桑健

摘? ?要：文章通過單擺在無阻力作用下的運動滿足機械能守恒以及圓周運動的知識，推導(dǎo)得出在擺角不超過5°的情況下，單擺在水平方向上的運動近似是簡諧運動;通過證明一個做勻速圓周運動的物體在直徑上的投影運動是一個簡諧運動，該簡諧運動的周期等于勻速圓周運動的周期，得到計算簡諧運動周期的通式和可操作的方法;最后將這一方法用于圓錐擺周期公式的推導(dǎo)，并且討論了圓錐擺與單擺等效的條件。

關(guān)鍵詞：單擺的運動;單擺的周期;簡諧運動;圓錐擺

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）2-0061-4

在執(zhí)教高中物理“單擺”與“用單擺測定重力加速度”相關(guān)內(nèi)容的過程中，學(xué)生陸續(xù)提出三個問題，經(jīng)過查閱資料、個人研究與備課組研討，針對這三個問題進行了系統(tǒng)分析，現(xiàn)整理成本文，與大家交流。

問題一：單擺的運動本質(zhì)是什么？

現(xiàn)行上海市高級中學(xué)課本《物理·拓展型課程（試用本）》[1]第51至53頁有如下表述：“把質(zhì)量為m的擺球從平衡位置O拉開一小段距離到B點，這時懸線和豎直方向的夾角為α。放開后，擺球始終受到重力mg和細線拉力T的作用。重力的一個分力F=mgsinα沿圓弧切線方向，指向平衡位置O，而拉力T在圓弧切線方向沒有分力。正是重力的分力F使擺球回到平衡位置，這個力就是使單擺振動的回復(fù)力。”……“在圖1中，當(dāng)單擺的擺角很?。ú怀^5°）時，擺球的位移x和圓弧長OB很接近，設(shè)擺長為l，則sinα≈α≈■。于是，回復(fù)力F=mgsinα≈mgα≈mg■=■x。因為式中m、g、l均為常數(shù)，可令k=■。又因為回復(fù)力F的方向指向平衡位置，始終與位移x的方向相反，于是有F=-kx。因此，在單擺擺角α小于5°，擺球所受回復(fù)力的大小與位移成正比，方向與位移相反，可知單擺的振動是簡諧運動?！?/p>

在此，學(xué)生提出第一個問題：單擺的平衡位置在O點，如圖1所示擺球在B點，擺球的位移是O指向B的一個矢量，當(dāng)擺角不超過5°的情況下，sinα≈α，弧長OB約等于弦長OB，α=■≈■=■，F(xiàn)=■x，但是回復(fù)力的方向是過B點的切線方向，它和位移OB矢量是嚴(yán)格方向相反的嗎？擺角不超過5°下的數(shù)學(xué)運算近似能適用于方向嗎？

筆者利用單擺在無阻力作用下的運動滿足機械能守恒以及圓周運動的知識做了如下推導(dǎo)：

如圖2所示，設(shè)單擺在B與C之間運動，擺長為l，在B點時擺線與豎直方向夾角為α1，在P點時擺線與豎直方向夾角為α2、擺球的速度為v。

從B到P的運動過程中，拉力T與擺球運動速度方向始終垂直，拉力對擺球不做功，只有重力對擺球做功，擺球的機械能守恒，擺球增加的動能等于它減少的重力勢能，即：

■mv2=mgl（cosα1-cosα2）? ? （1）

在P點，拉力T與重力沿擺線方向的分力mgcosα2提供擺球在該點的向心力，即：

T-mgcosα2=■（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式可得：

T=mgcosα2+2mg（cosα1-cosα2）=2mgcosα1-

mgcosα2? （3）

在P點，將拉力T分解為豎直向上的分力Ty與水平向右的分力Tx，即：

Tx=2mgcosα1sinα2-mgcosα2sinα2? ? （4）

利用數(shù)學(xué)三角公式：

cosα=1-2sin2■≈1-2（■）2

當(dāng)擺角α1、α2均小于5°時，（4）式可以近似為：

Tx=2mg [1-2（■）2] sinα2-mg[1-2（■）2] sinα2? ? （5）

略去（5）式中的高階小量■、■，即可得到Tx=mgsinα2

設(shè)過P的水平線與豎直擺線RO的交點為O′，將O′ 暫且稱為擺球在P點時的瞬時平衡位置，則擺球的位移x就是O′ 指向P的一個矢量，即：

Tx=-mgsinα2=-mg ■=-mg■? ? ?（6）

上式說明，在擺角不超過5°的情況下，單擺在水平方向上的運動近似是簡諧運動，并且該簡諧運動每一時刻的平衡位置不是固定的一個點，但這些點都在最大擺角所在水平線BC中點S與最低點O的連線上，從而解答了學(xué)生提出的第一個問題。

通過上述推導(dǎo)，我們還有這樣一個感悟：單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運動本質(zhì)還是變速圓周運動的一部分，可以通過機械能守恒定律分析;對于運動中的某一個時刻，可以建立自然坐標(biāo)系去研究法向加速度和切向加速度;對于單擺往復(fù)運動時間，則可以通過它水平方向的簡諧運動規(guī)律來分析和計算。

問題二：單擺周期公式如何推導(dǎo)？

現(xiàn)行上海市高級中學(xué)課本《物理·拓展型課程（試用本）》[1]第49至51頁有如下表述：“圖3中一個質(zhì)點M0沿半徑為R的圓周做勻速圓周運動，角速度為ω，它在過圓心的x軸上的投影是M點。可以證明當(dāng)M0點做勻速圓周運動時，M點就沿著x軸做振幅為R的簡諧運動。”

在此，學(xué)生提出第二個問題：根據(jù)課本的描述，當(dāng)證明得到一個勻速圓周運動在直徑上的投影運動是一個簡諧運動后，那么勻速圓周運動的周期也就是該簡諧運動的周期，按照這樣的一個思路，能否避開大學(xué)物理的微分方程知識，利用上述結(jié)論推導(dǎo)得到單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運動的周期公式T=2π■呢？

建立如圖4所示的坐標(biāo)，質(zhì)點繞O點做勻速圓周運動，角速度為ω，運動半徑為r，某時刻質(zhì)點位于點M0處，M0O與x軸正方向的夾角為α，M0在x軸上的投影為M，令OM=x。質(zhì)點的加速度大小a=ω2r，方向沿半徑方向指向圓心，加速度矢量在x軸方向上的投影就是M的加速度

aM=ω2rcosα，M的合力為：F=maM=-mω2rcosα=

-mω2x，負號代表合力方向為沿x軸負方向。

上式表明，一個做勻速圓周運動的物體在直徑上的投影運動是一個簡諧運動。該簡諧運動的周期等于勻速圓周運動的周期。T■=T■=■，令比例系數(shù)k=mω2，得到計算簡諧運動周期的通式：T=2π■? ? （7）

這個式子給出了計算簡諧運動周期可操作的方法：先證明一個運動是簡諧運動，得到比例系數(shù)k，代入（7）式求出周期。

對比（6）式Tx=-mg■，可得單擺在水平方向上簡諧運動的比例系數(shù)k=■，代入（7）式，得到單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運動的周期公式T=2π■? ，從而解答了學(xué)生提出的第二個問題。

問題三：單擺和圓錐擺能否相互等效？

在“用單擺測定重力加速度”的學(xué)生實驗中，教師往往會提醒學(xué)生，在實驗操作中，要保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動，不要形成圓錐擺（如圖5）。同時給出圓錐擺運動的周期公式

T■=2π■，其中α是圓錐擺擺線與豎直方向的夾角，對比單擺周期公式，得到如下結(jié)論：形成圓錐擺的話，此時測得的周期比相同擺長下測得的周期偏小，從而重力加速度值比標(biāo)準(zhǔn)偏大。

學(xué)生在課余查閱了百度百科中關(guān)于“圓錐擺”條目的相關(guān)知識后提出第三個問題：“單擺和圓錐擺的周期公式十分相似，是否可以把圓錐擺等效成擺長為lcosα的單擺運動？圓錐擺是單擺和勻速圓周運動的合成嗎？”

以下摘自百度百科中“圓錐擺”條目：

“溜冰運動中在雙人花樣滑冰運動中，有時會看到被男運動員拉著的女運動員離開地面在空中做圓錐擺運動，這里面就涉及到了圓錐擺;其實在做單擺實驗時，如果沒有做好，往往就做成了圓錐擺了。圓錐擺其實可以看成是單擺與勻速圓周運動的合成。”

中學(xué)物理涉及圓錐擺模型是在勻速圓周運動的《向心力》一節(jié)中，我們是這樣分析的：如圖6所示，圓錐擺的擺球所受拉力在豎直方向上的分力與重力相互平衡，即Tcosα=mg;拉力在水平方向的分力提供擺球做勻速圓周運動的向心力，即Tsinα=mω2 l sinα，聯(lián)立可得ω=■，T■=■=2π■。顯然，圓錐擺并不是單擺和勻速圓周運動的合成，圓錐擺擺球做的運動就是一個勻速圓周運動。那圓錐擺的周期公式與單擺如此相似，是數(shù)學(xué)表達式上的偶然嗎？

我們利用問題二中計算簡諧運動周期的方法，從簡諧運動角度來推導(dǎo)圓錐擺的周期公式。若圓錐擺的擺球某時刻運動到P點，作出俯視圖（圖7），擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動所需的向心力即Tsinα，擺球勻速圓周運動在x軸上的投影是一個簡諧運動，P點的回復(fù)力大?。?/p>

F=Tsinαcosβ=■·sinαcosβ=mg·tanαcosβ=mg· ■cosβ=mg·■

回復(fù)力的方向沿x軸指向O，與位移方向相反。令比例系數(shù)k=■，代入簡諧運動周期的通式[（7）式]，可得T■=2π■=2π■。

通過上述的推導(dǎo)與分析論證，我們可以作出如下判斷：在研究單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運動時間的問題時，可以從單擺水平方向是簡諧運動這一角度來分析計算，此時單擺的擺長就是懸掛點到擺球重心的距離，盡管擺球的高度在變化，只要抓住水平方向的運動即可;而圓錐擺做勻速圓周運動時，由于圓周運動所在的水平面是固定不動的，可以將懸掛點到圓周運動水平面的距離看成是圓錐擺的“等效擺長”，即可以把圓錐擺等效成擺長為lcosα的單擺運動。需要注意的是：這個等效成立的條件只是圓錐擺擺線與豎直方向的夾角不超過5°，因為一旦超過5°，圓錐擺的周期公式依然成立，但是單擺的周期公式不再適用。至此，解答了學(xué)生提出的第三個問題。

愛因斯坦說過：“發(fā)現(xiàn)問題和系統(tǒng)闡述問題可能要比得到解答更為重要……提出新問題、新的可能性，從新的角度去考慮問題，則要求創(chuàng)造性的想象，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進步?！蔽锢韺W(xué)科核心素養(yǎng)中的“科學(xué)思維”是基于事實證據(jù)和科學(xué)推理對不同觀點和結(jié)論提出質(zhì)疑和批判，進行檢驗和修正，進而提出創(chuàng)造性見解的能力與品格，這也就要求學(xué)生能對已有觀點提出質(zhì)疑，從不同角度思考物理問題。通過上述“單擺”教學(xué)中三個問題的提出與解答，從教師和學(xué)生角度都提出了很高的要求，在新的課程改革與考試評價制度下，廣大教育同仁要充分肯定、鼓勵學(xué)生提問，保護學(xué)生的問題意識，同時教師自身也要加強學(xué)習(xí)，才能使每節(jié)課都讓學(xué)生有實實在在的認知收獲、思維提升和科學(xué)感悟，為學(xué)生的素養(yǎng)提升、自主發(fā)展做好準(zhǔn)備。

參考文獻：

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[4]李永升，楊慧琴.用圓周運動的知識來解決簡諧運動的周期問題[J].物理教學(xué)探討，2010，28（01）：36-37.

（欄目編輯? ? 羅琬華）