張浩，臧朝平

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

矩函數(shù)數(shù)據(jù)去噪是最常用的形狀特征提取方法，最初矩函數(shù)主要應(yīng)用在圖像識(shí)別領(lǐng)域。隨著研究的深入，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域矩函數(shù)也得到了廣泛的應(yīng)用。圖像處理中最常用的矩函數(shù)為TEAGUE M R[1]提出的Zernike矩和Legengre矩兩個(gè)具有正交性的二維矩函數(shù)，可以解決幾何矩造成信息冗余的問(wèn)題。但由于上述矩函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，因此在計(jì)算時(shí)使用離散求和的方式，這樣不可避免地帶來(lái)很大的計(jì)算誤差。隨后MUKUNDAN R[2]提出了一個(gè)離散的矩函數(shù)，即Tchebichef矩函數(shù)。Tchebichef矩要優(yōu)于Zernike矩與Legendre矩。因?yàn)門chebichef矩是離散的正交矩，不僅能夠避免數(shù)據(jù)的冗余，還能消除連續(xù)積分離散化帶來(lái)的誤差。

基于矩函數(shù)能夠壓縮振型數(shù)據(jù)并反映結(jié)構(gòu)的振動(dòng)信息，王耀明[3]最早將Tchebichef矩函數(shù)引用在動(dòng)力學(xué)模型確認(rèn)中，并完成了對(duì)二維矩形、圓形結(jié)構(gòu)的振型描述。但是二維矩函數(shù)在處理三維結(jié)構(gòu)時(shí)只能使用投影等降維的方式，這樣不僅操作復(fù)雜，還會(huì)造成幾何信息的缺失。為了解決這個(gè)問(wèn)題，曾亞未等[4]構(gòu)建了三維的徑軸向Tchebichef矩函數(shù)(RAT矩)。但是由于RAT矩函數(shù)是定義在柱坐標(biāo)下的矩函數(shù)，其只能夠描述三維圓柱結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。

在工程中大多數(shù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件為變截面的曲面結(jié)構(gòu),馬健等[5]采用徑向坐標(biāo)r的多項(xiàng)式去擬合軸向坐標(biāo)z的方法，從而實(shí)現(xiàn)描述簡(jiǎn)單的三維曲面機(jī)匣的模態(tài)振型，但該方法不具有通用性。本文作者采用積分的思想，將曲面機(jī)匣當(dāng)作由若干圓柱機(jī)匣積累而成，并將振型數(shù)據(jù)插值到一個(gè)圈數(shù)×點(diǎn)數(shù)×層數(shù)的像素空間內(nèi)。這樣就可以使用RAT矩函數(shù)直接描述三維曲面結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型[6]。

在工程實(shí)際中，如何保證測(cè)試數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性一直都是需要研究的問(wèn)題。在測(cè)試過(guò)程中會(huì)有很多因素影響測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確性，最常見(jiàn)的是試驗(yàn)過(guò)程中噪聲的影響。若測(cè)試過(guò)程中存在很大的噪聲，會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性降低?；赗AT矩函數(shù)對(duì)曲面結(jié)構(gòu)的振型描述能力，進(jìn)一步研究了RAT矩函數(shù)在去噪中的應(yīng)用。采用正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲模擬實(shí)際噪聲影響，分析了不同噪聲強(qiáng)度下RAT矩函數(shù)的去噪能力，對(duì)將矩函數(shù)應(yīng)用到工程試驗(yàn)的去噪過(guò)程有重要意義。

1 RAT矩函數(shù)的模態(tài)振型描述方法

1.1 矩變換

在描述三維結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型時(shí)，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移看作每個(gè)像素點(diǎn)的灰度值，將振型數(shù)據(jù)表示為I(x,y,z)，每一個(gè)點(diǎn)(x,y,z)對(duì)應(yīng)一個(gè)位移值I(x,y,z)。從而利用三維矩函數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)振型數(shù)據(jù)的矩變換，矩變換可表示為

?=Γ[I(x,y,z)]

(1)

式中：I(x,y,z)代表模態(tài)振型函數(shù)；Γ[*]表示對(duì)振型數(shù)據(jù)進(jìn)行矩變換的過(guò)程，該過(guò)程可具體表示為

(2)

其中：?(x,y,z)表示三維矩函數(shù)，如本文使用的Radial Axial Tchebichef矩函數(shù)；Ω為矩函數(shù)自變量的取值范圍。

1.2 RAT矩函數(shù)的振型描述

RAT矩函數(shù)的表達(dá)式見(jiàn)如下：

(3)

其中：p=0，1，…，(N/2-1) 表示徑向的階數(shù)；q=0,1,…，m-1 表示重?cái)?shù)；l代表的是軸向的階數(shù),l=0,1,…,(N/2-1)；r、k、z分別是徑向坐標(biāo)、周向坐標(biāo)和軸向坐標(biāo)；tl,h(z)和tp,m(r)分別表示軸向與徑向的Tchebichef多項(xiàng)式，表達(dá)如下：

(4)

(5)

對(duì)結(jié)構(gòu)的振型圖像進(jìn)行矩變換，從而提取出特征矩集，該過(guò)程能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)龐大振型數(shù)據(jù)的壓縮處理，特征矩集的表達(dá)式見(jiàn)式(6)。

(6)

1.3 基于特征矩集的振型重構(gòu)

通過(guò)從振型數(shù)據(jù)中提取出的特征矩集能夠重構(gòu)振型圖像，重構(gòu)公式如下：

(7)

引入一個(gè)總體相似度系數(shù)(GSC)的概念去評(píng)價(jià)重構(gòu)振型與參考振型的相似程度，GSC的表達(dá)如下：

(8)

式中：Ω代表振型數(shù)據(jù)的定義域范圍；I′和I分別為重構(gòu)的振型與原始的振型，另外：

(9)

GSC的定義如下：

(10)

GSC(i)代表RAT矩的階次為i時(shí)的每一階模態(tài)重構(gòu)振型與原始振型的總體相似度系數(shù)；Smean,i與Svar,i分別為為每一階模態(tài)的重構(gòu)振型圖像與原始振型圖像相似度的均值與方差。GSC的取值在0～1之間，數(shù)值越大則代表重構(gòu)精度越高。

2 RAT矩函數(shù)對(duì)仿真模型的振型描述與去噪分析

為了驗(yàn)證RAT矩函數(shù)對(duì)三維曲面機(jī)匣的模態(tài)振型描述能力與抗噪性，以一個(gè)三維曲面結(jié)構(gòu)的有限元模型為例，材料采用GH4169高溫合金，結(jié)構(gòu)的彈性模量E為204GPa，密度為8240kg/m3，泊松比為0.3。在ANSA中使用二階四面體單元對(duì)機(jī)匣劃分網(wǎng)格，共有26195個(gè)節(jié)點(diǎn)，12851個(gè)單元。使用Nastran求解器對(duì)該模型進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，計(jì)算自由-自由狀態(tài)下的前10階模態(tài)。

2.1 RAT矩函數(shù)對(duì)的振型描述能力

圖1 曲面機(jī)匣有限元模型

建立的有限元模型見(jiàn)圖1。將振型數(shù)據(jù)插值到一個(gè)圈數(shù)×點(diǎn)數(shù)×層數(shù)的三維像素空間內(nèi)，構(gòu)建其模態(tài)振型圖。構(gòu)建的前8階模態(tài)振型圖見(jiàn)圖2。利用RAT矩函數(shù)對(duì)該有限元模型的振型數(shù)據(jù)進(jìn)行矩變換，得到每一階模態(tài)的特征矩集，每一階的特征矩集見(jiàn)圖3。利用提取出的RAT特征矩集可以對(duì)振型圖像進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)振型圖見(jiàn)圖4。

觀察原始振型圖與利用RAT矩函數(shù)重構(gòu)的振型圖，可以看到重構(gòu)振型圖的精度非常高，與原始振型圖基本一致，證明了RAT矩函數(shù)對(duì)三維曲面結(jié)構(gòu)模態(tài)振型圖的描述能力。

圖2 有限元模型的前8階模態(tài)振型

圖3 每一階的特征矩集幅值

圖4 前8階模態(tài)重構(gòu)振型圖

2.2 RAT矩函數(shù)的去噪分析

在有限元模型的振型數(shù)據(jù)中加入正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲，以達(dá)到一個(gè)模擬實(shí)際情況下噪聲的效果。在此引入一個(gè)系數(shù)NIF(noise intensity factor)，表示正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲的強(qiáng)度，NIF值為0.5代表強(qiáng)度為50%的隨機(jī)噪聲。再通過(guò)前文介紹的總體相似系數(shù)GSC來(lái)表示基于RAT矩去噪后的振型圖像與原始振型圖像的相似度，從而評(píng)價(jià)RAT矩函數(shù)的抗噪效果。在NIF值從0.1～1的情況下，分別計(jì)算出每一階模態(tài)下加噪聲的振型圖像與原始振型圖像的GSC均值與基于RAT矩去噪后振型圖像與原始振型圖像的GSC均值，將兩條GSC隨NIF值變化曲線繪制在同一張圖中，見(jiàn)圖5。

圖5 不同噪聲強(qiáng)度下去噪前后的GSC值

從圖中可見(jiàn)，隨著加入的噪聲強(qiáng)度越來(lái)越大，帶噪聲的振型圖像與原始圖像的差別越來(lái)越大(GSC值越來(lái)越小)，當(dāng)NIF為1也就是加入100%強(qiáng)度噪聲時(shí)，帶噪聲的振型圖像與原始圖像的GSC降低到了0.87。而基于RAT矩去噪后的振型圖像與原始圖像的相似度雖然也隨著NIF值的增大而減小，但是減小的速率非常小，能保持一個(gè)穩(wěn)定性。即使噪聲強(qiáng)度NIF為1的情況，去噪后振型圖像的相似度GSC也在0.97以上，可以證明RAT矩函數(shù)能很好地應(yīng)用在去噪過(guò)程中。

再將NIF為1情況下每一階模態(tài)下帶噪聲與去噪聲振型圖像與原始圖像的GSC值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比圖見(jiàn)圖6。

圖6 NIF為1時(shí)各階模態(tài)去噪前后振型圖的GSC

可以看到，當(dāng)噪聲強(qiáng)度為100%時(shí)，使用RAT矩去噪后振型圖像的相似度始終保持在0.95以上，這也在此驗(yàn)證了RAT矩函數(shù)的去噪能力，即使在噪聲比較大的情況下，依舊能保證去噪后振型圖與原始振型圖有很高的相似度。

最后以第8階模態(tài)的振型圖像為例，在NIF值為0.2、0.5、1的情況下，列出第8階模態(tài)的原始振型圖、加噪振型圖與去噪后的振型圖對(duì)比。NIF為0.2、0.5和1時(shí)振型圖像對(duì)比見(jiàn)圖7。

由圖7可以看到, 噪聲強(qiáng)度系數(shù)NIF值為0.2時(shí)去噪后的振型圖和原始振型圖無(wú)太大差別，去噪效果十分顯著，NIF值為0.5時(shí)去噪后振型圖與原始圖像的相似度相比于NIF為0.2的情況要低一些，但通過(guò)振型圖像對(duì)比可以看到去噪效果依舊很好。當(dāng)NIF值為1時(shí)，可以看到去噪后的振型圖像與原始振型圖像的相似度有所降低，但是仍具有良好的去噪效果。

圖7 不同噪聲強(qiáng)度下第8階模態(tài)去噪效果圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了RAT矩函數(shù)對(duì)三維曲面結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型描述能力,并且進(jìn)一步研究了RAT矩函數(shù)的去噪效果,得到以下結(jié)論：

1) 證明了使用RAT矩函數(shù)能夠精確地描述三維曲面結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型,對(duì)進(jìn)一步將RAT矩用于三維曲面結(jié)構(gòu)的模型修正有重要的意義。

2) 驗(yàn)證了RAT矩函數(shù)的去噪能力,結(jié)果顯示在各個(gè)噪聲強(qiáng)度下利用RAT矩函數(shù)重構(gòu)模態(tài)振型的去噪效果都十分明顯,若將其應(yīng)用在工程中能有效地解決試驗(yàn)過(guò)程中噪聲影響的問(wèn)題,具有一定的工程意義。