杜雪林，杜敬利，廉蔭虎

（西安電子科技大學(xué)，陜西西安710071）

引 言

現(xiàn)代衛(wèi)星技術(shù)的不斷發(fā)展對天線的高頻段、高增益及大口徑提出了越來越高的要求[1-3]。比如為了提高天線的增益和數(shù)據(jù)傳輸速率，中繼衛(wèi)星的頻段選在Ku 段，天線增益要求不小于50 dB，因此天線的口徑需要增大至5 m，波速寬度約為27?，數(shù)據(jù)傳輸速度達(dá)300 Mbit/s[4]。在嫦娥四號登月項目中，“鵲橋”中繼衛(wèi)星上架設(shè)了一副展開口徑達(dá)5 m 的傘狀天線，這也是目前人類深空探測器攜帶的歷史上最大口徑的通信天線。

由于現(xiàn)有火箭整流罩尺寸與發(fā)射費用的限制，星載天線不僅要輕，收攏體積還要小，因此，大口徑星載天線必須做成可展開的形式，即發(fā)射時收攏于火箭整流罩內(nèi)，入軌后自動展開到位。網(wǎng)狀反射面天線是目前大型衛(wèi)星天線最理想的形式，它采用周邊桁架展開結(jié)構(gòu)和柔性網(wǎng)面技術(shù)，結(jié)構(gòu)形式簡單，可以在一定范圍內(nèi)增大天線的口徑而不改變結(jié)構(gòu)形式，質(zhì)量也不會隨之成比例地增加，天線的口徑可以達(dá)到6 ～150 m[5-6]。網(wǎng)狀反射面天線由可展開桁架、金屬反射絲網(wǎng)和索網(wǎng)結(jié)構(gòu)組成，如圖1 所示，其中索網(wǎng)結(jié)構(gòu)掛接在外部桁架上。滿足天線工作狀態(tài)的情形應(yīng)當(dāng)是，在內(nèi)部索段都張緊后，達(dá)到平衡狀態(tài)且使前索網(wǎng)保持特定的拋物面型面。絲網(wǎng)反射面附于前索網(wǎng)背部，實現(xiàn)電波的反射。

圖1 網(wǎng)狀反射面天線結(jié)構(gòu)

天線反射面的型面精度非常依賴于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)與剛性結(jié)構(gòu)有很大的不同，這是因為組成索網(wǎng)的索段本身不具有剛度和形狀，當(dāng)索段本身被施加預(yù)張力后，索網(wǎng)才能獲得作為承載體系所需的剛度和形狀。目前，純索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形態(tài)分析方法已經(jīng)趨于成熟，常見的方法有力密度法、動力松弛法、平衡矩陣法等[7-10]?；谶@些方法，可以對索網(wǎng)的“形”和“態(tài)”進行優(yōu)化，借以提高天線的設(shè)計精度。實際上，金屬絲反射面可被看作一類薄膜結(jié)構(gòu)，該膜結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力狀態(tài)會影響結(jié)構(gòu)的受力性能，膜內(nèi)應(yīng)力最終會傳遞到索網(wǎng)索段上，因此在型面分析過程中忽略膜的剛度貢獻是不盡合理的。

天線上的絲網(wǎng)反射面柔性大，抗彎剛度小，常被等效為膜結(jié)構(gòu)進行處理。反射面結(jié)構(gòu)需要依靠膜內(nèi)力和邊界約束來抵抗載荷作用，因此，尋找滿足平衡條件的膜面形狀和相應(yīng)的預(yù)應(yīng)力分布是天線找形分析中的重要問題。等應(yīng)力狀態(tài)是膜結(jié)構(gòu)各種應(yīng)力分布形式中的一種重要分布形式。這是因為等應(yīng)力分布使得結(jié)構(gòu)各處受力均勻，且該狀態(tài)下的平衡形狀具有最小表面積的特性?；诘葢?yīng)力狀態(tài)，已有不少學(xué)者對薄膜結(jié)構(gòu)或索膜結(jié)構(gòu)進行了形態(tài)分析方面的工作[11-14]。

本文針對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)和反射面，建立了索膜結(jié)構(gòu)的型面優(yōu)化方法。對薄膜內(nèi)部初始應(yīng)力設(shè)置對索網(wǎng)中索力的影響進行了討論，將優(yōu)化后的結(jié)果在有限元軟件ANSYS 中建模分析，驗證了結(jié)果的正確性。

1 索膜優(yōu)化模型的建立

本文首先假設(shè)索膜結(jié)構(gòu)的初始形狀，然后直接引入索網(wǎng)中的索段張力作為初始變量，據(jù)此建立索膜結(jié)構(gòu)的節(jié)點平衡方程，通過優(yōu)化求解，得到索膜結(jié)構(gòu)的一組優(yōu)化解。

1.1 純索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的平衡方程

基于力密度的思想，可以快速建立節(jié)點的平衡方程[8]。假設(shè)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)掛接于剛性桁架之上，則索網(wǎng)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時，索網(wǎng)上某一節(jié)點i 的力平衡方程可以表示為：

根據(jù)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)潢P(guān)系，建立索網(wǎng)結(jié)構(gòu)上所有節(jié)點的力平衡方程，形式如下：

式中：C 為m×n 階的結(jié)構(gòu)拓?fù)渚仃?，m 為索單元數(shù)，n 為索節(jié)點數(shù)；Q = 〈Ti,j/li,j〉為索單元張力和索長比值的對角陣，〈·〉表示對角矩陣；x 為節(jié)點位置矢量；F 為總的外力矢量陣。

為便于理解，將C 的矩陣形式做進一步說明，如索段k 分別連接在i 和j 節(jié)點上，則有：

1.2 薄膜反射面的平衡方程

實際上，絲網(wǎng)反射面是依據(jù)索網(wǎng)的網(wǎng)格形狀進行裁剪并縫制到前索網(wǎng)上的，因此采用前索網(wǎng)的網(wǎng)格將薄膜劃分為眾多三角形單元[15]，圖2 為三角形單元示意圖。設(shè)膜面各方向應(yīng)力均為σ，即等應(yīng)力分布狀態(tài)，膜面厚度為t，3 條邊的邊長為L1，L2和L3，3條邊對應(yīng)的內(nèi)角為α1，α2和α3，3 條邊上的線拉力為T1，T2和T3?，F(xiàn)以節(jié)點1 為例，建立平衡方程為：

圖2 三角形單元

求解得：

根據(jù)正弦定理，式(5)可進一步簡化為：

同理，三角形單元上的線拉力可寫作：

取三角形斜邊的力密度qi= Ti/li(i = 1,2,3)，假設(shè)單元處于平衡狀態(tài)，定義3 個頂點處的外力矢量分別為F1，F(xiàn)2和F3，則有：

式(8)—式(10)可以進一步寫作：

式(11)為三角形單元的力密度方程，將單元力密度矩陣裝配成全局力密度矩陣，得到：

式中：G 為全局力密度矩陣；Fm為外力矢量；xu∈x 為前索網(wǎng)的節(jié)點位置矢量。

1.3 索膜優(yōu)化模型的建立

基于索網(wǎng)和薄膜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將式(2)和式(12)合并，即可得到索膜結(jié)構(gòu)的總體平衡方程：

對純索膜結(jié)構(gòu)進行形態(tài)分析，將索膜結(jié)構(gòu)邊界固定在剛性桁架上，預(yù)先設(shè)計好索網(wǎng)上各個節(jié)點的位置。以索段的張力為設(shè)計變量，建立索膜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型。在索膜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程中，需要保證以下原則：

1）為了防止索網(wǎng)內(nèi)的索段出現(xiàn)松弛或者變形過大，約束索段張力的取值范圍：

式中：[T]min和[T]max分別為索段允許的最小和最大張力值。

綜合上述條件，假設(shè)薄膜離散的三角形薄膜單元的膜內(nèi)應(yīng)力為σ，索網(wǎng)的1 組張力矢量為T，建立如下優(yōu)化模型：

基于此優(yōu)化模型，即可對設(shè)定初始形狀的索膜結(jié)構(gòu)進行形態(tài)分析，獲得最優(yōu)的1 組預(yù)張力。

2 算例分析

本文以3 m 口徑可展開天線為例，進行優(yōu)化計算。如圖1 所示，索網(wǎng)由415 根索段和110 個節(jié)點組成，其中豎向索段55 根，前索網(wǎng)或后索網(wǎng)上的節(jié)點數(shù)和索段數(shù)分別為55 和180。具體的設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 天線索網(wǎng)部分的設(shè)計參數(shù)

薄膜鋪設(shè)在前網(wǎng)面上。薄膜材料的厚度為0.025 mm，彈性模量為2.1 GPa，泊松比為0.3。整個薄膜反射面由108 個三角形單元組成。本算例先討論薄膜三角形單元的應(yīng)力初值對索網(wǎng)內(nèi)部預(yù)張力分布的影響?；谑?17)進行索膜結(jié)構(gòu)的形態(tài)優(yōu)化分析，選取索力的上限為150 N，下限為1 N，膜內(nèi)許用應(yīng)力為10 MPa。上述優(yōu)化模型屬于有約束的最優(yōu)化問題，可基于信賴域法、有效集法、內(nèi)點法和序列二次規(guī)劃等進行求解。

為方便討論，取1/6 索膜結(jié)構(gòu)進行討論，見圖3。圖中括號前數(shù)字為前索網(wǎng)索段編號，括號內(nèi)數(shù)字為后索網(wǎng)索段編號，圓圈內(nèi)數(shù)字為豎向索索段編號，薄膜三角形中心處帶下劃線的數(shù)字為膜單元的編號。

圖3 1/6 索膜結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D

天線在軌時，反射面需要承受橫向加速度，因此在對網(wǎng)面應(yīng)力進行設(shè)置時，應(yīng)確保反射面表面不會出現(xiàn)松弛和褶皺。在以往的研究中，網(wǎng)格張力通常為0.05 ～0.1 MPa[16]。由式(7)可知，三角形單元的應(yīng)力大小對三角形斜邊上索單元的張力影響較大。本例中分別取所有三角形單元的初始應(yīng)力σ 為0.01 MPa，0.1 MPa 和1 MPa，則經(jīng)過式(7)計算可知，在三角形單元28 沿索段2 的斜邊上，面內(nèi)應(yīng)力轉(zhuǎn)換的線拉力分別為0.027 N，0.27 N 和2.7 N?？紤]到算例中設(shè)定的最小索段張力值為1 N，由此可知三角形單元的應(yīng)力初值的設(shè)定對型面分析的結(jié)果有著明顯的影響。

現(xiàn)在就三角形單元的3 種初始應(yīng)力下型面分析的結(jié)果進行討論。將3 種不同情形下分析后獲得的索段張力進行對比，如圖4 所示。

圖4 1/6 索膜結(jié)構(gòu)索段的張力分布

對比可知前索網(wǎng)索段的張力值約為5 N，當(dāng)膜單元的σ =1 MPa 時，轉(zhuǎn)化后的線張力為2.7 N，與索段張力過于接近。從索段張力的角度進行分析，觀察可知：豎向索段在3 個分析模型中基本一致，未受太大影響；當(dāng)膜單元的σ 設(shè)為0.01 MPa 和0.1 MPa 時，索段張力比較接近且均勻性較好；而當(dāng)σ 設(shè)為1 MPa時，前索網(wǎng)多數(shù)索段的張力變得較小，后索網(wǎng)多數(shù)索段的張力增大，這也說明了薄膜反射面內(nèi)部應(yīng)力過大可能導(dǎo)致索段出現(xiàn)松弛現(xiàn)象。通過分析可知，為了保證索網(wǎng)（特別是前索網(wǎng)）內(nèi)部索段張力的均勻性，應(yīng)設(shè)計反射面內(nèi)部應(yīng)力的大小，使內(nèi)部應(yīng)力轉(zhuǎn)化的線張力不要過大。從文中3 種初始應(yīng)力分析推測，σ 宜取0.1 MPa。

最后，取膜單元σ =0.1 MPa 時的優(yōu)化結(jié)果，將薄膜轉(zhuǎn)化的線張力作為前索網(wǎng)中相應(yīng)索段的附加張力，結(jié)合獲得的索網(wǎng)的預(yù)張力，在ANSYS 中建立周邊固定的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖5 所示。利用Link10 單元來模擬索網(wǎng)中各個索段，施加預(yù)張力后進行求解。

圖5 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)有限元模型

類似的，將所有前索網(wǎng)索段彈性模量更新為等效彈性模量，即可考慮薄膜的影響，進行索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的變形分析。

對靜力學(xué)分析結(jié)果進行分析，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的位移云圖和軸向應(yīng)力云圖分別如圖6 和圖7 所示。由位移云圖可見，整個索網(wǎng)結(jié)構(gòu)內(nèi)部的位移對稱一致，最大值為0.187 mm，變形量在合理的范圍之內(nèi)。由軸向應(yīng)力云圖可見，軸向應(yīng)力的取值范圍為1.29 ～21.5 MPa，折算為索段的軸向張力后為1.023 ～17.057 N，索段張力分布均勻，因此本文索膜結(jié)構(gòu)的型面優(yōu)化分析方法可行，求解結(jié)果可信。

圖7 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的軸向應(yīng)力云圖

3 結(jié)束語

本文建立了索膜結(jié)構(gòu)的形態(tài)分析方法，并通過算例分析，驗證了該方法的正確性。以往的研究常常忽略薄膜結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響，對單一的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行形態(tài)分析。但由本文的分析結(jié)果可知，膜單元應(yīng)力初值的選擇關(guān)系到索結(jié)構(gòu)的張力分布，若膜單元初始應(yīng)力過大，則索段的張力均勻性就會受到影響。因此，在天線的形態(tài)設(shè)計階段，應(yīng)當(dāng)合理配置反射面面內(nèi)應(yīng)力和索段預(yù)緊力，以獲得高精度的索膜結(jié)構(gòu)。

此外，本文的方法可以靈活擴展，如可由薄膜的面內(nèi)應(yīng)力分布和薄膜單元的形狀建立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到面內(nèi)應(yīng)力和等效線拉力的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而建立關(guān)于非等應(yīng)力狀態(tài)薄膜的索膜形態(tài)分析方法。