沈星, 孔令冉, 李睿宗, 張東方, 高天佑, 江開(kāi)軍*

(1 中國(guó)科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所波譜與原子分子物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430071;2 中國(guó)科學(xué)院冷原子物理中心, 湖北 武漢 430071;3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

0 引 言

光偶極阱可以同時(shí)囚禁處于不同超精細(xì)內(nèi)態(tài)的原子,形成旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(BEC)[1],其自旋態(tài)存在諸多非平庸的空間分布,即自旋織構(gòu)(Spin texture)[2],如狄拉克單極子[3]、斯格明子(Skyrmion)[4]和扭結(jié)[5]等,在凝聚態(tài)物理以及高能物理等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。目前旋量BEC 中的自旋織構(gòu)主要通過(guò)非均勻磁場(chǎng)中的自旋旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生,Leanhardt 等[6]在鈉原子BEC 中通過(guò)磁場(chǎng)翻轉(zhuǎn)的方式制備了無(wú)核渦旋結(jié)構(gòu),Choi 等[7]通過(guò)掃描磁場(chǎng)零點(diǎn)在光阱囚禁的鈉原子BEC 中獲得了斯格明子。然而磁場(chǎng)的構(gòu)型較為單一且不易調(diào)節(jié),不利于自旋織構(gòu)的靈活調(diào)控。與磁場(chǎng)相比,相干光場(chǎng)的操控手段更加豐富,其中拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光因其獨(dú)特的光強(qiáng)分布及攜帶軌道角動(dòng)量的特性而普遍用于原子系綜的光學(xué)相干操控[8]。2009 年,Leslie 等[9]率先利用LG 模式的拉曼光脈沖在自由飛行的銣原子BEC 中獲得了斯格明子,但并未詳細(xì)分析其動(dòng)態(tài)形成過(guò)程。

本文主要通過(guò)數(shù)值求解含時(shí)薛定諤方程研究了斯格明子的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程,觀察拉蓋爾-高斯模式拉曼光脈沖作用下原子團(tuán)各內(nèi)態(tài)布居數(shù)的演化行為,通過(guò)選取合適的雙光子失諧量和脈沖時(shí)間,在初態(tài)處于鐵磁相或極化相時(shí)分別模擬了文獻(xiàn)[9]、[7]實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的斯格明子結(jié)構(gòu)。其次,因?qū)嶒?yàn)中拉曼光通常經(jīng)由復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)聚焦到真空腔中的原子團(tuán)上,而在研究中發(fā)現(xiàn),若要通過(guò)LG 光獲取斯格明子結(jié)構(gòu),則光斑與原子團(tuán)兩者尺寸應(yīng)可比擬,此時(shí)精確標(biāo)定原子團(tuán)處的光斑束腰對(duì)于實(shí)驗(yàn)參數(shù)的選擇和結(jié)果的分析十分關(guān)鍵,本文提出了一種通過(guò)拉曼過(guò)程中雙光子拉比頻率與空間位置的關(guān)系標(biāo)定光斑尺寸的方法,討論了失諧量與二階塞曼效應(yīng)的影響,為后期實(shí)驗(yàn)提供了參考。

1 F =1 三能級(jí)系統(tǒng)拉曼過(guò)程的理論描述

以文獻(xiàn)[9]的實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算,在他們的實(shí)驗(yàn)中,拉曼光在BEC 形成9 ms 后作用于原子團(tuán)[10],此時(shí)原子團(tuán)充分膨脹,密度降低,原子間相互作用效應(yīng)很弱,可以在一定程度上忽略[11]。故只考慮總自旋F=1 的無(wú)相互作用原子團(tuán)在模式的LG 光作用下的雙光子拉曼躍遷,示意圖如Fig.1 所示,δ 為雙光子失諧量,LG 光光場(chǎng)分布為其中為拉蓋爾多項(xiàng)式,w為光斑束腰,e-ilφ表示攜帶的軌道角動(dòng)量為

圖1 (a) LG 光束與原子相互作用;(b)原子能級(jí)躍遷(?ωz 為|-1〉和|0〉之間的能級(jí)差)Fig.1 (a)Schematic diagram of LG beams interacting with atom cloud;(b)Schematic diagram of atomic transitions(?ωz is the energy gap between|-1〉and|0〉)

三能級(jí)原子在拉曼光作用下的哈密頓量(取?=1)為

式中HZ為系統(tǒng)的塞曼頻移,Haf為原子與拉曼光相互作用引入的哈密頓量,為雙光子拉比頻率[其中Ωi(r)=μiEi(r)為單光子拉比頻率],μi為躍遷偶極矩,Δ 為單光子失諧量,ω 為兩束光的頻率差,Fy代表自旋算符。

考慮光與原子近共振情況,即光的能量差與能級(jí)之間的能量差對(duì)應(yīng),首先對(duì)(1)式利用旋轉(zhuǎn)波近似,并絕熱消去可得到

式中ε 為二階塞曼頻移。將其哈密頓量代入含時(shí)薛定諤方程,得到本征矢系數(shù)含時(shí)演化方程組[12,13]

由于失諧量與二階塞曼頻移的影響,上述方程無(wú)法得到解析解,這里采用四階龍格-庫(kù)塔方法[14]對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解,在下面的計(jì)算過(guò)程中,選取峰值拉比頻率Ωmax作為頻率單位,1/Ωmax作為時(shí)間單位。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

2.1 斯格明子制備條件的數(shù)值分析

考慮光場(chǎng)的空間分布,可知雙光子拉比頻率隨原子團(tuán)空間位置變化,通過(guò)控制光脈沖時(shí)間可以得到原子內(nèi)態(tài)布居的特定空間分布,即自旋織構(gòu)。在F=1 原子凝聚體中,對(duì)于初態(tài)分別處于鐵磁相與極化相的自旋織構(gòu),波函數(shù)與彎曲角(Bending angle)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可表示為[15]

式中n(r)為原子團(tuán)的密度分布,FM 代表鐵磁相,P 代表極化相,彎曲角β(r)用于描述自旋在原子云上的旋轉(zhuǎn),局域自旋由矢量I(r,φ) = cos β(r)ez+sin β(r)(cos φex+sin φey)表示。在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系中,從原子團(tuán)中心變化到邊緣的過(guò)程中,β(r)從0 連續(xù)變化到π[16]?？紤]原子團(tuán)與一對(duì)同向傳播的拉蓋爾-高斯光束高斯光相互作用,首先將初態(tài)設(shè)定為|-1〉,即鐵磁相,參照相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù),光斑束腰設(shè)為90 μm,原子團(tuán)直徑設(shè)為40 μm,利用LG 光的峰值光強(qiáng)計(jì)算出此時(shí)的峰值拉比頻率Ω1,調(diào)節(jié)光脈沖時(shí)間為7/(10Ω1)以及失諧量為0.178Ω1,可以得到如Fig.2(a)所示的結(jié)果,根據(jù)β(r)的變化情況容易看出所獲得的自旋織構(gòu)滿足斯格明子的要求,其中R為三倍原子團(tuán)半徑大小,r為距原子團(tuán)中心的位置坐標(biāo)。受到Choi 等[7]利用調(diào)節(jié)磁場(chǎng)零點(diǎn)的方式得到斯格明子的啟發(fā),希望利用雙光子拉曼過(guò)程重現(xiàn)該結(jié)果,將初態(tài)定為|0〉,即極化相,在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)光斑束腰、失諧量與脈沖時(shí)間,觀察自旋織構(gòu)的演化,最終在光斑束腰定為60 μm、原子團(tuán)直徑定為40 μm、失諧量為0、時(shí)間為1/(2Ω2)時(shí),定性得到了符合穩(wěn)定的二維斯格明子的原子團(tuán)徑向分布圖樣,如Fig.2(b)所示,驗(yàn)證了此方法的可行性,其中Ω2為光斑束腰為60 μm時(shí)的峰值拉比頻率。

2.2 利用布居數(shù)振蕩標(biāo)定光斑束腰

在利用高斯光束驅(qū)動(dòng)拉曼過(guò)程實(shí)現(xiàn)自旋-軌道耦合等實(shí)驗(yàn)中,光斑束腰通常遠(yuǎn)大于原子團(tuán)直徑,原子近似感受到均勻光場(chǎng)的作用,通過(guò)調(diào)節(jié)失諧量與二階塞曼頻移,原子團(tuán)整體布居數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律的振蕩行為,可以用其振蕩頻率來(lái)標(biāo)定拉曼耦合強(qiáng)度[17]。由前面的數(shù)值分析可知,為獲取特定的自旋織構(gòu),光斑大小應(yīng)與原子團(tuán)大小可比擬。此時(shí),拉曼光光強(qiáng)的空間分布會(huì)導(dǎo)致各態(tài)上粒子數(shù)布居的振蕩行為更加復(fù)雜。同樣在三能級(jí)系統(tǒng)中對(duì)此進(jìn)行了數(shù)值模擬,將原子初始態(tài)制備到|-1〉上,選取與模式的拉蓋爾-高斯光束,其束腰為30μm,考慮原子團(tuán)直徑為10μm,計(jì)算了原子團(tuán)各態(tài)布居數(shù)的時(shí)間演化,結(jié)果如Fig.3(a)～(c)所示,橫坐標(biāo)為振蕩時(shí)間,縱坐標(biāo)為各能級(jí)粒子布居數(shù)比例,由于原子團(tuán)不同空間位置的振蕩頻率不同,整體粒子數(shù)布居表現(xiàn)為多種頻率振蕩的疊加,沒(méi)有具體的規(guī)律性可循。

圖2 斯格明子占據(jù)數(shù)在(a)鐵磁相和(b)極化相下的分布Fig.2 Population[inset: cos β(r)]of Skyrmion from(a)FM phase and(b)polar phase

圖3 各能級(jí)占據(jù)數(shù)無(wú)規(guī)分布:(a)m=-1;(b)m=0;(c)m=1;占據(jù)數(shù)隨時(shí)間的演化:(d)r =2.5;(e)r =7.5Fig.3 Irregular oscillation of population:(a)m=-1;(b)m=0;(c)m=1;Population change with time:(d)r =2.5 μm;(e)r =7.5 μm

在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,拉曼光通常經(jīng)由復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)聚焦到真空腔中的原子團(tuán)上,在原子團(tuán)處實(shí)際束腰與理論數(shù)值一般不一致,準(zhǔn)確測(cè)定原子團(tuán)處的光斑束腰對(duì)于實(shí)驗(yàn)參數(shù)的選擇和結(jié)果的分析十分關(guān)鍵。通過(guò)上述計(jì)算得到,分別對(duì)應(yīng)r= 2.5 μm、r= 7.5 μm 空間位置的粒子數(shù)隨時(shí)間的變化如Fig.3(d)、(e)所示,發(fā)現(xiàn)原子團(tuán)空間各點(diǎn)處粒子數(shù)布居近似按照正弦振蕩,且振蕩頻率取決于各點(diǎn)處的光強(qiáng),故分開(kāi)研究單點(diǎn)的原子振蕩性質(zhì),通過(guò)單點(diǎn)原子的振蕩頻率與光強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系反推光斑束腰大小。

若忽略雙光子失諧量與二階塞曼頻移影響,通過(guò)本征矢系數(shù)含時(shí)演化方程組可以解析求得mF= 0態(tài)的布居數(shù)振蕩:將不同空間位置|0〉態(tài)原子的振蕩頻率用正弦函數(shù)擬合,根據(jù)光斑束腰進(jìn)行擬合。Fig.4(a)、(b)是在設(shè)定束腰為30 μm 的情況下考慮不同的二階塞曼頻移得到的振蕩頻率與光強(qiáng)的擬合曲線,隨著失諧量與二階塞曼效應(yīng)的增大,擬合得到的光強(qiáng)與實(shí)際數(shù)值的偏差也逐漸變大。但由于LG 光中心光強(qiáng)較低,二階塞曼頻移與失諧量的影響更加明顯,因此中心擬合的光強(qiáng)偏差更遠(yuǎn)。分別在0～2 kHz 的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)失諧量與二階塞曼頻移時(shí),通過(guò)計(jì)算擬合得到的光斑束腰大小以及對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)R2變化的圖像如Fig.4(c)、(d)所示,隨著失諧量或二階塞曼效應(yīng)的增大擬合結(jié)果誤差增大,在失諧量和二階塞曼效應(yīng)超出1 kHz 后,相關(guān)系數(shù)R2下降較快,故此方式適合在失諧量與二階塞曼效應(yīng)較小的情況下使用。

圖4 光強(qiáng)隨(a)失諧量和(b)二階塞曼頻移的變化;束腰隨(c)失諧量和(d)二階塞曼頻移的變化Fig.4 Intensity change with(a)detuning and(b)second-order Zeeman shift;Waist change with(c)detuning and(d)second-order Zeeman shift

3 結(jié) 論

通過(guò)求解含時(shí)薛定諤方程研究了LG 光驅(qū)動(dòng)F=1 三能級(jí)系統(tǒng)拉曼躍遷制備特定的自旋織構(gòu)。在初態(tài)處于鐵磁相時(shí)通過(guò)調(diào)節(jié)失諧量、光脈沖時(shí)間以及光斑束腰,數(shù)值模擬驗(yàn)證了Leslie 等獲得的斯格明子結(jié)構(gòu),而后將該方法推廣到初態(tài)處于極化相的情況,同樣獲得了與Choi 等利用磁場(chǎng)操控自旋旋轉(zhuǎn)方法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符的斯格明子結(jié)構(gòu)。并研究了原子團(tuán)不同空間位置的雙光子拉比頻率與光強(qiáng)空間分布的關(guān)系,據(jù)此提出了一種精確標(biāo)定原子團(tuán)處光斑束腰的方法,為自旋織構(gòu)的實(shí)驗(yàn)制備提供了參考。