宋青青，許 菁，陳 偉，王鑫海

(中國船舶集團有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

隨著雷達系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等電磁輻射系統(tǒng)的發(fā)展，解決雷達與其威力范圍內(nèi)的己方電磁設備之間的相容性問題正在成為當前熱點。根據(jù)雷達的陣元布置形式不同，多輸入多輸出(Multiple Input and Multiple Output，MIMO)雷達通?？煞譃榉植际胶凸仓穬深怺1]：分布式MIMO雷達的陣元間距較大，因此具有較高的空間分集增益[2]；共址MIMO雷達收發(fā)陣元分布相距較近，能夠提供高分辨率空間譜估計能力[3]。與相控陣雷達發(fā)射相干信號不同，MIMO雷達的各陣元發(fā)射信號相互正交。優(yōu)化MIMO雷達波形達到干擾抑制的目的是當前的雷達研究熱點之一。為了應對實際戰(zhàn)場需求，MIMO雷達波形不僅要具有抗干擾能力，還需要滿足當前的工程應用要求，包括譜相容性、低峰均比(Peak-to-Average Power Ratio，PAPR)、寬帶和良好的自相關(guān)特性等[4-5]。

近年來國內(nèi)外學者發(fā)表了諸多關(guān)于共址MIMO雷達波形設計的研究成果：在有限能量約束下，文獻[6]提出了基于拉格朗日乘子法的波形設計方法；文獻[7]針對多信號依賴干擾存在的情況下，以最大化最差信干噪比為準則，使用迭代算法實現(xiàn)了MIMO空時信號編碼與空時濾波器的聯(lián)合設計；為實現(xiàn)MIMO雷達的相容性波形與濾波器聯(lián)合優(yōu)化，文獻[8]借助對偶上升法(Dual Ascent Method，DAM)[9]，通過最小化雷達在其他己方電磁設備所工作的空頻區(qū)域內(nèi)的譜能量，實現(xiàn)對相容性波形的優(yōu)化，相容性波形設計問題可看作一類非信號依賴性干擾抑制問題；文獻[10]使用最優(yōu)化方法的思想是最大化信干噪比，并給出了波形在低峰值平均功率比和有限能量約束下的閉式解；文獻[11]提出單調(diào)誤差約束改進技術(shù)(Monotonically Error-bound Improving Technique，MERIT)解決恒模二次優(yōu)化問題(Unimodular Quadratic Program，UQP)，而且給出了全局最優(yōu)解與局部最優(yōu)解；文獻[12]將原UQP轉(zhuǎn)換為二次優(yōu)化二次約束規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming，QCQP)，提出用連續(xù)QCQP提煉(Successive QCQP Refinement，SQR)方法解決MIMO雷達波形設計問題；文獻[13]針對連續(xù)相位優(yōu)化與離散相位優(yōu)化兩種情況提出一種高效的迭代恒模波形求解算法；文獻[14]將文獻[13]中的算法思想與丁克兒爾巴赫(Dinkelbach)算法相結(jié)合，求解了二次分式的優(yōu)化問題；基于隨機化半正定放松技術(shù)，文獻[15]提出了兩種序列優(yōu)化算法(Sequence Optimisation Algorithm，SOA)，但該方法計算復雜度較大。目前雷達波形設計常見指標包括信號能量有限性、相似性、信干噪比需求和相容性，但同時考慮這4方面因素的成果較少。

為了減弱MIMO雷達與己方電磁輻射設備之間的相互干擾，本文以最小化己方電磁輻射設備所占據(jù)空頻域范圍內(nèi)的雷達譜能量為準則，提出了基于可行點追蹤-連續(xù)凸逼近(Feasible Point Pursuit-Successive Convex Approximation，F(xiàn)PP-SCA)[16]的雷達波形與空域-快時間域濾波器聯(lián)合優(yōu)化方法。相對于已有算法，本文算法不僅提高了波形相容性，而且實現(xiàn)了對信號依賴性干擾的有效抑制。

1 信號模型

假設雷達模型架構(gòu)共址MIMO，接收陣列與發(fā)射陣列均為線陣，且分別有Nt與Nr個陣元，陣元間距為所發(fā)射射頻信號的半波長。當指向角為θ時，發(fā)射導引矢量與接收導引矢量分別為

at=[1,ejπsinθ,…,ejπ(Nt-1)sinθ]T

ar=[1,ejπsinθ,…,ejπ(Nr-1)sinθ]T

(1)

令sp∈L為第p個發(fā)射天線的發(fā)射信號矢量，其中sp(l)，l=1,2,…,L為sp的第l個分量，則空時發(fā)射矩陣可以定義為S=[s1,…,sNt]∈L×Nt，其向量化形式表示為s=vec(S)。設在雷達威力范圍內(nèi)存在K個目標和J個信號依賴性干擾。第k個目標所在距離門為mk，其方位角為θk，且ζk為第k個目標的反射系數(shù)，則相應的目標反射回波為

(2)

其中，Dmk∈L′×L表示為

Dmk=[0L×mk,IL,0L×(L′+L-mk)]T

(3)

式中，L′為每個天線在一個脈沖上的采樣點數(shù)。

(4)

因此，總的接收信號可表示為

(5)

2 構(gòu)建優(yōu)化問題

優(yōu)化雷達波形與濾波器的目的是為了解決共址MIMO雷達的相容性問題，并抑制信號依賴性干擾。為了確保所構(gòu)建的數(shù)學優(yōu)化問題符合實際情況，結(jié)合雷達實際需求，對雷達波形進行約束，具體包括相似性約束和信干噪比約束。約束條件的具體概念及數(shù)學表達式如下：

(1)相似性

為了保證最優(yōu)波形具有已知波形的某些性質(zhì)，如帶寬、相關(guān)特性等，對所優(yōu)化波形與參考波形之間進行相似性約束，相應的數(shù)學表達式為

‖s-s0‖2≤ε

(6)

其中，s0為一已知的參考波形；ε為相似性系數(shù)，用來控制優(yōu)化波形與參考波形之間的相似程度，ε越小，所優(yōu)化波形與參考波形相似程度越高。

(2)輸出信干噪比

針對某個目標，信噪比定義為回波中該目標所反射的信號能量與信號依賴性干擾、噪聲和其他目標的能量和的比值，也就是將除該目標外的其他目標也看作為干擾，表達式為

(7)

其中，wk，k=1,2,…,K為對應第k個目標的局部濾波器。

(8)

(9)

(10)

其中，Φ(wk)與Ψ(s)為

(11)

(12)

其中，Pj(wj)可以通過參考Pj(wg)得到。

為了對抗環(huán)境中存在的信號依賴性干擾，確保雷達的探測性能，這里對空域-快時間濾波器的輸出信干噪比進行約束，使濾波器輸出的信干噪比不低于某一門限，即

υk(wk,s)≥βk,k=1,2,…,K

(13)

式(13)明確給出了針對雷達波形與濾波器的約束及其數(shù)學表達。

Zr=sH(H{r}?F{r})s

(14)

式中，F(xiàn){r}∈L×L的第(u，v)個元素可根據(jù)下式計算：

H{r}∈Nt×Nt可由解析式計算得到：

根據(jù)以上結(jié)果，所要構(gòu)造的目標函數(shù)為

sHΞs

(15)

其中，Ξ∈NtL×NtL為

(16)

其中，ηr>0為第r個己方電磁輻射設備的加權(quán)系數(shù)。

加權(quán)系數(shù)的引入可以使雷達操作者根據(jù)實際需求靈活地控制在不同空-頻范圍內(nèi)的能量壓制程度。

綜上所述，在信號能量約束下關(guān)于設計相容性波形的數(shù)學優(yōu)化問題可歸納為

(17)

其中，ρ為參考信號的比例伸縮系數(shù)。

3 優(yōu)化問題求解方法

為了有效求解優(yōu)化式(17)中的接收濾波器和發(fā)射波形，文獻[8]提出了基于DAM[9]的算法框架，但該算法要求初始向量必須在可行域內(nèi)。為了降低初始值的選取對算法性能的影響，并進一步提高算法收斂性能，本文提出了基于FPP-SCA的相容性波形設計方案。

首先，對變量進行初始化。記初始化波形變量為s{0}，且迭代次數(shù)p=0。

(18)

這是典型的最小方差無失真響應問題，因此式(18)可以等效為

(19)

式(19)有閉式解：

(20)

(21)

其中，

b1=1，Π1=INtL

由數(shù)學優(yōu)化理論可知，當存在多個二次約束時，不一定可以直接求解出其最優(yōu)解，而且二次約束二次優(yōu)化問題的初始可行點對優(yōu)化結(jié)果會有較大影響。為了解決非凸優(yōu)化問題即式(21)，文獻[8]使用對偶上升法的算法框架。為了弱化文獻[8]算法中初始點對算法性能的影響，本文采用可行點追蹤-連續(xù)凸逼近法對該問題進行迭代求解。具體操作如下：

令初始波形向量z0=s{p}，假設當前迭代次數(shù)為q，求解以下：

subject toυk≥0,k=0,1,2,…,K

(22)

使用SeDumi或CVX工具箱可直接對式(20)進行求解獲得yq，并使zq+1=yq，q=q+1。直至收斂目標函數(shù)收斂，再使s{p+1}=yq。

最后更新p=p+1，直至式(15)的目標函數(shù)收斂，即可獲得最優(yōu)波形。

4 算法性能評估

本節(jié)對所提算法收斂性能與文獻[8]中基于半正定優(yōu)化(Semi-Definite Programming，SDP)的相容波形優(yōu)化算法、基于DAM的相容波形優(yōu)化算法進行比較，并且明確給出雷達譜圖和信號依賴干擾抑制效果圖。

表1 目標信息

表2 信號依賴性干擾信息

表3 己方電磁輻射體信息

圖1對比了不同信干噪比約束下SDP、DAM和FPP-SCA 3種方法的收斂性能?？梢钥闯?，在相同信干噪比約束下，本文基于FPP-SCA的方法可以達到更低的收斂值，這是由于FPP-SCA削弱了選取初始值對優(yōu)化結(jié)果的影響；當信干噪比約束門限分別為8 dB和12 dB時，本文算法的收斂值較SDP和DAM分別低8.6 dB和3 dB；當信干噪比約束門限為8 dB時，三種方法的收斂值遠低于信干噪比約束為12 dB時的收斂值，這是由于較低的信干噪比門限可以使優(yōu)化變量獲得更多的自由度。

圖1 當ε=0.4時在不同信干噪比約束下SDP、DAM和FPP-SCA收斂性能比較

圖2給出了ε=0.4、δl=12 dB時MIMO雷達的能量譜?？梢郧宄闯霰疚乃惴ㄊ估走_譜在己方電磁輻射體的信號譜分布區(qū)域內(nèi)形成了能量凹陷，減小了電磁輻射體對雷達回波的影響，而且提高了雷達能量的利用率。

圖2 雷達能量譜

為了驗證本文算法抑制信號依賴性干擾的有效性，圖3給出了對目標所在位置進行濾波時的效果圖，其中白色矩形位置標明了信號依賴性干擾的分布區(qū)域，黑色圓圈標明了3個目標的位置。圖3(a)～(c)分別給出了對3個目標的濾波情況。以圖3(a)為例，對目標1進行濾波時，在白色矩形區(qū)域內(nèi)的能量被有效抑制，其他目標位置處形成能量凹陷，這是由于此時濾波器將目標2和目標3視作干擾，對其能量進行了抑制。

圖3 信號依賴性干擾抑制效果圖

圖4統(tǒng)計了取不同初始值對本文方法所獲得收斂值的影響，本文算法得到的最終收斂值幾乎相同，這是由于FPP-SCA可以減弱初始向量的選取對優(yōu)化性能的影響。

圖4 當ε=0.4、δl=12 dB時取不同初始值的目標函數(shù)收斂曲線

5 結(jié)束語

本文提出了基于FPP-SCA的相容性波形優(yōu)化方法。相較于已有的基于SDP和DAM的方法，本文方法可以獲得更低的收斂值，也就是說可以更好地抑制雷達與己方電磁設備之間的相互影響，可以有力地支持MIMO雷達在未來戰(zhàn)場中更好地發(fā)揮其出色的探測和抗干擾能力。