卓 斌

(南京師范大學附屬中學秦淮科技高中 210007)

1 問題的提出

筆者首先引導他運用通解通法來解決該問題．

解法一由于函數(shù)表達式中有|x|，

再令3x2-1=t(t>-1)，

當t=0時，g(t)=9；

當且僅當t=2時，等號成立；

當且僅當t=-2時，g(t)有最大值為0，顯然不符合題意．

反思解題過程，我們認為上述解法固然是解決這一問題的“通解通法”，但是給人以“只顧埋頭拉車，沒有抬頭看路”的感覺．再反復觀察函數(shù)f(x)解析式的結構特征，筆者發(fā)現(xiàn)：該分式函數(shù)的分母不太好變形，但是分子1+3x2可以變形為2x2+(1+x2)，從而給出如下解法．

解法二因為x≠0，所以

當且僅當2x2=1+x2，即x=±1時，

通過對比這道題的兩種解法，深切地感受到數(shù)學解題一定要多觀察、多聯(lián)想、多思考，才有可能少走彎路，少運算，少出錯．

2 對于“多想少算”的理解

拿破侖認為：在做一件具體的事情的時候，最笨的就是勤奮但不聰明的人，在事情都沒有搞清楚前就忙于勤奮的人，只會是添亂的人．所以說，在做事情前一定要想清楚后再做．鄭毓信教授指出：這顯然又是當前應當努力糾正的一個現(xiàn)象，學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！這樣的現(xiàn)象無論如何不應再繼續(xù)了．他還認為：判斷一堂數(shù)學課成功與否的基本標準，無論教學中采取了什么樣的教學方法或模式，應該更加關注自己的教學是否真正促進了學生更加積極地去進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更全面、更深、更合理．

筆者認為，應將“思維發(fā)展”看成是數(shù)學核心價值與學科素養(yǎng)的基本涵義．數(shù)學解題教學應遵循“多想少算”原則，即在認真審題，反復觀察的前提下，首先要開動腦筋，廣泛聯(lián)想，大膽猜想，充分想象，然后再動手做題，謹慎計算，簡練書寫，邊想邊算．只有想的充分，才能算的簡約；只有發(fā)揮直覺思維的作用，才能盡量減少繁瑣的運算．“多想少算”應成為解題教學的一個響亮的口號！

3 例談數(shù)學解題中的“多想少算”

高考數(shù)學試題一直將“多考點想，少考點算”作為一條基本的命題理念，在近年的高考試題中得到了充分的體現(xiàn)．因此，考生在面對一道高考試題或者模擬試題時，一定要堅持“多想少算”．筆者認為，實現(xiàn)“多想少算”有三種基本做法：先想后算，邊想邊算，算后再想．

3.1 先想后算

先想后算是指對于一些常規(guī)數(shù)學問題，在動手做題之前，一定要先想一想，預測大致的解題路徑，然后再動手實施解題計劃．

案例1在△ABC中，已知a2+b2+2c2=8，則S△ABC的最大值是．

先建立平面直角坐標系，

下面有多種方法可以求出S△ABC的最大值．

思路三：利用海倫公式.

設a=y+z，b=x+z，c=x+y，

8=(y+z)2+(x+z)2+2(x+y)2

=3x2+3y2+2z2+4xy+2yz+2xz

=2z(x+y+z)+3(x2+y2)+4xy

≥2z(x+y+z)+10xy

3.2 邊想邊算

邊想邊算是指對于一些新穎或者困難問題，答題者一時難以設計出完整的解題路徑，只能采取“摸著石頭過河”的方式，一邊想一邊做，一邊做又一邊想，不斷地調整、修改、優(yōu)化解題路徑，采取“步步為營”策略．

案例2已知{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．若a3=2，S12=4S6，則a9的值為．

思路分析：本題屬于數(shù)列中的條件求值問題，兩個條件“a3=2，S12=4S6”，利用“基本量法”，理論上肯定能夠解答．但是等比數(shù)列中的計算問題需要分類討論，更需要“邊走邊看”“邊算邊想”，否則容易鑄成大錯．

解： 當q=1時，因為S12=12a1,4S6=24a1，又因為S12=4S6，所以a1=0，舍去．

由(2)知，若q6≠1，則q6=3，

所以a9=a3q6=6．

若q6=1，則q=-1，所以a9=a3q6=2．

綜上可知，a9的值為6或者2．

從閱卷反饋信息來看，本題難度系數(shù)約為0.06，得分極不理想，原因就在于學生想當然地認為：當q≠1時，q6≠1一定成立，所以a9=a3q6=6．丟掉了一個解，當q=-1時，a9=a3q6=2．這個案例告誡我們“邊算邊想”的必要性與合理性．

3.3 算后再想

算后再想是指對于一些解題思路多樣化的數(shù)學問題，利用一種方法做出來之后，結合對問題更深層次的認知，還可以優(yōu)化解題路徑，給出更加完美的、富有智慧的解題方法，實現(xiàn)波利亞先生所倡導的“能不能一下子看出它來?”“能不能把這結果或方法用于其他問題? ”的境界．

案例3在銳角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為．

思路分析：本題條件非常弱化，只要求“銳角三角形”即可．觀察目標函數(shù)不難發(fā)現(xiàn)：每一項都是兩個正切值的乘積，其中角A與B關系對稱．首先會想到利用“消元法”，消去tanC．

解法一：

所以9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

不妨設tanA=a,tanB=b，

則9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

這種方法從3元變?yōu)?元，再從2元變?yōu)?元，兩次利用基本不等式求出最值，通過驗證可知，等號可以取到．反思上述解題過程，筆者認為由于A與B是對稱關系，因此最值肯定在A=B時取到，因此可以優(yōu)化解題路徑，給出如下解法．

解法二：根據(jù)對稱性可知，當且僅當A=B時取到最值，此時C=π-2A，令tanA=a，

則9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

余下同解法一．

另外，反思本題的條件，一是在銳角三角形ABC中，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC恒成立；二是在目標函數(shù)9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA中，每一個式子都缺少第三項，因此可以對應相乘，實施“補美技巧”，從而一下子抓住了該問題的數(shù)學本質．

回顧本題解題方法的探索過程，筆者深有感慨，真可謂：涉淺水者見蝦，其頗深者察魚鱉，其尤甚者觀蛟龍．

4 遵循“多想少算”的幾條建議

4.1 樹立以人為本理念，倡導智慧教育

在2017年版普通高中數(shù)學課程標準中，“課程的基本理念”濃縮為4條，分別從“學生發(fā)展為本”、“優(yōu)化課程結構”“把握數(shù)學本質”“重視過程評價”四個關鍵點展開，這四個點恰好可以看成是一個三棱錐的四個頂點，以“優(yōu)化課程結構”“把握數(shù)學本質”“重視過程評價”為底面上的三個頂點，共同“扛起”了“學生發(fā)展為本”這個頂點．由此可見，新課標旗幟鮮明地倡導“以人為本”教育理念，重視學生數(shù)學核心價值與學科素養(yǎng)的培養(yǎng)，亟待推進智慧教育．筆者認為，智慧教育的本質就是要重視過程，即審題的過程，謀劃解題思路的過程，實施解題計劃的過程，反思解題環(huán)節(jié)的過程．智慧教育就是要讓學生積累基本數(shù)學活動的經(jīng)驗，會想問題，會做事情．因此數(shù)學解題教學中一定要把想的過程教給學生，讓學生知道如何想解題思路？如何優(yōu)化解題思路？如何反思解題思路？

4.2 提升解題教學境界，倡導深度教育．

章建躍先生曾批評當下解題教學的現(xiàn)狀：搞“題型+技巧”，機械模仿多，獨立思考少，數(shù)學思維層次不高．他提出數(shù)學解題教學的三重境界：知其然；知其所以然；何由以知其所以然．筆者認為，第一重境界是指教師最不該做的事情就是給學生一個絕妙的解法，形象地說“從帽子里變出一只兔子來”，而不知為什么，讓學生感到自己無能，不是學數(shù)學的材料，打擊其信心．第二重境界是指有些教師講題不但講怎么做，還能夠講清楚為什么要這樣做，讓學生感受到解題思路的合理性．但是你是怎么想到的呢？教師沒有給出詮釋．教師能夠達到第二重境界已經(jīng)很好了，但是還有提升空間．第三重境界是指有些老師講題不但講怎么做，還能夠講清楚為什么要這樣做，并且深刻剖析解題思路的形成過程，介紹自己是怎么想的．第三重境界實際上是“授人以魚，更授人以漁”．筆者認為，這重境界就是解題的深度教育，能夠幫助學生學會獨立思考，砥礪思維能力，提升思維品質，為“多想少算”打好堅實的基礎．

4.3 做實數(shù)學解題過程，倡導精致教育．

精致教育是指精巧細致、精耕細作的教育．它是針對目前數(shù)學教育中“貪多求快”“粗放型”的現(xiàn)象提出來的，注重解題細節(jié)，追求盡善盡美，崇尚“小即是美”．筆者認為，解答數(shù)學問題就是要讓學生扎扎實實地做題目，要精力集中、書寫規(guī)范、思路清晰，邏輯性強，講究速度與精度，會做的題目能夠拿到滿分，練好做題“童子功”．教師要給予學生充足的做數(shù)學的時間與空間，發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生親歷親為，體驗解題過程中的“酸甜苦辣”，積累成功的經(jīng)驗，也汲取失敗的教訓．解題精致教育大致包括三個環(huán)節(jié)：一是認真審讀題目，廣泛聯(lián)想，初步擬定可能的幾套解題方案；二是認真落實解題方案，邊做邊想，不斷地優(yōu)化調整解題思路，把題目做到底；三是解題后的反思與回顧，做后再想，不斷縮減計算步驟，達到“想明白，說清楚，寫簡約”．