別為變形前x和y方向的位移。

考慮到像素點坐標是整數(shù)的形式，直接進行坐標變換無疑在增加工作量的同時引入插值算法的誤差。因此，尋求一個能夠在經(jīng)典曲面擬合的求解過程中便捷地處理玻璃折射誤差的算法。在玻璃折射后的變形圖像中使用相關(guān)函數(shù)尋找極值，通過整像素搜索得到整像素位移值。此時，待求參數(shù)為P=(a0,…,a6),確定n(n≥3)個匹配點代入式(3)和式(4)即可由最小二乘法求得待求參數(shù)的初值。

求得擬合曲面的系數(shù)后，根據(jù)式(5)和式(6)可以得到有折射的位移值，再根據(jù)式(12)和式(13)進行校正得到校正后真實的位移表達式，其中像素點到圖像中心的距離近似為變形前的坐標距離，在推導(dǎo)時做了逆向的近似，因此互相抵消。真實位移值如下：

u={U′-K2[x′(x′2+y′2)-x′(x′2+y′2)]}/(1+K1)

(14)

v={V′-K2[y′(x′2+y′2)-y′(x′2+y′2)]}/(1+K1)

(15)

式中：U′和V′分別為變形后x和y方向的位移。

3 實驗驗證

3.1 標準標定板實驗

為了對光學(xué)窗口的玻璃折射對數(shù)字圖像相關(guān)方法測量精度的影響進行定性的分析，設(shè)計標定板實驗在有玻璃遮擋和無玻璃的情況下對算法計算的位移結(jié)果進行研究，如圖6。實驗主要分為靜態(tài)試驗和平移試驗。靜態(tài)實驗中可以對玻璃引起的偏移誤差進行觀察，對比理論結(jié)果，對玻璃折射的理論誤差模型的推導(dǎo)結(jié)果進行驗證。平移試驗是為了研究光學(xué)窗口的玻璃折射對位移測量的影響以及校正方法的有效性。

圖6 實驗圖片

3.2 折射誤差模型驗證

標定板實驗共分為3組，在相機和試件靜止的情況下，對鏡頭前加玻璃進行保溫裝置光學(xué)窗口的模擬，鏡頭情況分別為無玻璃-有玻璃遮擋，無玻璃-左半部分玻璃遮擋，無玻璃-右半部分玻璃遮擋。使用2個玻璃分別做了對比實驗，實驗結(jié)果類似。下面給出玻璃a的實驗結(jié)果。

其中實驗步驟中無玻璃的圖片可以相互驗證，位移值近似為0可認為平臺穩(wěn)定。圖7～圖9展示了在攝像距離為1.5 m的情況下，在玻璃分別對鏡頭進行全遮擋、左半部分遮擋、右半部分遮擋下，與未進行玻璃遮擋拍攝的圖片進行數(shù)字圖像相關(guān)方法計算得到的u方向的位移變化三維圖。可以看出玻璃折射對位移有著明顯的影響，有玻璃遮擋的部分位移明顯呈現(xiàn)以圖片中心為輻射點，越向外位移量越大的趨勢，與折射誤差模型相符合。圖中展示的測量范圍是100～400 pixel，由玻璃折射產(chǎn)生的偏移誤差達到了4個像素，測量范圍變大誤差將更大。像素點的位移是計算應(yīng)變、匹配的基礎(chǔ)。相應(yīng)地，折射也會引起其他力學(xué)信息的測量。

圖7 全部玻璃遮擋下折射導(dǎo)致的u方向位移三維圖

圖8 左半玻璃遮擋下折射導(dǎo)致的u方向位移三維圖

圖9 右半玻璃遮擋下折射導(dǎo)致的u方向位移三維圖

3.3 校正方法驗證

采用本文提供的校正方法，根據(jù)玻璃參數(shù)和拍攝距離常量參數(shù)對變形前后的圖片進行誤差修正，最終得到校正后的圖片的u方向和v方向的三維位移圖，如圖10所示。對比校正前后的圖片可以看到，位移偏差基本上由4 pixel降到了0.2 pixel。允許測量中微小變動的誤差存在，基本上可以認為通過本文的校正方法，玻璃折射對位移產(chǎn)生的偏移誤差被顯著減小，能夠很好地提高數(shù)字圖像相關(guān)方法的測量精度。

圖10 校正后的位移云圖

進一步研究平移情況下玻璃折射的偏移誤差對測量精度的影響。在玻璃遮擋的情況下，對標定板進行拍攝，標定板在儀器控制下每次進行1 mm的水平移動，根據(jù)拍攝情況1 mm對應(yīng)2.5 pixel。不同位移下，無玻璃拍攝圖片與鏡頭覆蓋玻璃的拍攝圖片分別作為變形前后圖片，使用數(shù)字圖像相關(guān)方法對其進行計算，得到校正前后的位移量如表2所示，未校正的最大絕對誤差為0.192 9 pixel，校正后的最大絕對誤差為0.030 9 pixel，隨著測量范圍的增大，校正對測量精度的改善會更加明顯。

表2 位移計算結(jié)果比較 pixel

圖11為位移測量值誤差。從圖11可以看出不進行校正的圖片由于偏移誤差的存在，導(dǎo)致數(shù)字圖像相關(guān)方法最終得到的位移測量值不穩(wěn)定，誤差較大。經(jīng)過校正后的位移測量誤差低于3%，提高了5%左右。整體測量誤差小于未校正的測量誤差，且測量結(jié)果更加穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

針對非常溫環(huán)境下，攝影測量技術(shù)需在保護裝置中進行，無法避免光學(xué)窗口的玻璃折射影響的問題，本文提出可靠的誤差模型及校正方法。本文通過分析保溫裝置光學(xué)窗口的玻璃折射光路，在合理的簡化、假設(shè)基礎(chǔ)上提出了玻璃折射誤差模型，并根據(jù)誤差模型對數(shù)字圖像相關(guān)方法進行校正。該誤差模型可以準確地表征折射帶來的位移偏差，相應(yīng)的校正方法可以有效地降低數(shù)字圖像相關(guān)方法測量中玻璃折射的影響，提高匹配的精度和位移測量精度，解決了玻璃厚度和測量精度的制約問題，可以在低成本光學(xué)玻璃的情況下進行高精度的測量。

圖11 位移測量值誤差