李泓竹

(吉林師范大學(xué) 研究生院,吉林 長(zhǎng)春 130000)

1957年,Posner[1]給出了一些交換環(huán)的一些定理證明，這個(gè)定理給了后人研究環(huán)上性質(zhì)新的方向.1989年，Bell和Kappe[2]證明出如果d為R上的導(dǎo)子，在R的非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0.2006年，Oukhtite和Salhi[3]提出σ-素環(huán)的一般性質(zhì)，2008年，Asma Ali和Deepak Kumar給出了2-扭自由素環(huán)上廣義(θ，θ)-導(dǎo)子的性質(zhì).本文主要是推廣了Oukhtite[4]的相關(guān)結(jié)果到右(θ，θ)-導(dǎo)子上.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R是環(huán)，若aRb=0，有a=0或b=0，則稱R為素環(huán).設(shè)R是一個(gè)帶對(duì)合σ的環(huán)，若aRb=aRσ(b)=0，有a=0或者b=0，并且2x=0，?x∈R，都有x=0，則稱R為2-扭自由σ-素環(huán).設(shè)R是結(jié)合環(huán)，d是R上的可加映射，如果對(duì)于?x，y∈R，都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，那么就稱d是R上的導(dǎo)子.設(shè)環(huán)R，θ是R上自同態(tài)，d是R→R上的可加映射，若滿足d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x)，?x，y∈R，則稱d是R上的左(θ，θ)-導(dǎo)子.根據(jù)左(θ，θ)-導(dǎo)子的定義，定義出右(θ，θ)-導(dǎo)子，即在相同條件下，滿足d(xy)=d(x)θ(y)+d(y)θ(x)，?x，y∈R.設(shè)環(huán)R，J是R的可加子群，?u∈J,r∈R，有u°r∈J，則稱J是R的Jordan理想.若R是σ-素環(huán)，J是R的Jordan理想，若滿足σ(J)?J,則稱J是R的σ-Jordan理想.在R上任意x,y，定義Jordan乘：x°y=xy+yx.

2 主要結(jié)果

引理1設(shè)R是2-扭自由σ-素環(huán)，J是R的非零σ-Jordan理想，d是R上的導(dǎo)子，如果d(J)=0，那么d=0或J∈Z(R).

定理設(shè)R是2-扭自由σ-素環(huán)，J是R上的非零σ-Jordan理想，θ是R上可與σ交換的一個(gè)自同構(gòu)，d是R上的右(θ，θ)-導(dǎo)子，如果d(J)=0，那么d=0.

證明：?j∈J,r∈R，因?yàn)閖°r∈J，d(J)=0，

所以

由d(J)=0，故2d(r)θ(j)=0，又由于R是2-扭自由σ-素環(huán)，所以

d(r)θ(j)=0

(1)

在(1)中，用j°s替換j，得

d(r)θ(j°s)=0?d(r)θ(j)θ(s)+d(r)θ(s)θ(j)=0?d(r)θ(s)θ(j)=0

又可表示為d(r)Rθ(j)=0

(2)

由J是R的非零Jordan理想，有J∈σ(J)，結(jié)合(2)，有d(r)Rθ(σ(j))=0，所以d(r)Rσ(θ(j))=0=d(r)Rθ(j)

故有d(r)=0或θ(j)=0，所以d=0或J=0.因?yàn)镴是非零的，矛盾.

因此，得出結(jié)論，d=0

3 結(jié) 語(yǔ)

本文主要研究了2-扭自由σ-素環(huán)上σ-Jordan理想上的右(θ，θ)-導(dǎo)子的性質(zhì)，把Oukhtite的相關(guān)結(jié)果推廣到了右(θ，θ)-導(dǎo)子上.希望對(duì)以后研究右(θ，θ)-導(dǎo)子上關(guān)于同態(tài)和反同態(tài)的性質(zhì)有幫助.