張春紅 ， 朱菊香 ， 張璇

(1.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 常州鐵道分院，江蘇 常州 213011；2.南京信息工程大學(xué) 濱江學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214105)

0 引 言

憶阻器是一種電阻或電導(dǎo)可調(diào)的雙端元件，通常包含磁控和荷控兩種憶阻器。由于其非線性和記憶性，憶阻器在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1-2]和圖像加密[3-4]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。憶阻器作為非線性元件引入電路之后，混沌電路的動(dòng)力學(xué)行為更為復(fù)雜[5]。因此，建立含有憶阻的混沌電路，分析其超級(jí)多穩(wěn)定性的行為，進(jìn)而闡明非線性系統(tǒng)對(duì)于初值的敏感性是十分重要的。

本文在退化jerk系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，在第二方程中引入理想磁控憶阻器，提出一種改進(jìn)型憶阻退化jerk系統(tǒng)[6]。新系統(tǒng)具有線平衡點(diǎn)，并表現(xiàn)出含有三種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)混沌吸引子的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)。此外，通過(guò)動(dòng)力學(xué)特性分析，得出改進(jìn)型憶阻系統(tǒng)的吸引子都是自激吸引子。特別是隨著初始條件的變化，新系統(tǒng)表現(xiàn)出瞬態(tài)混沌，瞬態(tài)周期甚至改變吸引盆和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特殊暫態(tài)行為。

1 數(shù)學(xué)模型與穩(wěn)定性分析

1.1 數(shù)學(xué)模型

采用有源磁控憶阻的數(shù)學(xué)模型為:

(1)

式中:u為憶阻的終端電壓；j為憶阻內(nèi)部磁通變量，j是u的積分；W(j)為與磁通量j相關(guān)的磁導(dǎo)率。

在退化jerk系統(tǒng)[6]第二方程中引入式(1)描述的憶阻，即可構(gòu)建出新穎的憶阻系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型表示為:

(2)

式中：x、y、z和w為4個(gè)狀態(tài)變量；a、b和c為原三維系統(tǒng)的3個(gè)控制參數(shù)。

1.2 穩(wěn)定性分析

(3)

式中:η為任意實(shí)常數(shù)。不難看出I1和I2，I3和I4關(guān)于y軸對(duì)稱。

式(2)在平衡點(diǎn)I處的雅克比矩陣為:

(4)

相應(yīng)的特征方程為：

(5)

除零特征根外，其余的特征根的勞斯陣列表如式(6)所示。

(6)

式中:γ=sgnxIsgnyI(a-1)(α+βη2)/a；μ=sgnxIsgnyI(α+βη2)。

根據(jù)勞斯判據(jù)為了避免臨界穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)僅考慮00，兩個(gè)實(shí)正一個(gè)實(shí)負(fù)和一個(gè)零特征根。平衡點(diǎn)I2和I3滿足sgnxsgny>0，一個(gè)實(shí)正兩個(gè)實(shí)負(fù)和一個(gè)零特征根。因此平衡點(diǎn)I1和I4為指數(shù)為1的不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，I2和I3為指數(shù)為2的不穩(wěn)定焦點(diǎn)，在I2和I3附近可以形成自激吸引子的兩個(gè)渦卷。

2 無(wú)窮多吸引子的共存行為

2.1 初值敏感的動(dòng)力學(xué)行為

對(duì)于式(2)，首先規(guī)定控制參數(shù)a= 0.6、b= 1.3、c=2、α=1、β=0.03，初始狀態(tài)[0，0/1，0，w(0)]。當(dāng)w(0)在(-6, 8)內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)分量x的分岔圖及其李雅普諾夫指數(shù)如圖1(a)和圖1(b)所示。隨著w(0)的逐漸增大，式(2)表現(xiàn)出復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，包含周期、準(zhǔn)周期和不同吸引盆的混沌行為，以及分段倍周期分岔行為等。特別當(dāng)w(0)∈(-3.697, 4.523)時(shí)，式(2)在y(0) = 0和1兩個(gè)初始條件下，呈現(xiàn)出對(duì)x(0)初始條件的敏感性，并且吸引子的混沌行為完全不同。

圖1 式(2)關(guān)于w(0)的動(dòng)力學(xué)

2.2 無(wú)窮多吸引子

根據(jù)圖1的分岔圖，仿真獲得了在x-z平面上的若干典型吸引子相軌圖。這些吸引子有著不同的尺寸和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并且由于憶阻器的引入，式(2)隨著初始值的變化，所獲得的吸引子的吸引盆也是不同的，因此式(2)存在著超級(jí)多穩(wěn)定性。其中，圖2(a)為三種混沌吸引子，圖2(b)為準(zhǔn)周期和周期。初始狀態(tài)(0,0,0,0.3)為左，初始狀態(tài)(0,1,0,1)為中和初始狀態(tài)(0,1,0,6)為右的三種混沌吸引子。

圖2 式(2)MATLAB仿真的x-z平面相軌圖

3 初值敏感的瞬態(tài)行為

對(duì)于式(2)，首先規(guī)定控制參數(shù)a=0.6、b=1.25、c=2、α=0.7、β=0.07，以初始狀態(tài) (0，1，0，0)為例，仿真[0.5 ks，0.9 ks]和 [2.5 ks，2.9 ks]兩個(gè)不同時(shí)間段的吸引子相軌圖，由一個(gè)瞬態(tài)周期過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)混沌。特別以初始狀態(tài)(0，0，0，-2.3)為例，圖3展示了[0.2 ks，0.6 ks]和[0.9 ks，1.3 ks]兩個(gè)不同時(shí)間段的吸引子相軌圖，由圖3(a)瞬態(tài)周期過(guò)渡到圖3(b)穩(wěn)態(tài)周期。

圖3 (0,0,0,-2.3)時(shí)MATLAB仿真相軌圖

4 硬件設(shè)計(jì)和PSIM仿真

構(gòu)建憶阻系統(tǒng)式(2)的模擬電路，圖4為憶阻jerk系統(tǒng)的主電路。選擇時(shí)間尺度因子為k=1/(RC)，電路狀態(tài)方程可以表示為

(7)

式中:ux、uy、uz和uw為電路中 4 個(gè)電容兩端的電壓，分別對(duì)應(yīng)于x、y、z和w狀態(tài)變量。為了更好地驗(yàn)證系統(tǒng)基于初值敏感存在無(wú)窮多吸引子和復(fù)雜的瞬態(tài)行為，設(shè)計(jì)了PSIM電路,并進(jìn)行仿真驗(yàn)證MATLAB數(shù)值仿真結(jié)果。圖4的絕對(duì)值函數(shù)abs(·)和-abs(·)使用PSIM電路仿真軟件中的abs函數(shù)模塊和比例模塊實(shí)現(xiàn)。與系統(tǒng)(7)比較，圖4中電阻值分別為Ra=R/a=60 kΩ，Rα=R/α，Rβ=gR/β，R1=R4=R=36 kΩ。以圖3為例設(shè)定電路的初值，驗(yàn)證憶阻退化jerk系統(tǒng)中的復(fù)雜現(xiàn)象。由于數(shù)學(xué)模型與電路模型的時(shí)間參數(shù)不同，圖5中的結(jié)果存在一定差異，但兩者都顯示出基于初值敏感的復(fù)雜瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)行為。

圖4 改進(jìn)型憶阻退化jerk系統(tǒng)主電路

圖5 (0,0,0, -2.3)時(shí)PSIM模擬的相軌圖

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)在退化jerk系統(tǒng)中引入理想磁控憶阻器，提出改進(jìn)型憶阻退化jerk系統(tǒng)。該憶阻系統(tǒng)固定系統(tǒng)參數(shù)條件下，通過(guò)改變系統(tǒng)初始狀態(tài)可以呈現(xiàn)出三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)混沌、準(zhǔn)周期和周期等超多吸引子共存。調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)后，在不同的初始條件下，改進(jìn)型退化jerk系統(tǒng)不僅存在瞬態(tài)周期和瞬態(tài)混沌，還會(huì)呈現(xiàn)改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和吸引盆的復(fù)雜瞬態(tài)混沌現(xiàn)象，呈現(xiàn)對(duì)初值敏感的復(fù)雜瞬態(tài)行為。對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行模擬電路設(shè)計(jì)，并通過(guò)PSIM電路仿真驗(yàn)證了改進(jìn)型憶阻退化jerk系統(tǒng)初值敏感的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)。