李萬金 郭 力 周 鑫 洪 俊

(東南大學江蘇省高校工程力學分析重點實驗室, 南京 210096)

大量研究表明,鋼筋銹蝕破壞是混凝土破壞的主要原因,而氯離子侵蝕又是造成鋼筋銹蝕的主要因素.同時,混凝土的各材料相有著不同的擴散特性,如骨料幾乎不可滲透,會阻礙氯離子擴散；而界面過渡區(qū)(ITZ)由于高孔隙率會加速氯離子擴散.因此,研究混凝土中氯離子擴散過程和混凝土細觀結構對其影響至關重要.

由于混凝土的非均質多相特性,采用解析方法處理細觀尺度上氯離子擴散較為困難,而數值模擬是一種可行的方法.常用的數值方法主要有有限差分法、有限元法和無網格法等.如Ruan等[1]基于元胞自動機(cellular automata)方法建立氯離子擴散細觀模型,并采用有限差分法求解該模型,較好地提高了細觀模型計算效率.Guo等[2]建立了氯離子擴散有限元細觀模型,研究發(fā)現(xiàn),氯離子擴散過程高度依賴ITZ性能和骨料含量.Peng等[3]建立了五相細觀模型,研究了氯離子擴散系數、損傷區(qū)域長度和寬度等參數對氯離子擴散過程的影響.avija等[4]建立了氯離子擴散的三維細觀格構模型,研究了裂紋對氯離子擴散過程的影響.以上經典局部方法能夠較好地研究細觀尺度上的氯離子擴散過程,但往往不能捕捉到混凝土非均質性導致的非局部效應.

Silling[5]提出一種非局部方法,即近場動力學方法(peridynamics).該方法采用空間積分形式的控制方程,能夠較好地處理不連續(xù)(如裂紋、界面等)問題和含非局部效應的問題[6-8].考慮到該方法的優(yōu)勢,Bobaru等[9]將近場動力學方法引入熱傳導研究,采用溫度的積分代替溫度的空間導數,建立了相應的控制方程.另外,Jabakhanji等[10]采用近場動力學研究滲流過程.Wang等[11]和王彩云等[12]采用態(tài)型近場動力學分別研究了巖石和混凝土的熱力耦合變形破壞過程.氯離子擴散的控制方程與熱傳導和水分滲流的控制方程相類似,因此,可將近場動力學引入氯離子擴散過程的研究.

基于已有研究,本文建立了混凝土中氯離子擴散的細觀近場動力學模型.通過與有限元模型計算結果的對比,對模型進行了驗證；并在此基礎上,討論了骨料分布、骨料體積分數、骨料級配、ITZ厚度和ITZ擴散系數等細觀參數對氯離子擴散過程的影響.

1 氯離子擴散的近場動力學細觀模型

1.1 混凝土細觀結構

混凝土是一種非均質材料,其細觀結構復雜.混凝土的各相材料有著不同的擴散特性,因此,混凝土的宏觀擴散性能與其細觀結構有著密切的關系.本文中,假設混凝土是三相非均質材料,包括砂漿、骨料及兩者之間的ITZ.類似于文獻[7],將骨料假設為圓形,被ITZ包裹著,且隨機分布于模型中.細骨料、水泥凈漿和其他成分(如孔洞、裂紋等)組成砂漿.在細觀尺度,假設砂漿為均質組分,其擴散特性與水灰比、孔隙率等因素相關.

混凝土中,骨料的體積分數高達70%,而粗骨料的體積分數約為40%.本文采用簡化的四粒徑段的骨料級配,其中粒徑小于2.36 mm的骨料被認為是砂漿的一部分.粒徑范圍為2.36～4.75,4.75～9.50,9.50～12.70,12.70～19.00 mm的骨料體積分數分別為10%,51%,36%,3%.采用“生成-投放”方法[7]投放骨料,骨料既不與模型邊界重疊,也不相互重疊,且不會影響ITZ的厚度和質量.ITZ是骨料與砂漿之間的薄界面層,該區(qū)域存在大量的可溶性氫氧化鈣,因此ITZ是混凝土材料的“薄弱區(qū)”,對混凝土的輸運性能影響較大.國內外學者對ITZ的厚度和輸運性能進行了大量研究,Wang等[13]歸納了部分研究結果后發(fā)現(xiàn),ITZ與砂漿的擴散系數之比均小于16.2,且大多數情況下,其比值小于10；ITZ的厚度為20～100 μm.

1.2 氯離子擴散理論

氯離子擴散是指溶液中氯離子在濃度梯度作用下發(fā)生的定向遷移,包括穩(wěn)態(tài)擴散和非穩(wěn)態(tài)擴散.單位時間內通過垂直于擴散方向參考平面的物質的量稱為離子的擴散通量.對于一維情況下的穩(wěn)態(tài)擴散,擴散通量J與濃度梯度?C/?x間的關系可用Fick第一定律來描述,即

(1)

式中,D為氯離子擴散系數；C為氯離子質量濃度；x為擴散深度.

實際情況下,氯離子的擴散通量J是一個隨時間和空間變化的函數,對應體系的擴散過程為非穩(wěn)態(tài)擴散過程.假設氯離子只在x方向擴散,即離子濃度在y和z方向上保持不變,只在x方向上有所變化.如圖1所示,陰影截面為等濃度面,在x′和x處的質量濃度分別為Cx′和Cx,且Cx′>Cx.將2個陰影截面所圍的區(qū)域作為研究對象,則左右兩個陰影面積中流進和流出的離子通量之差ΔJ在數值上等于該區(qū)域內離子總量變化率(?C/?t)dx,即

圖1 濃度梯度作用下氯離子擴散過程示意圖

(2)

式中,t為擴散時間.將式(1)代入式(2),可得用于描述一維氯離子擴散過程的Fick第二定律：

(3a)

對于三維擴散問題,相應的擴散方程為

(3b)

式中,div()為矢量函數的散度算子；grad()為標量函數的梯度算子.

一維情況下,若式(3a)的初始條件和邊界條件為

(4)

則可得到式(3a)的解析解為

(5)

1.3 近場動力學模型的建立

近場動力學是一種非局部理論,其假設物體由若干具有相應體積和質量的材料點組成.對于任意材料點x,它與周圍一定圓形區(qū)域內的其他材料點發(fā)生作用.該半徑為δ的圓形區(qū)域稱為近場域,而材料點間的相互作用稱為鍵.當近場域尺寸趨向于0,材料點間的相互作用變成局部作用,近場動力學方法退化為經典局部方法.本文采用氯離子濃度的積分代替經典局部模型中的濃度空間微分,建立了氯離子擴散近場動力學模型.該模型中,鍵類似于輸送管道,將氯離子從一個材料點輸運到另一個材料點.同時,鍵之間是相互孤立的,即鍵之間不發(fā)生氯離子輸運.

假設圖1中2個陰影截面所圍的區(qū)域內平均離子質量濃度為Ca,則其離子總量變化率為

(6)

而離子通量差為

(7)

聯(lián)立式(2)、(6)、(7)可得

(8)

將式(8)改寫為近場動力學形式,可得

(9)

式中,Ca(x,x′,t)為鍵xx′中的平均氯離子質量濃度；K(x,x′)=K(x′,x)為鍵的擴散系數,可通過材料的擴散系數D求得.將式(9)左右兩邊同時除以||x′-x||,并以材料點x的近場域(Hx)為積分區(qū)域,對x積分,可得

(10)

假設與點x相連的所有鍵中的平均氯離子質量濃度與點x的氯離子質量濃度存在以下關系：

(11)

則可得

(12)

式中,VHx為點x的近場域體積.聯(lián)立式(10)和(12),可得一維氯離子輸運過程近場動力學模型的控制方程，即

(13a)

采用面積積分替代式(13a)中的線積分,則模型可推廣到二維情況,即

(13b)

式中,k(x,x′)=K(x,x′)/VHx為鍵xx′的微擴散系數,其與混凝土各材料相的擴散系數之間的關系如下：

(14)

式中,Dbond=2DxDx′/(Dx+Dx′)，為鍵xx′的擴散系數,Dx和Dx′分別為材料點x和x′的擴散系數；ξ為鍵長.

1.4 數值離散

1.4.1 方程離散和迭代格式

采用均勻網格(網格間隔為Δx)離散二維模型,則式(13b)可離散成

(15)

式中,求和符號針對材料點xi近場域內的所有材料點xp；Aip為點xp所屬區(qū)域被點xi近場域覆蓋部分的面積.位于近場域邊界處的材料點可能只有部分面積在近場域內,如果面積仍取為(Δx)2則會引發(fā)較大的數值誤差,因此采用下式來提高計算的準確性[14]：

Aip=γ(Δx)2

(16)

式中,ξip為鍵xixp的鍵長.對于只被近場域部分覆蓋的材料點,被覆蓋部分的重心不再是其所屬面積的中心點,因此采用下式修正鍵長：

(17)

當p=i時,式(15)右側出現(xiàn)“零除零”的情況,無法直接求解；而p=i的情況是真實存在的,其在物理上表示存儲在點xi所屬區(qū)域內的氯離子濃度.因此,采用其相鄰的8個材料點的平均值來近似求取,即

(18)

時間步迭代采用向前差分格式,即當前時間步在點xi處的氯離子濃度的時間導數由式(15)和式(18)求得；下一個時間步的氯離子濃度由下式求得：

(19)

式中,Δt為時間步長.采用向前差分方法處理時間積分在數值上是條件穩(wěn)定的,因此有必要確定數值穩(wěn)定條件來約束時間步長,從而防止引入數值誤差.此處采用馮·諾依曼穩(wěn)定性分析方法推導了數值穩(wěn)定條件,即

(20)

采用自編MATLAB程序計算,式(19)可改寫為矩陣格式：

Cn+1=Cn+ΔtKdCn=(I+ΔtKd)Cn

(21)

(22a)

(22b)

1.4.2 非局部Dirichlet(濃度)邊界條件

近場動力學理論的邊界條件與經典局部理論的邊界條件有些許差異,這主要是由于近場動力學理論的非局部特性,會導致發(fā)生邊界效應.非局部濃度邊界條件需要施加在有限厚度的邊界層上,而不是模型的表面.該邊界層的厚度往往取為模型的近場域尺寸δ,而近場域尺寸一般取為3～5倍的材料點邊長(Δx)較為合理,既能保證計算精度,又能保證計算效率[9].本文中,選取δ=5Δx.因此,在建模時,需要在原邊界處增加厚度為δ=5Δx的虛擬邊界層,用來施加濃度邊界條件.

2 模型驗證

采用氯離子擴散近場動力學細觀模型和有限元細觀模型來計算混凝土板中氯離子擴散過程,對比兩者計算結果的一致性,來驗證本文所建立模型的可行性.如圖2所示,混凝土板尺寸為60 mm×60 mm,上邊界暴露在氯離子環(huán)境中,其他3個邊界是通量為0的密封邊界.混凝土板的初始氯離子質量濃度為0；上邊界的氯離子質量濃度為4.86×10-6g/mm3；擴散時間為200 d(1.728×107s).該模型采用四粒徑段骨料級配,粒徑段2.36～4.75,4.75～9.50,9.50～12.70,12.70～19.00 mm的體積分別占骨料總體積的10%,51%,36%,3%；骨料的體積分數為38.68%.ITZ的厚度和體積分數分別為50 μm和1.24%.骨料、砂漿和ITZ的氯離子擴散系數分別為0,9.125和91.25 μm2/s.

圖2 混凝土細觀模型的幾何尺寸和邊界條件(單位：mm)

近場動力學模型和有限元模型分別記作P1和F1.近場動力學細觀模型P1采用MATLAB自編程序求解,其參數如下：材料點邊長Δx=50 μm,近場域δ=5Δx=250 μm,虛擬邊界層厚度δ=250 μm,材料點數為1.446×106,時間步長為50 s.對于有限元模型F1,采用商用有限元軟件ABAQUS中的熱傳導模塊來求解氯離子擴散過程.將熱傳導模型中的密度和比熱容設為1,則熱傳導控制方程可轉化為氯離子擴散控制方程.有限元細觀模型的參數如下：采用4節(jié)點線性熱傳導四邊形單元(DC2D4),單元邊長Δx=50 μm,單元數為1.44×106,初始時間步長為50 s.

圖3給出了t=200 d時刻的近場動力學模型和有限元模型中氯離子質量濃度分布云圖.由圖可看出,2種模型中氯離子擴散深度和濃度分布情況基本相同.圖4給出了近場動力學模型和有限元模型中x=15,30,45 mm處氯離子質量濃度沿y軸方向分布的對比圖(擴散時間為200 d)；其中骨料處的氯離子質量濃度為0,對應的值在曲線中予以省略.由圖可看出,2種模型中氯離子質量濃度沿y軸方向分布基本相同,這也證明了氯離子擴散近場動力學細觀模型的可行性.

(a) 模型P1

(b) 模型F1

圖4 近場動力學模型和有限元模型中氯離子質量濃度沿y軸方向分布的對比圖(t=200 d)

3 參數研究

為了明確混凝土細觀結構和各材料相輸運性能對混凝土中氯離子擴散過程的影響,本節(jié)對以下幾個參數進行了研究：骨料分布、骨料體積、骨料級配、ITZ厚度和ITZ擴散系數.

3.1 骨料分布

采用3種不同的骨料分布(僅骨料分布位置不同,其他參數均相同)研究其對氯離子擴散過程的影響,相應模型記為D1,D2和P1.三種模型的幾何尺寸、邊界條件、各材料相的體積分數和擴散系數均與第2節(jié)算例中的相應參數相同.

圖5給出了模型D1和D2中擴散200 d時的氯離子質量濃度分布云圖.由圖5和圖3(a)可看出,氯離子擴散深度基本相同,這說明了骨料分布對氯離子擴散過程基本沒有影響.圖6中氯離子沿擴散方向的質量濃度分布擬合圖亦可說明這一結論(氯離子的不均勻分布使得不同模型間的定量對比困難,因而采用式(5)反演數據得到宏觀擬合曲線).當擴散100 d時,3種氯離子質量濃度分布曲線基本重合,但仍有些許差別.這主要是因為骨料是隨機分布的；當擴散時間較短時,氯離子碰到的骨料數目有差別,從而會對氯離子擴散速度造成一定的影響.而當擴散200 d時,氯離子擴散深度相對較大,遇到的骨料數目相一致,從而不會影響氯離子擴散速度.因此,對于實際結構,一般遭受氯離子侵蝕時間較久,可忽略骨料分布對氯離子輸運過程的影響.

(a) 模型D1

(b) 模型D2

圖6 不同骨料分布下的氯離子沿擴散方向的質量濃度分布擬合圖

3.2 骨料體積分數

采用5種不同的骨料體積分數(20%,30%,40%,50%,60%)研究其對氯離子擴散過程的影響.均采用四粒徑段的骨料級配,其對應的ITZ體積分數分別為0.69%,1.03%,1.24%,1.73%和2.05%；其他參數如幾何尺寸、邊界條件、各材料相的擴散系數均相同,且與第2節(jié)算例中的對應參數相同.

圖7給出了骨料體積分數與根據式(5)擬合的氯離子擴散系數的關系圖.由圖可看出,當骨料體積分數從20%增加到50%時,氯離子擴散系數逐漸減?。欢橇象w積分數從50%提高到60%時,氯離子擴散系數略有增加.這主要是因為骨料和ITZ對氯離子擴散具有截然相反的影響；骨料會阻礙氯離子的擴散,而ITZ由于孔隙率大會加速氯離子的擴散.當骨料體積分數較小時,ITZ的體積分數也較小,骨料的阻礙作用大于ITZ的加速作用,因此氯離子擴散系數隨骨料體積分數的增大而減小.當骨料體積分數較高時,ITZ的體積分數也較高,甚至相鄰的ITZ會相互聯(lián)通,從而ITZ的加速作用會大于骨料的阻礙作用,因此氯離子擴散系數有所增大.

圖7 骨料體積分數與宏觀氯離子擴散系數關系圖

3.3 骨料級配

為了研究骨料級配對氯離子擴散過程的影響,采用4種不同的骨料級配,相應模型記為G1,G2,G3和P1.模型P1采用四粒徑段骨料級配,而G3采用三粒徑段骨料級配,不包含12.70～12.90 mm的粒徑段,且12.70～12.90 mm粒徑段的體積平均分配到其他3個粒徑段.采用同樣的分配方法,獲取模型G2(含二粒徑段)和模型G1(含一粒徑段)的骨料尺寸分布.模型G1,G2,G3和P1中,骨料的體積分數為38.68%,骨料尺寸分布如表1所示；ITZ體積分數分別為2.90%,2.05%,1.43%和1.24%；其他參數如幾何尺寸、邊界條件、各材料相的擴散系數均相同,且與第2節(jié)算例中的對應參數相同.

表1 4種骨料級配模型中的骨料尺寸分布

圖8給出了3種骨料級配下(模型G1～G3)氯離子質量濃度分布云圖.由圖8和圖3(a)可看出,不同骨料級配情況下的氯離子擴散前緣基本相同.由圖9也可看出,不同骨料級配情況下氯離子沿擴散方向的濃度分布差別不大,且與骨料級配的骨料段數沒有明顯的相關度.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因與3.1節(jié)中骨料體積分數影響情況相似,主要是因為骨料的阻礙作用與ITZ的促進作用.如模型G1中骨料個數多,阻礙作用較大,但ITZ體積分數也大,甚至相鄰的ITZ聯(lián)通起來,因此相較于模型G2和G3,模型G1的擴散速度更快.再如模型P1的骨料個數少,ITZ體積分數也隨之減小,促進作用減小,但骨料的阻礙作用更小,因此相較于模型G2和G3,模型P1的擴散速度更快.

(a) 模型G1

(b) 模型G2

(c) 模型G3

圖9 不同骨料級配下氯離子沿擴散方向的質量濃度分布擬合圖(t=200 d)

3.4 ITZ厚度

采用2種不同的ITZ厚度(50 和100 μm)研究其對氯離子輸運過程的影響,相應模型記為P1和H1.兩種模型的幾何尺寸和邊界條件、骨料體積分數、各相擴散系數均相同,且與第2節(jié)算例中的對應參數相同.

圖10給出了模型H1(ITZ厚度為100 μm)中氯離子擴散200 d時的質量濃度分布云圖.對比圖10和圖3(a)可看出,ITZ厚度為100 μm時氯離子擴散深度更大,這說明較厚的ITZ層會促進氯離子的擴散.圖11給出了氯離子沿擴散方向的質量濃度分布的擬合曲線圖.由圖可清晰地看出,擴散100和200 d時,ITZ厚度為100 μm時的氯離子質量濃度均高于50 μm的情況.另外,擴散100 d時,ITZ厚度為50和100 μm的氯離子擴散系數分別為9.38和10.50 μm2/s；而擴散200 d時,則分別為8.64和8.82 μm2/s.

圖10 模型H1(ITZ厚度為100 μm)的氯離子質量濃度分布云圖(t=200 d)

圖11 不同ITZ厚度下氯離子沿擴散方向的質量濃度分布擬合圖(t=100,200 d)

3.5 ITZ擴散系數

采用5種不同的ITZ擴散系數DITZ(取砂漿擴散系數的1,3,5,7,10倍)研究其對氯離子輸運過程的影響,相應模型記為n1,n2,n3,n4和P1.五種模型中,幾何尺寸、邊界條件、各材料相的體積分數均相同,且與第2節(jié)算例中相應的參數相同.

采用式(5)反演,得到模型n1,n2,n3,n4和P1的氯離子擴散系數分別為7.77,8.02,8.22,8.39,8.64 μm2/s；后4種情況下氯離子擴散系數分別是第1種情況的1.03,1.06,1.08和1.11倍.圖12給出了不同ITZ擴散系數下氯離子沿擴散方向的質量濃度分布擬合圖.由圖也可看出,隨著ITZ擴散系數的增加,氯離子擴散速度逐漸增加,但增加幅度不大,如ITZ擴散系數增大10倍,氯離子擴散速度增大11%.這主要是因為ITZ層太薄,體積分數僅為混凝土板的1.24%,僅增加ITZ擴散系數對氯離子擴散促進作用不大.

圖12 不同ITZ擴散系數下的氯離子沿擴散方向的質量濃度分布圖(t=100,200 d)

4 結論

1) 本文建立的近場動力學模型可在細觀尺度有效地研究氯離子擴散過程,為海工鋼筋混凝土結構耐久性研究奠定了一定的基礎.

2) 混凝土結構遭受氯離子侵蝕時間較久時,骨料分布對氯離子擴散過程的影響可忽略；如擴散時間為200 d時,骨料分布的影響幾乎為零.

3) 由于骨料和ITZ截然不同的輸運性能,骨料級配與氯離子擴散速度沒有明顯相關度；隨著骨料體積分數的增加,氯離子擴散速度先減小后增大.

4) 隨著ITZ厚度或ITZ擴散系數的增加,氯離子擴散速度均增加.但由于ITZ體積分數較小,氯離子擴散速度增加幅度均較小，如ITZ擴散系數增大10倍,氯離子擴散速度增大11%.