黎文科， 楊鐵軍， 李新輝

(哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

結(jié)構(gòu)在極端載荷作用下容易發(fā)生破壞，造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失及人員傷亡。有效控制結(jié)構(gòu)振動一直是各國學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題[1]。非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)是一種新型的被動振動控制設(shè)備，當(dāng)其與主結(jié)構(gòu)相連接時，由于非線性作用力的原因，常常具有獨(dú)特的動力學(xué)特性。例如，NES能夠?qū)崿F(xiàn)從主結(jié)構(gòu)向NES單向地、不可逆地傳遞能量，這種現(xiàn)象被稱為靶能量傳遞[2-3]。另一方面，NES還能夠?qū)崿F(xiàn)能量從低頻振動向高頻振動的轉(zhuǎn)移，由于在相同能量水平下，高頻振動常常具有幅值較小，更容易被阻尼等耗散的特點(diǎn)，這種能量轉(zhuǎn)移能夠有效的降低結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)[3-4]。軌道型非線性能量阱(track NES)是一種新型的NES，由Wang等[5]提出之后就受到學(xué)者的廣泛關(guān)注。不同于其他NES設(shè)備，軌道型NES通過設(shè)置一個質(zhì)量在特定的軌道上運(yùn)動實現(xiàn)非線性回復(fù)力。數(shù)值仿真[5]和實驗研究[6]都表明，軌道型NES能夠有效地抑制結(jié)構(gòu)在地震載荷作用下的動力學(xué)響應(yīng)。進(jìn)一步的，劉中坡等[7]將軌道型NES應(yīng)用于大型樓房結(jié)構(gòu)的抗震控制之中，實驗結(jié)果表明，在多種地震載荷作用下，軌道型NES均能有效地抑制結(jié)構(gòu)響應(yīng)，尤其對位移均方根響應(yīng)控制效果最為突出。隨后，劉中坡等[8]又將軌道型NES應(yīng)用于高層結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)振控制之中，結(jié)果表明，優(yōu)化的軌道型NES能夠同時抑制多個模態(tài)的振動，提高建筑在脈動風(fēng)振載荷作用下的舒適程度。在軌道型NES設(shè)計過程中，軌道形狀，NES質(zhì)量以及阻尼等是重要的設(shè)計參數(shù)，不同的參數(shù)將會導(dǎo)致不同的控制效果。因此，對軌道型NES設(shè)計參數(shù)的研究和分析對其實際應(yīng)用有著重要的指導(dǎo)意義。王菁菁等[9]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)實際輸入系統(tǒng)中的能量與設(shè)計輸入能量差異較大時對軌道型NES性能的影響較大，但是這種影響可以通過調(diào)節(jié)阻尼而消除。王菁菁等[10]還比較了不同軌道形狀對軌道型NES性能的影響，并從控制效果和實際實現(xiàn)等方面給出了軌道形狀的選擇建議。Lu等[11]給出了一種軌道型NES的參數(shù)優(yōu)化的通用方法，并將其應(yīng)用于大型結(jié)構(gòu)的振動控制之中，實驗結(jié)果驗證了優(yōu)化策略的有效性。碰撞過程會導(dǎo)致速度的迅速改變，并伴有能量損失，在NES的設(shè)計過程中常常被考慮。Wang等[12]通過在軌道型NES的基礎(chǔ)上增加一個單側(cè)的碰撞表面，將其擴(kuò)展成單側(cè)碰撞軌道型非線性能量阱(single-sided vibro-impact track nonlinear energy sink, SSVI Track NES)。該SSVI Track NES在運(yùn)動過程中會產(chǎn)生光滑和非光滑非線性回復(fù)力。并且由于碰撞表面的引入，進(jìn)一步增強(qiáng)了能量從低頻振動向高頻振動的轉(zhuǎn)移。大量結(jié)果表明這種SSVI Track NES能夠在更寬的范圍內(nèi)有效抑制結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)。Li等[13-14]考慮了主結(jié)構(gòu)豎直方向的動力學(xué)特性，并通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)SSVI Track NES能夠?qū)⒅鹘Y(jié)構(gòu)水平方向的振動轉(zhuǎn)移至豎直方向的振動。對于建筑結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)豎直方向的剛度通常很大，且不容易發(fā)生破壞。因此，水平方向向豎直方向的能量轉(zhuǎn)移有利于保護(hù)結(jié)構(gòu)。受到以往研究[13-15]的啟發(fā)，本文提出一種對稱單側(cè)碰撞軌道型非線性能量阱(symmetric single-sided vibro-impact track nonlinear energy sink, SSSVI Track NES)，克服了SSVI Track NES振動控制性能受載荷方向的影響這一問題。首先，推導(dǎo)系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并討論設(shè)計參數(shù)變化對其振動控制性能的影響。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，SSSVI Track NES不僅僅是2個SSVI Track NES的簡單組合，還存在更加復(fù)雜的動力學(xué)過程，會產(chǎn)生更復(fù)雜的運(yùn)動。數(shù)值仿真表明，SSSVI Track NES不僅能夠有效的抑制結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)，實現(xiàn)能量從低頻振動向高頻振動的能量轉(zhuǎn)移，還對軌道形狀及NES質(zhì)量等設(shè)計參數(shù)的差異具有很強(qiáng)的魯棒性，這對其實際應(yīng)用具有十分重要的現(xiàn)實意義。

1 對稱軌道型單側(cè)碰撞NES

作為一種新型的NES，SSSVI Track NES不僅具有SSVI Track NESS的優(yōu)點(diǎn)：通過與待減振結(jié)構(gòu)之間的光滑和非光滑非線性回復(fù)力，實現(xiàn)在較短的時間內(nèi)迅速降低結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)。對稱布置可以克服SSVI Track NES對于外部載荷方向的敏感性這一問題。

如圖1為帶有SSSVI Track NES的系統(tǒng)示意圖。主結(jié)構(gòu)為1個單自由度線性振子，其質(zhì)量為m1，通過剛度為k1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為c1的線性阻尼與基礎(chǔ)相連接，其位移用X1表示。SSSVI Track NES由2個質(zhì)量mN1和mN2分別在形狀H1(U1)和H2(U2)的軌道上運(yùn)動構(gòu)成，其中U1和U2分別代表質(zhì)量mN1和mN2的相對于主結(jié)構(gòu)的位移，XN1和XN2分別代表質(zhì)量mN1和mN2的絕對位移。NES與主結(jié)構(gòu)之間為線性阻尼，阻尼系數(shù)分別為cN1和cN2。在距離軌道底部B和-B的位置布置碰撞表面，當(dāng)NES中的質(zhì)量運(yùn)動到碰撞表面時，NES與主結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，同時伴有動量交換和能量損失。

圖1 對稱軌道型單側(cè)碰撞NES系統(tǒng)示意Fig.1 SDOF system with a SSSVI track NES

1.1 非碰撞間隔運(yùn)動方程

假設(shè)SSSVI Track NES的2個質(zhì)量mN1和mN2在運(yùn)動過程中均不與軌道分離。當(dāng)質(zhì)量塊mN1和主結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1之間的相對位移大于間隙-B、且非線性能量阱的質(zhì)量塊mN2和主結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1之間的相對位移小于間隙B時，NES中的2個質(zhì)量均未達(dá)到碰撞表面，主結(jié)構(gòu)與SSSVI Track NES不發(fā)生碰撞。此時，整個系統(tǒng)的勢能為：

(1)

整個系統(tǒng)的動能為：

(2)

非保守力所做虛功為：

(3)

將式(1)～(3)分別代入拉格朗日方程：

(4)

可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程：

(5)

式中：U1、U2分別代表SSSVI Track NES中質(zhì)量mN1和mN2相對主結(jié)構(gòu)的位移；X1代表主結(jié)構(gòu)位移，重力加速度為g。NES在運(yùn)動過程中產(chǎn)生的非線性回復(fù)力為：

(6)

式中FNi(i=1,2)分別代表SSSVI Track NES中質(zhì)量mN1和mN2在運(yùn)動過程中產(chǎn)生的非線性恢復(fù)力。

(7)

其中NES在運(yùn)動過程中產(chǎn)生的無量綱化非線性回復(fù)力為：

1.2 碰撞時運(yùn)動方程

當(dāng)主結(jié)構(gòu)與SSSVI Track NES的相對位移之差等于碰撞間隙的時候，主結(jié)構(gòu)與SSSVI Track NES質(zhì)量發(fā)生碰撞。假設(shè)在碰撞的時，主結(jié)構(gòu)和SSSVI Track NES的速度迅速改變，SSSVI Track NES與主結(jié)構(gòu)之間發(fā)生動量的交換，同時伴有能量損失。碰撞結(jié)束后，SSSVI Track NES和主結(jié)構(gòu)又以新的初值運(yùn)動，直至下一次碰撞發(fā)生。假設(shè)碰撞是一瞬時發(fā)生的，恢復(fù)系數(shù)為：

(8)

式中上標(biāo)-和+分別表示碰撞前時刻和碰撞之后時刻。當(dāng)SSSVI Track NES中的2個質(zhì)量mN1或mN2中僅有1個與主結(jié)構(gòu)m1發(fā)生碰撞時，通過引入動量守恒定律，碰撞前后SSSVI Track NES和主結(jié)構(gòu)的速度為：

(9)

然而，整個系統(tǒng)在運(yùn)動過程中還存在另一種碰撞，即SSSVI Track NES的2個質(zhì)量同時到達(dá)碰撞邊界，則會發(fā)生3個質(zhì)量的相互碰撞。結(jié)合恢復(fù)系數(shù)定義及動量守恒方程可以得到：

(10)

因此，SSSVI Track NES不僅僅是2個SSVI Track NES的簡單對稱布置，而是存在更加復(fù)雜的動力學(xué)行為。

2 仿真結(jié)果及分析

在仿真過程中檢測SSSVI Track NES的質(zhì)量mN1或mN2是否抵達(dá)碰撞表面。若判斷結(jié)果為真，則中斷仿真，判斷此時屬于何種碰撞模式，并將速度代入到式(9)或式(10)中計算碰撞后的速度。將得到的結(jié)果視作新的初始條件，重新開始計算。

2.1 軌道形狀和NES質(zhì)量的影響

SSSVI Track NES由于碰撞耗散的能量如圖2所示，從圖中可以觀察到對于質(zhì)量較小的情況，碰撞耗散的能量很少，這是由于質(zhì)量過于小從而不能有效的從主結(jié)構(gòu)吸收能量并耗散。相比較軌道形狀而言，質(zhì)量對碰撞耗散的能量影響更為明顯。另一方面，存在最優(yōu)的軌道形狀參數(shù)和質(zhì)量組合使碰撞損耗的能量達(dá)到最大值(約占總能量的60%)。

圖2 碰撞耗散的能量Fig.2 Energy dissipated due to impact

從圖3可以看出，隨著軌道形狀參數(shù)aNi的增加，阻尼耗散的能量明顯降低，而說明軌道形狀對阻尼耗散的能量影響較大。觀察到當(dāng)固定軌道形狀而改變SSSVI Track NES質(zhì)量參數(shù)時，阻尼耗散的能量并未發(fā)生明顯改變，說明相比較NES質(zhì)量而言，軌道形狀對阻尼耗散的能量影響更為明顯。

圖3 阻尼耗散的能量Fig.3 Energy dissipated due to damping

從圖4可以看出，當(dāng)質(zhì)量過小或者軌道形狀參數(shù)過大的時候，SSSVI Track NES耗散的總能量都很少。存在1個特定的SSSVI Track NES軌道形狀和質(zhì)量的組合使得總耗散的能量達(dá)到最大值。

圖4 總耗散的能量Fig.4 Total energy dissipated

2.2 系統(tǒng)響應(yīng)分析

選取從圖4中總耗散能量最多的NES軌道形狀和質(zhì)量組合aN1=aN2=0.001和mNES=0.32作為以下仿真參數(shù)。同時將SSSVI Track NES與NES鎖住的情況進(jìn)行對比。NES鎖住是將NES與主結(jié)構(gòu)固定在一起，主結(jié)構(gòu)與NES之間沒有相對運(yùn)動，NES鎖住時SSSVI Track NES的2個質(zhì)量塊和主結(jié)構(gòu)相當(dāng)于一個整體。從主結(jié)構(gòu)振動的角度來看，這樣選擇時具有相同的附加質(zhì)量。

如圖5為NES鎖住和NES未鎖住2種情況下主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。從圖5(a)可以看出，當(dāng)NES未鎖住時，主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)迅速降低，說明SSSVI Track NES能夠迅速降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)。從圖5(b)可以看出，除了迅速降低主結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)之外，SSSVI Track NES還會引起速度的突然改變，這種速度的突然改變是由碰撞引起的。

主結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)進(jìn)行小波變換如圖6所示。比較SSSVI Track NES鎖住和SSSVI Track NES未鎖住的情況發(fā)現(xiàn)，對于SSSVI Track NES鎖住的情形，整個系統(tǒng)只存在一種頻率的振動；而對于SSSVI Track NES未鎖住的情形，除了低頻率的振動以外，還存在更高頻率的振動，說明SSSVI Track NES能夠?qū)崿F(xiàn)低頻振動向高頻振動轉(zhuǎn)移。結(jié)合圖5可知這種低頻振動向高頻振的轉(zhuǎn)移主要是由碰撞引起的。低頻振動向高頻振的轉(zhuǎn)移對于降低結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)是有意義的：高頻振動的能量更容易被阻尼等耗散，另一方面，在同等能量量級下，高頻振動的幅值小于低頻振動的幅值，因此能夠快速、有效地抑制結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。

2.3 魯棒性分析

在實際應(yīng)用過程中，由于加工誤差等的存在，使設(shè)備參數(shù)完全符合設(shè)計要求將會導(dǎo)致巨大的成本。另一方面，設(shè)備在使用過程中會存在損耗，從而導(dǎo)致偏離設(shè)計要求?；谶@些考慮，檢驗SSSVI Track NES參數(shù)差異對其性能的影響則顯得十分重要。SSSVI Track NES的設(shè)計參數(shù)主要體現(xiàn)在軌道形狀和質(zhì)量2個方面。首先考慮當(dāng)SSSVI Track NES質(zhì)量為mNES=0.32時，軌道形狀變化對其降低系統(tǒng)中能量的影響。選取aN1=0.001，而將aN2的變化范圍設(shè)置為最優(yōu)值的0.8～1.2。圖7可以看出，隨著aN2/aN1的增加，碰撞耗散的能量減少，阻尼耗散的能量增加，但總耗散的能量變化不明顯，說明在小范圍內(nèi)改變軌道形狀，對其性能的影響并不大。因此，可以說明SSSVI Track NES對軌道形狀差異具有很好的魯棒性。

圖5 主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)Fig.5 Primary structure response

圖6 主結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)小波變換Fig.6 Wavelet spectrum of velocity response of the primary structure

圖7 對軌道差異性的魯棒性Fig.7 Robustness to track shape differences

為了檢驗SSSVI Track NES中2個質(zhì)量mN1和mN2之間的差異對其性能的影響，固定mN1=0.16，而將mN2的變化范圍設(shè)置為最優(yōu)值的0.8～1.2倍。從圖8可以觀察到，隨著mN2/mN1的增大，總耗散的能量和碰撞耗散的能量均增加，而阻尼耗散的能量減少。注意到，碰撞的耗散能量的增加會更有利于系統(tǒng)響應(yīng)的降低，這主要是由于碰撞會導(dǎo)致低頻振動向高頻振動轉(zhuǎn)移，進(jìn)而更容易將能量耗散。當(dāng)mN2/mN1超過1之后，總耗散的能量增加并不明顯，卻導(dǎo)致NES的總質(zhì)量增加，這是不利的，因此應(yīng)該避免增加額外的質(zhì)量?？傮w來說，SSSVI Track NES對于設(shè)計參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖8 對質(zhì)量差異的魯棒性Fig.8 Robustness to mass differences

3 結(jié)論

1)本文提出一種對稱單側(cè)碰撞軌道非線性能量阱(SSSVI Track NES)，并將其應(yīng)用于一個單自由度振動結(jié)構(gòu)的響應(yīng)控制之中。通過分析SSSVI Track NES參數(shù)變化對碰撞耗散能量、阻尼耗散能量及總耗散能量的影響，得到SSSVI Track NES的最優(yōu)參數(shù)，為其設(shè)計應(yīng)用提供指導(dǎo)。

2)優(yōu)化后的SSSVI Track NES能夠?qū)崿F(xiàn)能量從低頻振動向高頻振動轉(zhuǎn)移，并能有效降低主結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。隨著SSSVI Track NES軌道形狀和質(zhì)量差異的增加，整個系統(tǒng)中總能量的耗散并未發(fā)現(xiàn)明顯變化，表明SSSVI Track NES對主結(jié)構(gòu)振動控制性能對設(shè)計參數(shù)差異的顯示了相對較好的魯棒性和很強(qiáng)的實際應(yīng)用價值。

本文通過數(shù)值方法研究了對稱單側(cè)碰撞軌道非線性能量阱對單自由度主結(jié)構(gòu)的振動抑制性能，將對稱單側(cè)碰撞軌道非線性能量阱應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動控制及對其性能進(jìn)行實驗驗證是后期研究的重點(diǎn)。