米小平， 蒲志林， 趙夕雅

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ω?R2是一個(gè)具有光滑邊界?Ω的區(qū)域，考慮如下的Kirchhoff熱彈性薄板方程

其中，x∈Ω，t∈R+＝（0，∞）.

根據(jù)方程的物理背景，考慮如下邊界條件

及初始數(shù)據(jù)

其中，c≥0，函數(shù)u0，v0，?0：Ω→R和ψ：Ω×R+→R是給定的函數(shù)，未知函數(shù)u表示板的垂直位移，而?表示平衡參考值的溫度變化場(chǎng).為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，把所有其他物理常數(shù)設(shè)為1.實(shí)際上，在文獻(xiàn)［1-2］最早提出的原始模型中，c＞0.Fabrizio等［3］考慮了c＝0的情況.

已廣泛研究熱傳導(dǎo)方程中沒(méi)有記憶效應(yīng)的線性熱彈性板［4］.在熱通量的傅立葉定律被Gurtin-Pipkin定律取代后，就產(chǎn)生了出現(xiàn)在第一個(gè)方程中的卷積項(xiàng).Giorgi等［1］考慮了解的衰減問(wèn)題.本文在對(duì)記憶核進(jìn)行非常弱的假設(shè)下，根據(jù)Hilbert空間上的c0半群，并利用抽象半群理論［4］，證明指數(shù)穩(wěn)定性.與我們的模型相比，主要區(qū)別是第二個(gè)方程中存在一個(gè)耗散項(xiàng)，這是因?yàn)槌藷嵬恐?，熱功率還依賴?的過(guò)去歷史.

2 記號(hào)和假設(shè)

設(shè)H是Hilbert空間，分別用〈·，·〉H和‖·‖H表示H上的內(nèi)積和范數(shù)，當(dāng)H＝L2（Ω）時(shí)省略下標(biāo)，固定c≥0.給出定義在L2（Ω）上的正定算子A＝-Δ和B＝cI-Δ，定義域D（A）＝D（B）＝對(duì)r∈R，引入Hilbert空間Hr＝D（Ar／2），賦予通常的內(nèi)積顯然，當(dāng)r1＞r2時(shí)為緊嵌入，它在Hr上與〈Br／2·，Br／2·〉為等價(jià)內(nèi)積.

令μ（s）＝-κ′（s），μ（s）滿足以下條件：

注意（7）式意味著μ不等于零.令σ∞＝sup｛s｜μ（s）＞0｝，也可能σ∞＝∞，對(duì)于每一個(gè)σ＜σ∞，通過(guò)（4）-（6）式存在一個(gè)集合Oσ?（σ，σ∞）具有正的Lebesgue測(cè)度，使得

通過(guò)（4）和（5）式，對(duì)于r∈R，給出加權(quán)Hilbert空間

在M1中引入線性算子T：

這里ηs是η關(guān)于s的偏導(dǎo)數(shù)，算子T是C0壓縮半群的無(wú)窮小的生成元，特別有

最后定義Hilbert空間

為了后文的需要，對(duì)空間Mr的緊致性做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹.對(duì)η∈M1，引入尾部函數(shù)

3 抽象線性系統(tǒng)解的衰減性質(zhì)

設(shè)S（t）＝etL為Banach空間（H，‖·‖）上的一個(gè)線性C0半群，其中L是其無(wú)窮小生成元.現(xiàn)在為‖S（t）z0‖→0當(dāng)t→∞時(shí)提供一個(gè)簡(jiǎn)單的充分條件.

定義3.1［5］稱滿足以下2個(gè)條件的S（t）為線性梯度系統(tǒng)：

如果S（t）為一個(gè)線性梯度系統(tǒng)，那么它必然是一個(gè)C0收縮半群.而且線性梯度系統(tǒng)并不是對(duì)所有的初始數(shù)據(jù)都衰減到零.

定理3.2設(shè)z0∈H，S（t）為一個(gè)線性梯度系統(tǒng).若集合在H中相對(duì)緊，則

證明令由于集合Bt是非空的、緊的、連通的和嵌套的，則是ω一極限集ω（z0）.因而，是非空的、緊的且連通的.選取任意的ζ0∈ω（z0），則存在tn→∞使得S（tn）z0→ζ0.由（i）可知，若存在，則對(duì)所有的ζ0∈ω（z0），又ω（z0）是不變的，因此

通過(guò)（ii）可得ω（z0）＝｛0｝，從而S（t）z0收斂到0.

推論3.3設(shè)S（t）為一個(gè)線性梯度系統(tǒng)，?z0∈X，其中X是H的稠密子集.則對(duì)于所有的z0∈H，當(dāng)t→∞時(shí)S（t）z0→0.

證明給出z0∈H.對(duì)于?ε＞0，存在?z0∈X，使得此外存在tε≥0，使得

因此

4 解半群與解的衰減

根據(jù)文獻(xiàn)［6］的思想，引入一個(gè)額外變量，即?的過(guò)去歷史總和，定義為形式上滿足方程ηt+ηs＝?，s∈Ω，（t，s）∈R+×R+，及邊界條件和初始條件

線性算子L定義為

定義域?yàn)?/p>

由Lumer-Phillips定理［11］可得到，系統(tǒng)（10）在相空間H0上定義C0線性收縮半群S（t）＝etL.由（6）式可知

明確表示I-L將D（L）映射到H0.

系統(tǒng)（10）是通過(guò)分部積分得到的，實(shí)際上等同于最初始的問(wèn)題，此外，解的分量有明確的表示公式：

定理4.1S（t）是H0上的線性梯度系統(tǒng).

證明如果存在z0∈H0和任意的t≥0，使得‖S（t）z0‖H0＝‖z0‖H0成立，根據(jù)（9）式發(fā)現(xiàn)

任取σ＜σ∞.由于上述方程和（8）式是等價(jià)的，對(duì)于任意的t≥0，ηt≡0在Oσ上幾乎處處成立.根據(jù)（12）式，對(duì)于任意的t≥0，?（t）≡0（注意s和?是無(wú)關(guān)的）.根據(jù)（13）式有

但這意味著η0≡0幾乎處處成立，至少應(yīng)該在區(qū)間（0，σ）上.根據(jù)σ的任意性的確可以得知η0≡0幾乎處處成立.

引理4.2［7］設(shè)C?M1滿足：

則C在M1中相對(duì)緊.

證明系統(tǒng)（10）具有足夠的耗散性，可以使得任何軌跡衰減到零，在μ具有較弱的衰減性條件下.

定理4.3假設(shè)條件（4）-（7）式滿足，如果存在δ＞0，使得

證明固定z0∈D（L）∩H1，用C＝C（z0）≥0來(lái)表示一個(gè)一般的常數(shù).特別地，對(duì)于?t≥0，有z（t）＝S（t）z0∈D（L），將由下列步驟完成定理的證明.

第一步

事實(shí)上，在H0上引入對(duì)角算子?B＝BIH0.根據(jù)（10）式和?Bz可得

根據(jù)（9）式可得

第二步

本研究采用綜合心理護(hù)理方法，在以人為本護(hù)理理念指導(dǎo)下，充分了解患者需求和存在的問(wèn)題，為其提供心理護(hù)理，干預(yù)人員與患者建立互信平等的朋友關(guān)系，為實(shí)施心理護(hù)理奠定基礎(chǔ)。

事實(shí)上，根據(jù)（13）式可得

利用（16）和（7）式可得

而且由于（6）式可得

根據(jù)以上2個(gè)結(jié)論，可得第三步.

第三步

定義

很明顯

由第一步結(jié)論和（7）式可得

因此，當(dāng)t1＝t1（M1）≥1時(shí)，

則當(dāng)x→∞時(shí)，J0（x）→0.

根據(jù)（13）式和Young不等式可得

可知當(dāng)x→∞時(shí)，J∞（x）→0.