王橋明 梁春葉 黃小英 李延創(chuàng) 李麗潔

摘 要：高階線性微分方程在各個(gè)領(lǐng)域有著較為廣泛的應(yīng)用，對(duì)于一類的高階線性微分方程存在簡單的求解方法。本文結(jié)合高階線性微分方程的解法與MATLAB的編程功能展示其簡便的運(yùn)算過程，提高高階線性微分方程的求解速率，對(duì)高階線性微分方程的應(yīng)用推廣有一定的意義。

關(guān)鍵詞：高階線性微分方程;MATLAB;求解

1 概述

隨著自然科學(xué)的不斷發(fā)展，微分方程一支得到的快速的發(fā)展，其中又以常微分方程較為顯著，進(jìn)而常微分方程的應(yīng)用也變得越來越廣泛。其中線性方程更是廣泛的涉獵基礎(chǔ)科學(xué)的應(yīng)用，例如化學(xué)，工程技術(shù)，天文學(xué)中星際軌道的計(jì)算，物理中的力學(xué)計(jì)算，預(yù)防學(xué)中傳染病遺傳的研究與探討等。對(duì)于一些簡單的線性微分方程組的計(jì)算，人為的速度有時(shí)不亞于計(jì)算機(jī)的速度，但是涉獵到復(fù)雜的高階線性微分方程組組的計(jì)算，其中的計(jì)算理論是相對(duì)簡單，便于理解的，但是能夠借助于數(shù)學(xué)軟件MATLAB在高階線性微分方程組的應(yīng)用將會(huì)加快計(jì)算的速度，提高工作效率。同時(shí)在信息化的新時(shí)代，不斷挖掘軟件的應(yīng)用，將會(huì)在微分方程的教學(xué)過程中起到協(xié)助的作用。

數(shù)學(xué)軟件MATLAB除了本身具有強(qiáng)大的計(jì)算能力之外，在數(shù)學(xué)專業(yè)的其他領(lǐng)域也占據(jù)重要位置，與此同時(shí)該軟件也作為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的應(yīng)用軟件。MATLAB尤其在數(shù)學(xué)建模，概率統(tǒng)計(jì)，高等代數(shù)，解析幾何，數(shù)學(xué)分析中占據(jù)重要位置。更關(guān)鍵的是MATLAB除了在求解方面的強(qiáng)大功能之外，對(duì)于畫圖功能更是有進(jìn)一步的造化。特別是有些微分方程組的解不是顯式解，但通過MATLAB可以將微分方程組的顯式解快速生動(dòng)形象的顯示出來。有一些是數(shù)值解與圖像解可以統(tǒng)一的呈現(xiàn)，人們可以明顯地將兩者進(jìn)行比較。

對(duì)于二階及二階以上的微分方程，我們稱為高階微分方程。對(duì)于低階微分方程的解法，人們已經(jīng)研究得非常透徹，其中不缺乏很多求解公式。雖說人類能夠解的微分方程少之又少，但對(duì)于高階微分方程的解法主要通過降階求解法，冪級(jí)數(shù)求解法，然后通過通解公式或其他的線性變換等求解，處理過程比較冗長且容易出錯(cuò)。高階微分方程的解法涉及的理論不是很多，但是對(duì)于其解法MATLAB在其中的應(yīng)用是十分有意義的。

本文將主要介紹高階微分方程組和利用MATLAB在微分方程中的強(qiáng)大功能輔助高階微分方程的求解，以及對(duì)于解法過程進(jìn)行詳細(xì)介紹與總結(jié)，并結(jié)合經(jīng)典實(shí)例分類加以說明如何進(jìn)行軟件的具體操作。

2 高階微分方程

2.1 高階微分方程涉及的理論[1]

高階方程的主要包括可降階的方程和線性方程解的結(jié)構(gòu)，線性性方程解的結(jié)構(gòu)的主要內(nèi)容是二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)。其中包括利用待定系數(shù)法求解的f（x）的形式及其特解的形式，另一個(gè)是利用特征根法求解的特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)。n階齊次線性微分方程的一般表達(dá)式為：

3 總結(jié)

通過各類型的線性微分方程的解法介紹與具體實(shí)例表達(dá)，易見MATLAB對(duì)于求解微分方程尤其是高階微分方程具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)所在，并且可以根據(jù)同類型或者不同類型的方程設(shè)計(jì)出統(tǒng)一的程序代碼可以使用，不僅僅在計(jì)算工作層面節(jié)省了計(jì)算工作量，在一定的層次上提高了計(jì)算速度，更為優(yōu)化的是在一定程度上提高了計(jì)算準(zhǔn)確性，同時(shí)在微分方程的輸入上和一般的輸入相同，符合人性化，使用起來更加便捷。但需要注意的是在描述方程的等號(hào)時(shí)應(yīng)該使用雙等號(hào)“==”，否則函數(shù)的調(diào)用會(huì)顯示報(bào)錯(cuò)，總而言之，高階線性微分方程的求解與MATLAB的應(yīng)用是一個(gè)自身優(yōu)化與互助的。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程.北京：高等教育出版社，2006-07.

[2]華蘇，扈志明.微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) 典型例題精解大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列.北京：科學(xué)出版社，2003.08.

[3]朱思銘.常微分方程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題解答.北京：高等教育出版社，2009-01.

[4]四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課同步教材.成都：四川大學(xué)出版社，2012.09.

[5]薛定宇.MATLAB微分方程求解.北京：清華大學(xué)出版社，2020-01.