張偉

數(shù)學(xué)試題中的填空題，雖然題目簡短，難度不大，但“小”題目實(shí)則內(nèi)藏乾坤，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識和思想.所以，同學(xué)們在做完一道題目后，一定要回過頭去反思，通過轉(zhuǎn)換思維的視角，從不同的角度去剖析、探究多種解題思路和方法，從小題目中挖掘出大智慧，從而提高數(shù)學(xué)思維能力和解題能力.下面，就一道填空題的多種解法進(jìn)行剖析，看看小題目是如何彰顯大智慧的.

【例題展現(xiàn)】

已知在△ABC中，?AB=8，AC=10，∠ABC=90°.如果以AC為邊，作正方形ACDE，如圖1所示，那么S =________.

分析：本題是一道以正方形和直角三角形為載體的幾何面積題，題目雖簡短，易理解，但涉及多個知識點(diǎn)，思考空間較大，技巧性較強(qiáng).認(rèn)真思索一番，會發(fā)現(xiàn)，思維視角不同，其解法也各有差異，是一道值得深入探究的好題.

【解法探究】

面積法即結(jié)合已知條件，直接利用三角形面積公式求解.此題中，欲求△BCE的面積，需要知曉△BCE的高和底邊長.不妨過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足交BC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH⊥BG，垂足為H，則四邊形ABGH為矩形.?由勾股定理易知底邊長BC的值.根據(jù)已知條件，易得△ABC≌△AHF，這樣就可以求出高EG的值，再結(jié)合三角形面積公式即可輕松求出△BCE的面積.

解：如圖2所示，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足交BC的延長線于點(diǎn)G.過點(diǎn)A作AH⊥BG，垂足為H，則四邊形ABGH為矩形.

在直角三角 形ABC中，AB=8，AC=10，

由勾股定理易得BC=6.

∵∠BAC+∠CAH= 90°，∠CAH+∠EAH=90°，

∴∠BAC=∠EAH.

又∵∠ABC=∠AHE=90°，AC=AE=10，

∴△ABC≌△AHF，

∴BC=HE=6，

而EG=GH+HE=8+6=14.

S=1/2BC·EG =1/2×6×14=42.

評注：此方法是解答三角形面積問題最為基本的方法，其求解關(guān)鍵在于得出所求目標(biāo)三角形的高和底邊長.

構(gòu)造方程組法體現(xiàn)了方程思想，它是指通過設(shè)立某些參數(shù)，以此構(gòu)造方程組，將問題實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求出目標(biāo)值.這是破解數(shù)學(xué)問題的有效方法之一.仔細(xì)分析此題題干和圖形，不難看出，

評注：此解法設(shè)而不求，通過設(shè)參數(shù)，構(gòu)造方程組，架起了連接已知量和未知量的橋梁，解題思路新穎獨(dú)特.

坐標(biāo)法是指通過建立平面直角坐標(biāo)系，確立某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的表達(dá)式，將幾何問題代數(shù)化，進(jìn)而達(dá)到使問題迎刃而解的目的.此題中，可以把直線CD看作x軸，直線AC看作y軸，由此建立平面直角坐標(biāo)系解題.

解：把直線CD、AC分別看作x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再過B點(diǎn)作BG⊥AC，垂足為G，如圖4.

評注：坐標(biāo)法是破解幾何問題的一大重要法寶.它可以使幾何問題代數(shù)化， 是數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn).

總之，在平時解題時，同學(xué)們不可忽視“小”題目，要注意從“小題” 著眼，多方思考和探索問題的多種解題途徑，從中提煉出不同的解題技法，從而激活數(shù)學(xué)思維潛能，拓寬解題思路，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，提高解答數(shù)學(xué)問題的能力.