趙慧娟，李俊林，謝秀峰，董安強

(太原科技大學 應(yīng)用科學學院，太原 030024)

壓電材料具有機電耦合性，即力載荷可以引起材料變形，進而引起電場的改變，同時電場也會引起變形使應(yīng)力和裂紋尖端撕開位移發(fā)生改變，這樣的特性使其在現(xiàn)代工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。在現(xiàn)代工程應(yīng)用中最典型的就是雙壓電材料復合的壓電元件。雙壓電材料存在連接界面，界面處的工藝缺陷在外加機電載荷的作用下會形成界面裂紋，這在很大程度上影響壓電元件的正常工作的可靠性。目前，雙壓電材料的研究主要集中在橫觀各項同性壓電雙材料界面裂紋或單側(cè)裂紋尖端場的各類強度因子，對正交各向異性壓電雙材料的界面端裂紋應(yīng)力分析相對較少。因此，研究正交異性壓電雙材料界面端裂紋是有意義的。2011年，趙靜和李俊林教授[1]分析了在任意角度的邊界條件作用下的各向同性與正交異性雙材料反平面平板搭接界面端裂紋應(yīng)力，運用復合材料斷裂復變方法解析了廣義重調(diào)和方程組的邊值問題從而得到了裂紋界面端的位移場、應(yīng)力場、應(yīng)力強度因子的理論解析解。同時，趙文婷和李俊林教授[2]分別研究了在一種各向同性和一種正交異性雙材料、正交異性雙材料界面端裂紋分析中數(shù)值分析了邊界條件中的任意角度的不同和材料參數(shù)的不同對應(yīng)力場的影響，分析得到不同材料的界面端裂紋應(yīng)力顯表現(xiàn)出各不相同的規(guī)律，運用這些規(guī)律在分析雙材料界面端裂紋分析和現(xiàn)代工程上合理選擇材料上有一定的理論指導意義。2016年，M.Gherrous和H.Ferdjani[3]分析了反平面機械載荷和平面內(nèi)電載荷作用下的半無限大雙壓電雙材料反平面界面三階Griffith裂紋問題，利用傅立葉變換法，將壓電方程轉(zhuǎn)化為奇異積分方程組，并用切比雪夫多項式進行數(shù)值求解，得到應(yīng)力強度因子和電位移強度因子，并分析了材料參數(shù)對裂紋的影響。2016年，韓貴花和張雪霞[4]研究了橫觀各向同性雙壓電板Ⅲ型界面裂紋問題。本文在反平面無窮遠處機械載荷和平面內(nèi)電載荷共同作用下，利用復合函數(shù)法和待定系數(shù)法，研究了正交各向異性壓電雙材料反平面界面端裂紋，得到應(yīng)力強度因子、電位移強度因子，并數(shù)值算例分析應(yīng)力強度因子和電位移強度因子的影響因素。

1 問題的描述與求解

正交異性壓電雙材料板反平面界面界面端裂紋如圖1，xoy平面為正交異性界面，受到無窮遠處機械載荷σ0和面內(nèi)電載荷D0作用。

圖1 正交異性壓電雙材料板Fig.1 Orthotropic piezoelectric double plate

正交異性雙材料反平面問題，其本構(gòu)方程為:

(1)

在不考慮體力和自由電荷的情況下，靜態(tài)平衡方程和電靜態(tài)下的 Maxwell方程如下：

(2)

將本構(gòu)方程(1)代入靜態(tài)Maxwell方程(2)，有：

(3)

對反平面界面裂紋應(yīng)力分析時，有：

(4)

特征方程組有兩對共軛虛根，均取虛部大于零的根。

則特征方程組的根為：

正交異性雙材料的邊界條件如下：

邊界條件:

(5)

連續(xù)條件：

(6)

不可導通邊界條件:

(7)

根據(jù)復變函數(shù)理論，可知(4)式的位移、電勢函數(shù)有如下實值解析解，選取特殊應(yīng)力函數(shù)、電勢函數(shù)[5]：

(8)

(9)

式中：r，θ為從裂紋邊緣起度量的極坐標。

將式(8)代入式(1)中，得到：

(10)

將式(9)代入式(10)，得：

(11)

cosθ=-1，sinθ=0.

(12)

將式(12)代入式(11)中，整理得：

解得

cosθ=-1，sinθ=0.

(13)

將式(13)代入式(11)中，整理得：

解得：

此時：

cosθ=1，sinθ=0.

(14)

將式(14)代入式(8)中，整理得：

(15)

將式(15)代入式(6)中，整理得：

定義應(yīng)力強度因子和電位移強度因子[5]為：

(16)

將(11)代入式(16)，整理得：

2 數(shù)值算例分析

以正交各向異性壓電材料KNBO3、KTP、PMN-PT、KTA為例，利用應(yīng)力強度因子和電位移強度因子表達式，數(shù)值分析極半徑對應(yīng)力強度因子和電位移強度因子的影響。 材料常數(shù)列于表1，其中ε0=8.854×10-12.

表1 各材料相關(guān)參數(shù)

由圖2可知，Kσ隨著r的增大而增加。同樣條件下，在四種材料中，應(yīng)力強度因子大小從小到大排列為：PMN-PT、KNBO3、KTA、KTP，即材料性能上PMN-PT最有利于抑制裂紋擴展，KTP最不利于抑制裂紋擴展。

圖2 Kσ與r的關(guān)系Fig.2 Relationship of Kσ and r

由圖3可知，KD隨著r的增大而增加，同樣條件下，在四種材料中，電位移強度因子從小到大排列依次為：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT.從圖3可以了解到增長速度從慢到快排列依次為：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT，其中KTP、KTA增長速度比較小，KD隨著r的增大而增加的比較微小，KNBO3、

PMN-PT增長速度比較大，增長比較明顯。即材料性能上KTP最有利于抑制裂紋擴展，PMN-PT最不利于抑制裂紋擴展。

圖3 KD與r的關(guān)系Fig.3 Relationship of KD and r

3 結(jié)論

在反平面無窮遠處機械載荷和面內(nèi)電載荷作用下，利用復合材料斷裂復變方法，結(jié)合待定系數(shù)法，研究了正交異性壓電雙材料反平面界面端應(yīng)力，得到應(yīng)力強度因子、電位移強度因子理論解，數(shù)值算例分析了r對應(yīng)力強度因子和電位移強度因子的影響。結(jié)果表明:

(1)應(yīng)力強度因子和電位移強度因子隨著r的增大而增加。

(2)同樣條件下，在四種材料中，應(yīng)力強度因子大小從小到大排列為:PMN-PT、KNBO3、KTA、KTP，即材料性能上PMN-PT最有利于抑制裂紋擴展，KTP最不利于抑制裂紋擴展。

(3)同樣條件下，在四種材料中電位移強度因子從小到大排列依次為：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT.電位移強度因子增長速度從慢到快排列依次為：KTP、KTA、KNBO3、PMN-PT，其中KTP、KTA增長速度比較微小，電位移強度因子增長比較微小，KNBO3、PMN-PT增長速度比較大，電位移強度因子增長比較明顯。