王海波，楊當(dāng)福，佘衛(wèi)勤，劉圣軍，劉新儒*，陳月安，白燕羽

（1.中南大學(xué)工程建模與科學(xué)計算研究所，湖南長沙 410083；2.中國航發(fā)南方工業(yè)有限公司，湖南 株洲 12000）

0 引 言

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，計算機輔助幾何設(shè)計在機械、航空、建筑等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，曲線曲面表示方法作為計算機輔助幾何設(shè)計中的重要方法［1］，廣受學(xué)者關(guān)注。在曲線曲面表示方法中，基函數(shù)的構(gòu)造尤為重要。

傳統(tǒng)的Bézier 基函數(shù)、B 樣條基函數(shù)雖然具有很多優(yōu)良性質(zhì)，但一旦曲線曲面的控制頂點確定，其形狀也隨之確定，而在實際應(yīng)用中，往往需要對曲線曲面的形狀進行微調(diào)。文獻［2］將權(quán)因子引入有理Bézier 曲線，文獻［3-4］在線性無關(guān)的三角函數(shù)生成空間中，構(gòu)造了帶參數(shù)的三角Bézier 基函數(shù)，通過調(diào)節(jié)權(quán)因子或參數(shù)達到調(diào)節(jié)曲線形狀的目的。與有理基函數(shù)、三角Bézier 基函數(shù)相比，多項式基函數(shù)具有易于求導(dǎo)、計算簡便等優(yōu)點。文獻［5-8］構(gòu)造了一系列帶形狀參數(shù)的擴展Bézier 基函數(shù)，增加了曲線曲面的自由度，便于調(diào)節(jié)形狀。此外，求插值于給定數(shù)據(jù)點的Bézier 曲線或B 樣條曲線通常通過求解線性方程組實現(xiàn)，此方法雖然可滿足曲線光順、保凸等要求，但求解線性方程組的工作量較大。文獻［9-14］分別基于不同的基函數(shù)（包括（有理）多項式插值樣條基函數(shù)、（有理）三角插值樣條基函數(shù)）構(gòu)造了保形插值曲線，并推導(dǎo)了形狀參數(shù)和局部參數(shù)的約束條件。另外，通過調(diào)節(jié)參數(shù)大小，可獲得光順性更好的插值曲線。

可展曲面因其獨特的性質(zhì)在工業(yè)設(shè)計與制造中應(yīng)用廣泛?，F(xiàn)有的可展曲面設(shè)計方法主要有2 種：（1）將可展曲面看作直紋面的特殊情況，予張量積直紋面以一定的約束，求解特征方程組［15-17］；（2）利用點面幾何的對偶性設(shè)計可展曲面［18］。第1 種方法所形成的特征方程組通常呈非線性，求解較困難；第2 種方法在調(diào)節(jié)可展曲面的形狀上有一定欠缺。文獻［19-23］在第2 種方法基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一系列帶形狀參數(shù)的可展曲面，一定程度上彌補了第2 種方法的不足。

本文提出一種新的帶2 個形狀參數(shù)的四次多項式基函數(shù)。該基函數(shù)具有較好的形狀調(diào)節(jié)能力和良好的性質(zhì)。特別地，當(dāng)2 個形狀參數(shù)都等于0 時，該基函數(shù)就退化為三次伯恩斯坦基函數(shù)。利用此基函數(shù)，構(gòu)造了G1連續(xù)插值樣條，并討論了樣條曲線的保形性。另外，基于對偶性原理，設(shè)計了可展曲面，討論了構(gòu)造G0、G1、G2和G3連續(xù)曲面時參數(shù)的選取條件。最后，用具體實例進行了說明。

1 帶2 個形狀參數(shù)的多項式基函數(shù)

定義1對任意的t∈[0，1]，λ1，λ2∈[0，1]，

為帶2 個形狀參數(shù)λ1，λ2的四次多項式基函數(shù)。

1.1 基函數(shù)的性質(zhì)

（?。┩嘶裕寒?dāng)λ1=λ2=0 時，式（1）退化為三次伯恩斯坦基函數(shù)。

（ⅱ）非負性：對任意的λ1，λ2∈[0，1]，有Fi，4(t) ≥0，i=0，1，2，3。

證明將式（1）改寫為

其 中，Bi，4(t)(i=0，1，…，4)為四次伯恩斯坦基函數(shù)，當(dāng)λ1，λ2∈[0，1]時，矩陣A的元素均非負，而四次伯恩斯坦基函數(shù)也非負，故對任意的λ1，λ2∈[0，1]，均有Fi，4(t) ≥0，i=0，1，2，3。

（ⅲ）歸一性：對任意的λ1，λ2∈[0，1]，有

（ⅳ）端點性：對任意的λ1，λ2∈[0，1]，有

（ⅴ）對稱性：當(dāng)λ1=λ2時，有

（ⅵ）線性無關(guān)性：對任意的λ1，λ2∈[0，1]，F(xiàn)i，4(t) (i=0，1，2，3)線性無關(guān)。

1.2 逼近性質(zhì)及形狀控制

定義 2給定 4 個控制頂點Pi∈Ru(u=2，3；i=0，1，2，3)，帶2 個形狀參數(shù)的曲線表達式為

其 中，λ1，λ2∈[0，1]，F(xiàn)i，4(t) (i=0，1，2，3)為 式（1）中定義的基函數(shù)。

對任意的λ1，λ2∈[0，1]，該曲線有以下性質(zhì)：

（?。┒它c性

端點滿足：

端點導(dǎo)數(shù)滿足：

端點二階導(dǎo)數(shù)滿足：

（ⅱ）對稱性

（ⅲ）凸包性

所生成的曲線始終位于Pi∈Ru(u=2，3，i=0，1，2，3)所構(gòu)成的凸包內(nèi)。

（ⅳ）變差減少性

除包含控制多邊形的整個平面外，任意平面與該曲線的交點數(shù)均不會超過該曲線與控制多邊形的交點數(shù)。

（ⅴ）平移與仿射不變性

該曲線滿足

其 中，為Ru(u=2，3)中的任意向量，H為任意u×u(u=2，3)階矩陣。

（ⅵ）形狀可調(diào)性

該曲線的2 個形狀參數(shù)λ1，λ2∈[0，1]，增加了曲線的自由度。

形狀調(diào)節(jié)可視化效果如圖1 所示，其中，黑實線表示控制多邊形，圖1（a）中，λ2=0，紅、綠、藍、黃、黑、青 虛 線 分 別 表 示λ1=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0；（b）中，λ1=0，紅、綠、藍、黃、黑、青虛線分別表示λ2=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0；（c）中，λ1+λ2=1，紅、綠、藍、黃、黑、青 虛 線 分 別 表 示λ1=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0；（d）中，λ1=λ2，紅、綠、藍、黃、黑、青 虛線分別表示λ1=λ2=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0。 由圖 1 可知，對于固定的t（t∈[0，1]），當(dāng)只增大λ1時，曲線向控制頂點P2偏移；當(dāng)只增大λ2時，曲線向控制頂點P1偏移；當(dāng)增大λ1、減小λ2時，曲線向控制頂點P2偏移；當(dāng)同時增大λ1和λ2時，曲線向控制多邊形靠近。

1.3 保正插值及條件

定義3給定一組數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i=1，2，…，n)，其中，x1＜x2＜…＜xn，四次插值樣條為

其中，F(xiàn)j，4(t)(j=0，1，2，3)為式（1）定義的基函數(shù)，為插值曲線在xi處的導(dǎo)數(shù)值，基于文獻［11］中的算術(shù)平均方法即式（4）計算得到。記區(qū)間[xi，xi+1] (i=1，2，…，n?1)上 的 第i條 曲 線 段為s(i)(x)。

圖1 形狀參數(shù)對曲線的調(diào)節(jié)作用Fig.1 The adjustment effect of shape parameters on the curve

由基函數(shù)的端點性質(zhì)和式（4）、式（5），有

其中，i=1，2，…，n?1。則S(x)插值于所有給定的數(shù)據(jù)點，而且在相鄰曲線段的連接點處可達G1連續(xù)。

對于給定的數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i=1，2，…，n)，若yi＞0(i=1，2，…，n)，使 得S(x)＞0，x∈[x1，xn]，則稱插值曲線具有保正性。

不失一般性，考慮區(qū)間[xi，xi+1]上的曲線段s(i)(x)(i=1，2，…，n?1)。利用式（2），將式（4）改寫為

由yi＞0(i=1，2，…，n)及式（6），可得使s(i)(x)＞0成立的充分條件為

時，有S(x)＞0，x∈[x1，xn]。 通過調(diào)節(jié)可使曲線更加光順。

1.4 保單調(diào)插值及條件

式（4）所定義的插值樣條不僅具有保正性，而且在一定條件下還具有保單調(diào)性。下面分析插值樣條的保單調(diào)性及其條件。

對于給定的單調(diào)數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i=1，2，…，n)，即yi+1≥yi或yi+1≤yi(i= 1，2，…，n?1)，x∈[x1，xn]，使得S′(x)≥0，則稱插值曲線具有保單調(diào)性。本文只考慮數(shù)據(jù)點單調(diào)遞增的情況，數(shù)據(jù)點單調(diào)遞減的情況類似可證。

不失一般性，考慮在區(qū)間[xi，xi+1]上的曲線段s(i)(x)(i=1，2，…，n?1)，對 式（6）求導(dǎo)，經(jīng)整理可得

當(dāng)yi+1≥yi(i=1，2，…，n?1)，即Δi≥0 時，由 式（5）可 知，d(i)≥0，故由式（8），得到滿足S′(x)≥0(x∈[x1，xn])的充分條件為

（?。┊?dāng)滿足Δi=0，時，有di=di+1=0，則對任意的均 有s(i)′(x)=0，并且在區(qū)間[xi，xi+1]上的曲線段s(i)(x)=yi=yi+1。

時，有S′(x)≥0(x∈[x1，xn])。

由式（10）和式（11）可知，當(dāng)Δi＞0 時，取

可得S′(x)≥0(x∈[x1，xn])。

2 可展曲面構(gòu)造

由3D 射影空間中點與平面的對偶性，將式（3）中的控制頂點Pi(i=0，1，2，3)替代為控制平面Qi(i=0，1，2，3)，便可得到帶2 個形狀參數(shù)的單參數(shù)平面族

其 中，t∈[0，1]，Qi=(ai，bi，ci，di)，ai，bi，ci，di∈R(i=0，1，2，3)為控制平面，ai，bi，ci為控制平面上的點，di為(ai，bi，ci)到原點的距離。

2.1 包絡(luò)可展曲面構(gòu)造

在式（12）定義的帶2 個形狀參數(shù)的單參數(shù)平面族中，2 個相鄰的平面相交于一條直線，且該直線位于包絡(luò)可展曲面上。式（12）中，對應(yīng)于任意一個t值的平面可表示為向量形式：

記為E(t)X=e3(t)，其中，

對式（13）求一階導(dǎo)數(shù)，得

記為E′(t)X=e′3(t)，其中，

則式（13）和式（14）所形成的2 個平面的交線即曲面與t的母線，在可展曲面上，計算該交線L(t)=(u，v)，其中，u=E(t)×E′(t)為L(t)的法向量，v=e′(t)E(t)?e(t)E′(t)。設(shè)p(t)為直線上與t最接近原點的點，則p(t)=。因而L(t)的方程可用以下參數(shù)形式表示：

2.2 脊線可展曲面構(gòu)造

在式（12）定義的帶2 個形狀參數(shù)的單參數(shù)平面族中，3 個相鄰平面的交點q(t)稱為t的特征點，這些特征點形成的曲線，即為脊線。

對式（13）求二階導(dǎo)數(shù)，得

則q(t)可表示為

因此，可展曲面的參數(shù)表達式為

3 可展曲面的拼接連續(xù)性分析

假設(shè)待拼接的兩可展曲面為

3.1 可展曲面的G0 連續(xù)拼接

若S(2)(0)=S(1)(1)，則稱兩曲面G0連續(xù)。可得滿足G0連續(xù)拼接的條件為

3.2 可展曲面的G1 連續(xù)拼接

其中，β1＞0 為常數(shù)，則稱兩曲面G1連續(xù)?？傻脻M足G1連續(xù)拼接的條件為

3.3 可展曲面的Farin-Boehm G2 連續(xù)拼接

若

則稱兩曲面Farin-BoehmG2連續(xù)。當(dāng)1≠0 時，可得滿足Farin-BoehmG2連續(xù)拼接的條件為

3.4 可展曲面的G2 beta 連續(xù)拼接

其中，β1＞0，β2為常數(shù)，則稱兩曲面G2beta連續(xù)。當(dāng)時，滿足G2beta連續(xù)拼接的條件為

3.5 可展曲面的G3 beta 連續(xù)拼接

若

其中，β1＞0，β2，β3為常數(shù)，則稱兩曲面G3beta 連續(xù)。當(dāng)時，滿足G3beta 連續(xù)拼接的條件如式（21）所示。

4 實例分析

4.1 形狀參數(shù)

為更好地說明形狀參數(shù)的調(diào)節(jié)作用，圖2 給出了4 類曲線的幾何造型實例。在圖2（a）梨子、（b）蝴蝶中，實線、虛線、雙劃線所對應(yīng)的參數(shù)值分別為λ1=λ2=0，0.5，1，隨著λ1，λ2的增大，梨子、蝴蝶逐漸變大。在圖2（c）花瓣、（d）楓葉中，實線、虛線、雙劃線所對應(yīng)的參數(shù)值分別為λ1=0，λ2=1；λ1=0.5，λ2=0.5；λ1=1，λ2=0，隨著λ1，λ2的變化，花瓣、楓葉的形狀發(fā)生了變化。

圖2 曲線圖形造型實例可視化Fig.2 Visualization of curve graphic modeling examples

4.2 插值樣條的保正性

表1 所示為文獻［12］中的正數(shù)據(jù)集。圖3 為保正插值曲線可視化圖，其中，圖3（a）中，參數(shù)=1(i=1，2，…，6)，ξ1=(3，15，1，1，20，10)，ξ2=(3，2，1，1，4，5)，（b）中，參數(shù)λ1=(0，0.9，0.5，0.2，0.8，1.0)，λ2=(0，0.6，0.1，0.5，0.5，1.0)，ε1=(3，1，3，3，3，8)，ε2=(4，0，2，5，5，3)。表2 為文獻［14］中的正數(shù)據(jù)集。圖3（c）中，參數(shù)=1(i=1，2，…，7)，ξ1=(3，1，1，1，1，1，1)，ξ2= (3，1，1，1，1，4，1)，（d）中，參數(shù)λ1=(0，1.0，0.5，0.2，0.8，1.0，0.5)，ε1=(3，3.5，3，3，3，1，8)，λ2= (0，1.0，0.1，0.5，0.5，1.0，0.8)，ε2=(4，3，2，5，5，3，2）。（a）和（c）中的參數(shù)是隨機選取的，曲線不保正。（b）和（d）中的參數(shù)滿足式（7），曲線是保正的。

表1 文獻［12］中的正數(shù)據(jù)集Table 1 Positive dataset in paper［12］

表2 文獻［14］中的正數(shù)據(jù)集Table 2 Positive dataset in paper［14］

4.3 插值樣條的保單調(diào)性

表3 為文獻［12］中的單調(diào)遞增數(shù)據(jù)集。圖4 為單調(diào)遞增插值曲線可視化圖，其中，圖4（a）中，參數(shù)=1(i=1，2，3)，ξ2=(1，3，1)，（b）中，參數(shù)λ1= (1，1，1)，λ2= (0.1，1，1)，τ1= (1，1，5)，τ2=(5，1，1)。表4 為文獻［14］中的單調(diào)遞增數(shù)據(jù)集。圖4（c）中，參數(shù)=1(i=1，2，…，10)，ξ2=(1，3，1，1，1，1，1，1，1，1)，（d）中，參數(shù)λ1=(1，1，1，1，1，1，1，1，0.2，1)，τ1=(1，1，1，1，1，1，1，1，12，1)，λ2=1(1，2，…，10)，τ2=(1，1，1，1，1，1，1，1，5，1)。（a）和（c）中的參數(shù)是隨機選取的，為非單調(diào)曲線。（b）和（d）中的參數(shù)滿足式（9），為單調(diào)曲線。

圖4 單調(diào)遞增插值曲線可視化Fig.4 Visualization of monotonically increasing interpolation curve

表4 文獻［14］中的單調(diào)數(shù)據(jù)集Table 4 Monotonically increasing dataset in paper［14］

4.4 包絡(luò)可展曲面

由文獻［20］中4 個控制平面

所設(shè)計的包絡(luò)可展曲面如圖5～圖7 所示。由圖5可知，當(dāng)λ2不變時，隨λ1的增大，曲面的起始邊(t=0)不斷變長，終止邊(t=1)的卷曲程度不斷增加。由圖6 可知，當(dāng)λ1不變時，隨λ2的增大，曲面的起始邊(t=0)的卷曲程度不斷增加，終止邊(t=1)不斷變長。由圖7 可知，當(dāng)λ1和λ2同時增大時，曲面的起始邊和終止邊均不斷變長，彎曲程度有所增加。

圖5 λ1 對包絡(luò)可展曲面的影響可視化Fig.5 Visualization of the influence of λ1 on the enveloping developable surface

圖6 λ2 對包絡(luò)可展曲面的影響可視化Fig.6 Visualization of the influence of λ2 on the enveloping developable surface

圖7 λ1，λ2 對包絡(luò)可展曲面的影響可視化Fig.7 Visualization of the influence of λ1，λ2 on the enveloping developable surface

4.5 脊線可展曲面

由文獻［20］中4 個控制平面

所設(shè)計的脊線可展曲面如圖8～圖10 所示。由圖8可知，當(dāng)λ2不變時，隨λ1的增大，曲面的起始邊(t=0)不斷變短，終止邊(t=1)的卷曲程度不斷增大。由圖9 可知，當(dāng)λ1不變時，隨λ2的增大，曲面的起始邊(t=0)的卷曲程度不斷增加，終止邊(t=1)不斷變短。由圖10 可知，當(dāng)λ1和λ2同時增大時，曲面的起始邊和終止邊都不斷變長，彎曲程度有所增加。

4.6 可展曲面的連續(xù)性拼接

由文獻［20］中4 個控制平面

作為以下連續(xù)性例子的第1 個包絡(luò)可展曲面的控制平面。由式（18）得到第2 個可展曲面的前2 個控制平面，任給后2 個控制平面即可達到G1連續(xù)。取β1=1，=0，設(shè)第2 個可展曲面的控制平面為

由式（19）、式（20）可得，第2 個可展曲面的前3個控制平面，任給最后一個控制平面，即達到Farin-BoehmG2連 續(xù)、G2beta 連續(xù)，由式（21）可得，第2 個可展曲面的所有控制平面達到G3beta 連續(xù)。連續(xù)性條件的參數(shù)設(shè)置、第2 個可展曲面的控制平面設(shè)置如表5 所示，拼接可展曲面可視化及相應(yīng)的拼接曲面連續(xù)性高光帶渲染結(jié)果如圖12 所示，其中天藍色曲面為第1 個可展曲面，米黃色曲面為第2 個可展曲面，紫紅色為高光帶。

5 結(jié)論及展望

圖8 λ1 對脊線可展曲面的影響可視化Fig.8 Visualization of the influence of λ1 on the spine curve developable surface

圖9 λ2 對脊線可展曲面的影響可視化Fig.9 Visualization of the influence of λ2 on the spine curve developable surface

圖10 λ1，λ2 對脊線可展曲面的影響可視化Fig.10 Visualization of the influence of λ1，λ2 on the spine curve developable surface

圖11 不同參數(shù)對拼接G1 連續(xù)可展曲面的影響可視化及拼接曲面連續(xù)性高光帶渲染結(jié)果Fig.11 Visualization of the effects of different parameters on the blending G1 continuous developable surfaces and rendering results of continuum highlight bands for blending surfaces

構(gòu)造了帶2 個形狀參數(shù)的四次多項式基函數(shù)，是對三次伯恩斯坦基函數(shù)的擴展，具有退化性、非負性、歸一性、端點性、對稱性、線性無關(guān)性等性質(zhì)。當(dāng)該基函數(shù)用于構(gòu)造曲線時，同樣具有端點性、對稱性、凸包性、變差減少性、平移與仿射不變性、形狀可調(diào)性等性質(zhì)，可在不改變曲線控制頂點的前提下，通過改變形狀參數(shù)調(diào)節(jié)曲線形狀。在此基礎(chǔ)上，基于該基函數(shù)設(shè)計了4 次插值樣條，該插值樣條自動滿足G1連續(xù)。并討論了當(dāng)形狀參數(shù)及局部參數(shù)滿足一定條件時，該插值樣條具有保正性和保單調(diào)性。此外，將該基函數(shù)用于構(gòu)造可展曲面，利用對偶性理論設(shè)計脊線可展曲面和包絡(luò)可展曲面，并討論了包括G0連續(xù)、G1連續(xù)、Farin-BoehmG2連續(xù)、G2beta連續(xù)、G3beta 連續(xù)的可展曲面的連續(xù)性條件。最后通過具體實例進行了驗證分析。

表5 連續(xù)性條件的參數(shù)及第2 個可展曲面的控制平面設(shè)置Table 5 Parameter setting，control planes setting of the second developable surface of continuity condition

圖12 拼接可展曲面可視化及拼接曲面連續(xù)性高光帶渲染結(jié)果Fig.12 Visualization of the blending developable surfaces and rendering results of continuum highlight bands for blending surfaces

在設(shè)計可展曲面過程中，筆者發(fā)現(xiàn)控制平面的構(gòu)造比較困難，其幾何意義不夠明確。如果能進一步探明可展曲面與其控制平面之間的幾何關(guān)系，探尋控制平面的構(gòu)造規(guī)律，將極大擴展可展曲面的應(yīng)用范圍。所有這些有待進一步研究。