王倩婧,杜駿杰

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院, 上海 200241）

0 引 言

英國倫敦的圣保羅大教堂和北京的天壇, 都有一個環(huán)形的長廊. 在這個長廊里對著墻壁輕聲說話,即使另一個站在長廊里的人與之相距很遠, 也能夠聽得清說話內(nèi)容, 因此人們把這樣的長廊稱為“耳語回廊”. 早在1910年, Raleigh[1]就對這一現(xiàn)象進行了解釋, 他認為聲波在回廊中傳播時, 在墻壁上發(fā)生了連續(xù)反射, 使聲音可以沿回廊傳播很遠, 并且在傳播過程中損耗很小. 他把這種聲波的傳播模式命名為“耳語回廊模式”(Whispering-Gallery Mode, WGM), 或稱為回音壁模式. 圖1示意性地展示了回音壁模式被激發(fā)時, 聲波在腔體內(nèi)表面發(fā)生連續(xù)全反射從而傳播. 如果聲波在腔體內(nèi)傳播1周增加的相位是 2π 的整數(shù)倍, 那么腔體內(nèi)的波將相互疊加增強, 形成回音壁模式.

圖1 在一個封閉的腔內(nèi)激發(fā)的回音壁模式的示意圖Fig. 1 Schematic demonstration of whispering gallery modes excited in a closed cavity

對回音壁模式的研究雖然起源于聲波, 但后來在電磁領(lǐng)域的研究中發(fā)現(xiàn)電磁波也可以激發(fā)類似的模式. 早在1908年, 德國物理學(xué)家Mie[2]就在理論上對球形腔的電磁散射進行了研究, 并且給出了散射系數(shù)等重要參數(shù)的表達式, 為以后電磁回音壁模式的研究奠定了理論基礎(chǔ). 1939年, Richtmyer等[3]通過理論分析, 認為在球形的微型諧振腔中存在高品質(zhì)因子(Q值)的諧振模式. 但受限于當時的技術(shù)水平, 直到1961年Garrett等[4]用CaF2制備了微波諧振腔, 首次在實驗中實現(xiàn)了回音壁模式的激光,這一發(fā)現(xiàn)吸引了越來越多的研究者開始關(guān)注回音壁模式誘導(dǎo)的高Q值諧振腔. 在隨后的1963年,Walsh等[5]在紅寶石(ruby)環(huán)形諧振器中觀察到了脈沖形式的回音壁模式激光. 在1990年代初期,Mccall等[6]、Slusher等[7]、Levi等[8]設(shè)計了基于回音壁模式的微盤激光器, 從此光學(xué)回音壁模式的諧振器開始在半導(dǎo)體領(lǐng)域的研究中取得突破.

在近些年的研究中, 回音壁微腔在光通信信號處理[9-10]、各類傳感器[11-13]、腔光力學(xué)[14-17]等方向展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力. 隨著微納加工技術(shù)和材料科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和日益成熟, 微腔的形狀越來越多樣化, 如微球型[18]、微環(huán)型[19]、環(huán)芯型[20]、微柱型[21]、微盤型等微腔相繼出現(xiàn). 制備微腔的材料也越來越豐富, 目前常用的材料主要有二氧化硅[22]、鈮酸鋰[23]、氟化鈣[24]以及各類聚合物[25]等. 這些由不同材料制成的形狀不同的回音壁微腔在不同領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.

亥姆霍茲腔結(jié)構(gòu)簡單, 一直以來在聲學(xué)領(lǐng)域占有重要地位, 有著廣泛的應(yīng)用. 它可以用來設(shè)計消聲器、擴聲裝置, 也可以用于樂器制造、建筑噪聲控制等[26], 即使在近來聲學(xué)超材料的研究中, 它也發(fā)揮了無可替代的重要的作用[27-28]. 鑒于亥姆霍茲腔在聲學(xué)領(lǐng)域所表現(xiàn)出的獨特優(yōu)勢, 人們也期待它能夠在操控電磁波方面發(fā)揮獨特作用. 在最近的研究工作中, 我們發(fā)現(xiàn)在該腔內(nèi)會激發(fā)出一種特殊的磁對稱偶極模式(Magnetic Symmetric Dipole Modes, MSDM), 基于這一模式, 單層亥姆霍茲腔陣列可以使斜入射的電磁波原路返回, 返回效率接近100%, 從而設(shè)計出高效且寬頻帶的回射器. 本文希望通過對腔內(nèi)各回音壁模式的研究, 為理解腔內(nèi)激發(fā)的如磁對稱偶極模式等新電磁模式提供幫助. 同時,系統(tǒng)的研究也可以為亥姆霍茲腔的設(shè)計和優(yōu)化, 及其在人工電磁材料中的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ). 下面的部分將在簡要介紹我們采用的計算方法之后, 計算并給出理想電導(dǎo)體(Perfect Electric Conductor,PEC)構(gòu)成的二維電磁亥姆霍茲腔內(nèi), 幾種回音壁模式的激發(fā)波長, 并探討入射方向與腔的開口方向的相對位置, 以及開口大小對回音壁模式的影響.

1 理論模型

本文中的二維亥姆霍茲腔由無限薄的理想電導(dǎo)體(PEC)圍成, 為方便分析又不失一般性, 背景和腔內(nèi)媒質(zhì)都設(shè)為空氣. 亥姆霍茲腔的幾何結(jié)構(gòu)如圖2所示, 其中半徑為r, 開口角寬度為θ, 所有腔全部向右開口, 且開口中心線與x軸重合, 所有腔的半徑也固定為r= 60 mm不變, 入射角(入射方向與x軸的夾角)為θi, 圖中紅色箭頭表示了入射光方向. 腔體內(nèi)的回音壁模式可以用一個簡單的模型來理解: 我們知道當光入射到理想導(dǎo)體表面上時會發(fā)生全反射, 當入射波進入亥姆霍茲腔中時, 入射電磁波便會在腔體的內(nèi)表面連續(xù)發(fā)生全反射并繞腔體圍成的圓周傳播; 當圓周長度是波長的整數(shù)倍時, 便會在腔內(nèi)形成穩(wěn)定的駐波, 從而形成回音壁模式. 但精確計算并研究亥姆霍茲腔中的回音壁模式, 需要基于嚴格的方法來計算腔體的電磁散射. 亥姆霍茲腔與一般粒子的電磁散射問題相比, 難點在于它涉及混合邊界問題, 即開口處與PEC腔體對應(yīng)的邊界條件不同, 這是它的散射問題數(shù)學(xué)上長期無法嚴格處理的主要原因. 在解決它的散射問題的過程中, Senior[29]通過積分方程法首先進行了數(shù)值計算, Bonbardt等[30]發(fā)展了近似的解析方法, 隨后Shestopalov[31]和他的合作者用雙級數(shù)方法研究了這個問題, 但僅對有限的亥姆霍茲腔結(jié)構(gòu)適用. Ziolkowski等[32]將雙級數(shù)問題變?yōu)镽iemann-Hilbert問題, 發(fā)展了廣義雙級數(shù)方法, 可以用來計算任一亥姆霍茲腔的電磁散射, 并滿足了對計算精度的任意需求. 為了系統(tǒng)精確地研究亥姆霍茲腔內(nèi)的電磁模式, 本文采用了這種廣義雙級數(shù)方法(Generalized Dual Series Approach)[33]來計算電磁散射問題.

圖2 半徑為r, 腔體的開口大小為θ的亥姆霍茲腔的幾何結(jié)構(gòu)圖, 入射角為 θi, 腔的開口中心線與x軸重合Fig. 2 Geometry of an EM Helmholtz cavity with radius r and angular width of the opening θ, θi is the angle ofincidence and the center line of the opening is the x axis

下面我們將針對橫磁極化波(即電場沿腔軸方向極化的波)入射到二維亥姆霍茲腔的情形, 簡要介紹廣義雙級數(shù)方法的計算過程. 整個論文中, 時間相關(guān)因子 eiωt省略未標出. 首先我們將入射平面波展開為

其中,qm=i|m|e?im?i是入射場的展開系數(shù). 散射場和內(nèi)部場的展開式分別可以表示為

其中,Am和Bm分別是內(nèi)部場和外部散射場的米氏散射系數(shù).和 J|m|分別是第二類|m|階漢克爾函數(shù)和|m|階貝塞爾函數(shù). 接下來, 分別利用金屬上和開口處的兩個電磁邊界條件, 即金屬上Etot,z=0和磁場強度的切向分量Htot,?在開口處連續(xù), 可以得到

這樣就得到了所謂的雙級數(shù)問題. 變換后將該雙級數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)镽iemann-Hilbert問題, 通過求解無限維線性方程組得到Am和Bm這兩個系數(shù). 一旦求解出米氏散射系數(shù)Am和Bm, 就可以嚴格計算散射場的空間分布, 分析其電磁散射的特點.

2 結(jié)果與討論

2.1 回音壁模式與波長的關(guān)系

根據(jù)Mie散射理論, 不同極回音壁模式與不同的散射系數(shù)相關(guān), 比如偶極回音壁模式對應(yīng)B1, 四極回音壁模式對應(yīng)B2, 以此類推. 我們首先考慮一個幾何結(jié)構(gòu)不變的亥姆霍茲腔, 研究它的各極回音壁模式與入射波長的關(guān)系. 設(shè)定亥姆霍茲腔開口角寬度θ= 14°, 圖3表示了其前5個散射系數(shù)|Bm|與入射波長的關(guān)系. 從圖3中可以看到, 不同m對應(yīng)的散射系數(shù)的絕對量|Bm|有不同的峰值, 每個峰對應(yīng)的波長下, 可以激發(fā)出一種回音壁模式. 另外, 在長波長區(qū)域, 不同|Bm|峰相對較分離, 也就是說, 長波長區(qū)域更容易激發(fā)出單個回音壁模式. 而在短波長區(qū), 很窄的波長區(qū)域內(nèi)有多個|Bm|峰同時出現(xiàn), 這意味著短波長區(qū)域往往有多個回音壁模式混合出現(xiàn). 雖然起主要作用的是該波長范圍內(nèi)的最強峰, 但此時腔內(nèi)的模式較復(fù)雜. 長波長下的電磁模式對構(gòu)造小尺寸的電磁元件非常重要, 而且可以清晰地展示出每個模式的特性, 因此本文主要研究長波長下幾種重要的回音壁模式. 由于這些|Bm|峰很尖銳,相應(yīng)地, 回音壁模式對波長的變化較為敏感. 物理上, 這種敏感與模式激發(fā)的條件相關(guān), 由于腔內(nèi)部的周長與波長滿足特定條件才能形成駐波模式, 因此回音壁模式的激發(fā)只能在較小的波長范圍內(nèi)實現(xiàn).

圖3 半徑r = 60 mm, 開口大小為 θ=14°的亥姆霍茲腔, 在入射角 θi=0° 時,前5個Mie散射系數(shù)的絕對量 |Bm| 與入射波長的關(guān)系Fig. 3 The absolute value of the first five Mie scattering coefficients,|Bm|, as a function of wavelength for a Helmholtz cavity with r = 60 mm and θ=14°, the angle of incidence isθi=0°

2.2 回音壁模式與腔體開口大小的關(guān)系

在得到特定回音壁模式對應(yīng)的入射波長后, 接下來我們以偶極和六極回音壁模式為例, 研究開口大小對回音壁模式的影響. 由圖3中入射波長與|Bm|值的關(guān)系圖, 可以確定半徑為60 mm, 開口角寬度為14°時, 這兩種回音壁模式對應(yīng)的激發(fā)波長. 在這兩個波長附近, 我們計算了開口角寬度在6°到16°之間的亥姆霍茲腔中, 偶極和六極回音壁模式所對應(yīng)的|Bm|值隨波長的變化關(guān)系, 計算結(jié)果如圖4a)和圖4b)所示. 圖4a)、圖4b)中顯示, 對于兩種回音壁模式,|Bm|峰值高度隨開口角寬度變化,峰值越高意味著激發(fā)的回音壁模式質(zhì)量越高, 對應(yīng)品質(zhì)因子(Q值)越大, 因此不同開口大小的腔內(nèi)回音壁模式的質(zhì)量有差別. 從圖中可以看到, 偶極和六極回音壁模式對應(yīng)的最佳開口度分別為8°和10°. 圖4c)和圖4d)分別展示了這兩種模式的Q值隨開口角寬度變化的關(guān)系: 與圖4a)和圖4b)中Mie散射系數(shù)的變化一致,Q值也在開口角寬度分別為8°和10°時達到最大, 分別為542和593; 當腔體的開口大小偏離最佳值時,Q值很快變小, 即回音壁模式的質(zhì)量下降明顯. 物理上可以通過回音壁模式的原理來理解角寬度的影響: 開口過小可能造成入射波無法進入腔體, 自然無法形成強回音壁模式; 而開口過大時, 開口處缺少的腔壁會導(dǎo)致電磁波在腔體內(nèi)無法完成嚴格的相位疊加, 從而也無法產(chǎn)生高質(zhì)量的回音壁模式. 結(jié)果腔的開口大小對回音壁模式的激發(fā)有很大影響, 而且存在開口角寬度的最佳值, 太大或太小的角寬度都會影響模式的品質(zhì)因子.

圖4 半徑 r=60 mm, 開口角寬度不同的亥姆霍茲腔, 在入射角 θi=0°時, a) Mie散射系數(shù)的絕對值 |B1| 和b) |B3| 隨波長的變化; c) 偶極回音壁模式和d) 六極回音壁模式的Q值隨腔的開口角寬度的變化Fig. 4 The absolute value of the Mie scattering coefficients a) and b) versus incident wavelength for Helmholtz cavities with the same radius r = 60 mm but differ ent angular widths of the opening; The quality factor, Q, of the dipole WGM c) and the hexapole WGM d) versus incident wavelength for Helmholtz cavities with the same radius r = 60 mm but different angular widths of the opening. The angle of incidence is θi=0°

由圖4a)和圖4c)可知, 開口角寬度為θ=8?的亥姆霍茲腔, 利用λ=53.8 mm 的入射波可以激發(fā)得到最強偶極回音壁模式. 為了直觀地對比開口大小對模式質(zhì)量的影響, 在這一入射波長下, 圖5a)和5c)分別計算并給出了腔體開口角寬度為20°和8°時, 散射電場的分布圖. 圖5e)中也計算了θ=8?時, 磁場矢量在截面內(nèi)的分布情況. 開口角寬度θ=10?的亥姆霍茲腔,λ=59.2 mm 的入射波可以激發(fā)得到最強六極回音壁模式. 類似地, 圖5b)和5d)分別計算并給出了開口角寬度為20°和10°時, 散射電場的分布圖. 圖5e)是θ=10?時相應(yīng)的磁場矢量分布情況. 所有圖的計算中, 入射方向為θi=0?. 從圖5a)和圖5c)、圖5b)和圖5d)中數(shù)值上的比較可以明顯看出, 不同開口角寬度下偶極(六極)回音壁模式的質(zhì)量有很大差異, 最強的模式被激發(fā)時, 柱內(nèi)場最大值達8.0, 而θ=20?時僅有1.5. 腔體的開口變大后, 回音壁模式的激發(fā)效果明顯減弱, 這與圖4中的|Bm|峰值和Q值的變化完全一致. 圖5e)和圖5f)中磁場的矢量分布圖, 非常直觀地體現(xiàn)了腔中激發(fā)回音壁模式時, 反射波相位匹配疊加, 相干相長的情形.

圖5 半徑 r=60 mm, 開口角寬度 θ=20° 的亥姆霍茲腔, 在波長a) λ=53.8 mm 和b) λ=59.2 mm 的波的入射下的電場分布圖; c)、e)分別為半徑 r=60 mm, 開口角寬度 θ=8°的亥姆霍茲腔, 在入射波長 λ=53.8 mm 的波的入射下的電場分布圖和磁場矢量分布圖; d)和f )分別為半徑 r=60 mm, 開口角寬度 θ=10° 的亥姆霍茲腔, 在入射波長 λ=59.2mm的波的入射下的電場分布圖和磁場矢量分布圖. 入射角均為θi=0°Fig. 5 The E field distribution when an EM wave with a) λ=53.8 mm and b) λ=59.2 mm strikes a Helmholtz cavity with radius r = 60 mm and angle width of the opening θ=20° ; c) The E field distribution and e) the magnetic field vector distribution when an EM wave with λ=53.8 mm strikes a Helmholtz cavity with radius r = 60 mm and angle width of the opening θ=8° ; d) The E field distribution f) and the magnetic field vector distribution when an EM wave with λ=59.2 mm strikes a Helmholtz cavity with radius r = 60 mm and angle width of the opening θ=10°. The angle of incidence isθi=0°

2.3 回音壁模式與入射方向的關(guān)系

接下來我們改變?nèi)肷浣铅萯, 研究入射波方向?qū)匾舯谀Ｊ郊ぐl(fā)的影響. 為了方便比較和深入探討,我們?nèi)匀贿x擇偶極和六極兩種回音壁模式進行研究. 選取圖5給出的入射波長與腔體開口大小的最優(yōu)值, 然后只改變?nèi)肷浣铅萯, 分別計算這兩種回音壁模式在入射角為0°到90°的范圍內(nèi)|Bm|值的大小,結(jié)果如圖6a)和圖6b)所示. 從圖6a)和圖6b)中|Bm|峰值的變化可以看出, 當入射角度在0°到30°之間變化時,|Bm|峰值全部處于比較高的狀態(tài). 這意味著在這個入射角范圍內(nèi), 腔內(nèi)始終可以激發(fā)起高強度的回音壁模式. 我們計算了入射角為15°和25°時, 亥姆霍茲腔中六極回音壁模式的散射電場分布圖, 分別如圖6c)、圖6d)所示. 對比圖6c)和圖6d)可以看出, 只改變?nèi)肷浞较? 腔中電磁模式的相位分布是一致的, 回音壁模式的強度也幾乎沒有發(fā)生改變, 這與圖6b)中|Bm|峰值所反應(yīng)的模式強弱一致. 因此, 我們認為當入射角在0°到30°之間變化時, 腔內(nèi)總是可以激發(fā)起高強度的回音壁模式. 但隨著入射角度θi的繼續(xù)增加,|Bm|峰值的高度開始明顯下降, 這意味著入射角度大于30°時, 所激發(fā)的回音壁模式在強度上將顯著降低. 因此, 與對開口角寬度的變化非常敏感相比, 入射角有一個較寬的變化范圍, 在這一范圍內(nèi)腔中都可以激發(fā)出高強度的回音壁模式.

圖6 a)半徑 r=60 mm, 開口角寬度 θ=8°的亥姆霍茲腔, 在不同入射角下, Mie散射系數(shù)的絕對量 |B1| 隨波長的變化關(guān)系; b)半徑 r=60 mm, 開口角寬度 θ=10° 的亥姆霍茲腔, 在不同入射角下, Mie散射系數(shù)的絕對量|B3|隨波長的變化關(guān)系; 半徑 r=60 mm, 開口角寬度 θ=10° 的亥姆霍茲腔, 在入射波長 λ=59.2 mm 、入射角分別為c) 15°和d) 25°時, 電場的分布圖Fig. 6 a) The absolute value of the Mie scattering coefficients,|B1|, versus incident wavelength for Helmholtz cavities with radius r = 60 mm and angular width of the opening θ=8° at different incident angle; b) The absolute value of the Mie scattering coefficients,|B3|, versus incident wavelength for Helmholtz cavities with radius r =60 mm and angular width of the opening θ=10° at different incident angle; The E field distribution when an EM wave with λ=59.2 mm strikes a Helmholtz cavity with radius r = 60 mm and angle width of theopening θ=10° at an angle of incidence c) θi=15° and d)θi=25°

2.4 仿真結(jié)果

在上面的模擬中, 我們假設(shè)亥姆霍茲腔的PEC壁是無限薄的. 但是, 在實際設(shè)計中必須考慮PEC壁的厚度. 我們使用Lumerical FDTD模擬了壁厚為0.2 mm的亥姆霍茲腔中的回音壁模式, 腔的其他參量與圖5中相同, 結(jié)果如圖7a)、圖7b)所示. 模擬結(jié)果表明在實際的有壁厚的亥姆霍茲腔中,同樣的回音壁模式仍然可以被激發(fā)起來. 因此這一理論研究所展示的各種回音壁模式在實際結(jié)構(gòu)中都真實存在.

圖7 a) 半徑 r=60 mm, 壁厚 t=0.2 mm, 開口角寬度 θ=8°的亥姆霍茲腔, 在入射波長 λ=53.8 mm 時的電場分布圖; b) 開口角寬度變?yōu)?θ=10°, 在入射波長 λ=59.2 mm 時的電場分布圖. 入射角均為θi=0°Fig. 7 a) The E field distribution for the Helmholtz cavity with radius r = 60 mm, wall thickness t=0.2 mm and angular width of the opening θ=8° at λ=53.8 mm ; b) The E field distribution for the Helmholtz cavity with radius r = 60 mm, wall thickness t=0.2 mm and angular width of the opening θ=10° at λ=59.2 mm.The angle of incidence isθi=0°

以上是在橫磁極化波, 即電場沿腔軸方向極化時, 腔內(nèi)模式的激發(fā)情況. 下面我們計算了橫電極化波, 即電場沿腔軸方向極化時, 腔內(nèi)偶極和六極模式的激發(fā)情況, 如圖8a)和圖8b)所示. 由于電與磁的對稱性, 橫電極化下也可以激發(fā)起各種回音壁模式, 且所激發(fā)模式的質(zhì)量和波長、開口大小的關(guān)系與橫磁情況基本類似, 我們不做進一步的深入分析.

圖8 當入射波為橫電極化波時, 半徑 r=60 mm: a) 開口角寬度 θ=8°的亥姆霍茲腔, 在入射波長λ=53.5 mm時的磁場分布圖; b) 開口角寬度變?yōu)?θ=10°, 在入射波長 λ=58.8 mm 時的磁場分布圖. 入射角均為θi=0°Fig. 8 The H field distribution for the Helmholtz cavity with radius r = 60 mm and angular width of the opening θ=8°for the transverse-magnetic polarized wave with λ=53.5 mm ; b) The H field distribution for the Helmholtz cavity with radius r = 60 mm and angular width of the opening θ=10° at λ=58.8 mm.The angle of incidence isθi=0°

3 結(jié) 論

本文研究了完美電導(dǎo)體(PEC)圍成的二維電磁亥姆霍茲腔中, 回音壁模式與入射波長、腔的幾何結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系. 基于嚴格的雙級數(shù)方法計算出腔的Mie散射系數(shù)|Bm|, 在其峰值附近激發(fā)各種回音壁模式, 并通過|Bm|峰值或品質(zhì)因子的變化, 得到了固定大小的亥姆霍茲腔中, 激發(fā)高質(zhì)量回音壁模式所需的波長與開口角寬度. 同時分析發(fā)現(xiàn), 回音壁模式對入射波長和腔體開口大小的改變非常敏感,但對入射角沒有嚴格的限制, 入射角在一個較寬范圍內(nèi)變化, 腔中都可以激發(fā)高質(zhì)量的回音壁模式,這是亥姆霍茲腔在人工電磁材料應(yīng)用中的一個重要優(yōu)勢.