李春明，劉 慶，劉 曉，孫 鳳

(1.中國石油大學(xué)(華東) 中國石油大學(xué)勝利學(xué)院，山東 東營 257061； 2.中國石油大學(xué)(華東) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580)

引 言

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)普遍應(yīng)用在各行各業(yè)的機(jī)械結(jié)構(gòu)中，比如游梁式抽油機(jī)。該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)研究是機(jī)器載荷、機(jī)械結(jié)構(gòu)、節(jié)能降耗、故障診斷、工況識別等研究的前提。游梁式抽油機(jī)的主機(jī)構(gòu)為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，其設(shè)計仍停留在試湊法階段；其運(yùn)動學(xué)的構(gòu)件(體)位置角多采用余弦定理求取，且存在歧運(yùn)動位的運(yùn)動學(xué)參數(shù)確定問題；其動力學(xué)隨之難以實(shí)現(xiàn)程序化，且只有繞定點(diǎn)和質(zhì)心轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程可用，采用定性累加方法計算構(gòu)體受力[1]。在游梁式抽油機(jī)動力學(xué)系統(tǒng)而完整的研究當(dāng)中，主要存在以下問題：

(1)運(yùn)動學(xué)參數(shù)及固定構(gòu)體安裝位置缺少有針對性的計算式。該曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計要求主要有最大壓力角、運(yùn)動范圍、極位夾角等，在試湊法確定和優(yōu)化設(shè)計當(dāng)中尚有待于明確設(shè)計思路。

(2)余弦定理所求角度指三角形內(nèi)角，與構(gòu)體位置角的轉(zhuǎn)換往往較難處理；定性累加計算受力難免存在誤差。

(3)由于尚無公認(rèn)的繞動點(diǎn)轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程，動力學(xué)問題的圖解法只能將連桿簡化為二力體，并且在求力矩時須忽略慣性力[2]。

(4)有些機(jī)械所受載荷的方向不隨從動件(體)運(yùn)動速度的改變而改變。該特點(diǎn)使主動件(體)在連續(xù)轉(zhuǎn)動時所需驅(qū)動力或力矩存在大正大負(fù)的峰值，因而存在載荷波動的調(diào)節(jié)問題。該調(diào)節(jié)裝置被定義為平衡塊，誤導(dǎo)研究者以質(zhì)量平衡的方式解決該問題。盡管相關(guān)研究的文獻(xiàn)構(gòu)思縝密、分析到位、驗(yàn)證徹底，卻效果不佳。

本文基于機(jī)械原理的機(jī)構(gòu)學(xué)理論進(jìn)行曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計。在前期歧運(yùn)動位(卡位、死點(diǎn))的運(yùn)動學(xué)參數(shù)研究，以及曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的位置角多元三角函數(shù)方程求解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)程序化研究。在前期推導(dǎo)剛體繞動點(diǎn)轉(zhuǎn)動力矩平衡方程的基礎(chǔ)上，采用圖解法驗(yàn)證解析法的計算結(jié)果。根據(jù)速度波動的調(diào)節(jié)原理，分析上述調(diào)節(jié)裝置的本質(zhì)及設(shè)計特點(diǎn)。

1 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計

該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計主要確定各體的長度及搖桿固定支點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)計要求一般有：懸點(diǎn)行程S、極位夾角和行程速比系數(shù)滿足要求；最大壓力角不超過給定值；游梁在水平位置上、下擺動，即正、負(fù)擺角相差不可太大，如1 rad左右；游梁須架在高處。

圖1 游梁式抽油機(jī)的主機(jī)構(gòu)Fig.1 Main mechanism of beam pumping unit

根據(jù)幾何關(guān)系，游梁下限角θ3,min對應(yīng)于搖桿的右極限和懸點(diǎn)的下限點(diǎn)；游梁上限角θ3,max對應(yīng)于搖桿的左極限和懸點(diǎn)的上限點(diǎn)；游梁擺角范圍θ3,Scope為兩者之差；懸點(diǎn)行程S隨l5變化。上述參數(shù)分別為

(1)

(2)

(3)

(4)

θ3,Scope=θ3,max-θ3,min,

(5)

S=θ3,Scopel5。

(6)

式中：θ∠CDA,D和θ∠CAD,D對應(yīng)于懸點(diǎn)下限點(diǎn)；θ∠CDA,U和θ∠CAD,U對應(yīng)于懸點(diǎn)上限點(diǎn)。

由游梁固定支點(diǎn)坐標(biāo)表示的固定體位置角θ4、分別對應(yīng)于θ3,min和θ3,max的曲柄位置角θ1,D和θ1,U、極位夾角θ1,θ、行程速比系數(shù)k分別為

(7)

θ1,D=θ4+θ∠CAD,D,

(8)

θ1,U=θ4+θ∠CAD,U+π ，

(9)

θ1,θ=(θ∠CAD,D-θ∠CAD,U),

(10)

(11)

如果不考慮慣性力、摩擦力、有勢力等外力，則連桿為二力體，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最大壓力角αmax將出現(xiàn)在曲柄與機(jī)架重疊共線或拉直共線[3]的位置。根據(jù)余弦定理，上述兩位置的αmax計算式分別為

(12)

(13)

游梁前臂的長度l5由懸點(diǎn)行程決定。如果l5與主機(jī)構(gòu)不協(xié)調(diào)，則整體縮放主機(jī)構(gòu)各體的尺寸。

為了滿足設(shè)計要求，可根據(jù)式(1)—(13)采用試算法湊出合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)，也可轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)多維有約束優(yōu)化問題或單目標(biāo)多維有約束優(yōu)化問題求解出結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)值。

2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析

根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖(圖1)和矢量方程的幾何意義，可得二維矢量方程(N=2)

l1+l2+l3=l4。

(14)

根據(jù)方向矢量規(guī)定體的輸入端和輸出端[5]，根據(jù)牛頓第二定律及剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程建立各體的動力學(xué)方程[4]。設(shè)曲柄和搖桿的輸入端到質(zhì)心的矢量分別為l1a和l3a，從方向矢量到該矢量的角度分別為θ1P和θ3P，則曲柄和搖桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程分別為

(15)

(16)

式中：l1a和l3a分別為矢量l1a和l3a的長度；F為構(gòu)件之間的作用力，第1個下標(biāo)1和2分別指在x1和x2軸方向上的投影，第2個下標(biāo)為作用點(diǎn)；Md為作用在曲柄上的驅(qū)動力矩；JO1和JO3分別為曲柄和搖桿繞質(zhì)心O1和O3的轉(zhuǎn)動慣量。

上述建模方法與基于拉格朗日方法[7]的計算機(jī)仿真結(jié)果相同。

3 機(jī)構(gòu)參數(shù)及工作載荷

搖桿(游梁)參數(shù)：質(zhì)量m3=3 500 kg，C為輸入端，D和E為輸出端，l3=2.45 m，l3a=l3，θ3P=0.1 rad，JO3=3 600 (kg·m2)。H=3.25 m，I=4 m，根據(jù)S≈4.2 m的要求，l5設(shè)計為4.15 m，則S=4.200 215 m。

搖桿擺動范圍θ3,Scope為1.012 1 rad，即57.991°；最大壓力角αmax為0.704 90 rad，即40.388°；懸點(diǎn)下限點(diǎn)所對應(yīng)的曲柄轉(zhuǎn)角θ1,D為1.370 9 rad，即78.547°；懸點(diǎn)上限點(diǎn)所對應(yīng)的曲柄轉(zhuǎn)角θ1,U為4.279 2 rad，即245.18°；極位夾角θ1,θ為0.233 34 rad，即13.369°；行程速比系數(shù)k為0.861 7。

如果以對應(yīng)于懸點(diǎn)下限點(diǎn)(搖桿右極限位置)的曲柄位置為基準(zhǔn)，定義新的曲柄位置角θ1′，即在該基準(zhǔn)位置的θ1′為0°?？梢?，θ1′滯后于θ1的角度為θ1,D。懸點(diǎn)載荷F2,E與曲柄位置角θ1′的關(guān)系見表1。

表1 懸點(diǎn)載荷的離散值Tab.1 Discrete values of polished rod load

4 機(jī)構(gòu)動力學(xué)的圖解法研究

基于矢量方程的幾何意義，可采用圖解法求解矢量方程的N個未知量，N為矢量方程的維數(shù)。當(dāng)N=2時，可求1個矢量長度及1個矢量位置角、2個矢量長度或2個矢量位置角等3種情況。當(dāng)N=3時，可求1個矢量長度及2個矢量位置角、2個矢量長度及1個矢量位置角、3個矢量長度或3個矢量位置角等4種情況。

在尺規(guī)作圖階段，圖解法被認(rèn)為是求解精度較低的方法，且只能求解N=2的矢量方程。但是，作為定性研究方法或驗(yàn)證解析法結(jié)果的手段，一直受到重視。隨著計算機(jī)繪圖軟件的興起，圖解法的精度已經(jīng)可以與解析法的精度相媲美，完全可以作為定量驗(yàn)證的手段，且可以求解N=3的矢量方程。

在經(jīng)典圖解法[8]的基礎(chǔ)上，需進(jìn)行以下研究：

(1)如果曲柄為從動件，則在歧運(yùn)動位(死點(diǎn))會出現(xiàn)矢量多邊形不封閉的情況，須基于求解不定式的洛必達(dá)法則(L’Hopital’s rule)求解矢量方程[9]。本文不涉及該位置。

(2)由于搖桿繞D點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動，取搖桿為研究對象，將C點(diǎn)處所受與連桿之間的轉(zhuǎn)動副作用力FC分解為沿CD方向和垂直于CD方向的兩個分量Fτ,C和Fn,C。該分解方式與解析法的不同，可根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程[10]求出Fτ,C。

表2 圖解法與解析法的計算結(jié)果對比Tab.2 Comparison of calculation results using graphic method and analytical method

5 儲能塊的概念

在抽油機(jī)懸點(diǎn)的上、下沖程當(dāng)中，電動機(jī)所承受的載荷相差很大。上沖程時，電機(jī)需要作很多正功；而下沖程時，由于懸點(diǎn)仍受到向下的拉力，電動機(jī)受到反向載荷作用，處于發(fā)電機(jī)狀態(tài)，作很多負(fù)功。極大的電動機(jī)負(fù)載波動造成傳動系統(tǒng)各部件耗能多、壽命短，并且易發(fā)生安全事故。因此，需采取儲能措施盡可能減小電動機(jī)的負(fù)載波動。通常在曲柄或游梁上安裝質(zhì)量塊以抵消峰值載荷。該質(zhì)量塊通過儲存和釋放能量起到減小負(fù)載波動的作用，稱為儲能塊。

轉(zhuǎn)子平衡實(shí)質(zhì)上是質(zhì)量平衡，體現(xiàn)在離心慣性力及力矩的平衡上，通過挖補(bǔ)質(zhì)量可以達(dá)到完全的質(zhì)量平衡。目前儲能塊定義為平衡塊或平衡配重塊，容易與上述挖補(bǔ)質(zhì)量相混淆，從而迷失正確的研究方向，比如被做成在構(gòu)件上可滑動調(diào)節(jié)的裝置[12]。

儲能塊的設(shè)計參數(shù)有質(zhì)量、矢徑lGP和相位θP。與飛輪減小轉(zhuǎn)速波動相似，儲能塊只能減小動力機(jī)的負(fù)載波動而不能消除該波動。如果考慮零件材料的柔性，載荷波動的減小幅度會更大。根據(jù)原來平衡塊的研究，該負(fù)載調(diào)節(jié)的方式有機(jī)械和氣動儲能兩種。儲能塊增大了體的質(zhì)量，也增大了固定體的支承反力。

儲能塊的設(shè)計需考慮整個運(yùn)轉(zhuǎn)周期。曲柄上的儲能塊與曲柄做成一體，改變曲柄的重心位置和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，可根據(jù)外載的循環(huán)特點(diǎn)而設(shè)置，比如：求出勻速假設(shè)下儲能塊隨曲柄轉(zhuǎn)動所需的驅(qū)動力矩和原機(jī)器正常工作所需的驅(qū)動力矩，將兩者疊加后再根據(jù)載荷波動的評價指標(biāo)確定儲能塊所在的位置。也可將儲能塊的相位θP和矢徑lGP作為設(shè)計變量，將評價載荷波動的多個指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)成多目標(biāo)二維無約束優(yōu)化問題。采用線性加權(quán)組合法，可簡化為單目標(biāo)二維無約束優(yōu)化問題[13-14]。

6 解析法計算機(jī)仿真

6.1 曲柄勻速假設(shè)的結(jié)果

圖2 曲柄勻速轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)仿真結(jié)果Fig.2 Kinematics simulation result of crank rotating at uniform speed

圖3 曲柄勻速轉(zhuǎn)動的動力學(xué)仿真結(jié)果Fig.3 Dynamics simulation result of crank rotating at uniform speed

根據(jù)曲柄所需最大驅(qū)動力矩及功率的導(dǎo)出計算式[15]，可得曲柄需施加的最大功率

(17)

查手冊可選用額定功率、轉(zhuǎn)速、角速度、過載系數(shù)(最大/額定)、最大功率、轉(zhuǎn)動慣量和參考質(zhì)量等均合適的電動機(jī)。

6.2 真實(shí)運(yùn)動的動力學(xué)仿真結(jié)果

(12)

曲柄參數(shù)的仿真結(jié)果如圖4所示。連桿和搖桿參數(shù)的仿真結(jié)果如圖5所示。各運(yùn)動副受力的仿真結(jié)果如圖6所示。由于載荷較大，各轉(zhuǎn)動副受力大小保持一致。

圖4 曲柄參數(shù)的仿真結(jié)果Fig.4 Kinematics simulation result of crank

圖5 連桿和搖桿參數(shù)的仿真結(jié)果Fig.5 Kinematics simulation results of connecting rod and rocker

圖6 各運(yùn)動副受力的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of kinematic pair forces

7 結(jié) 論

(1)基于曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的特性和機(jī)器的安裝特點(diǎn)，分析得到游梁擺角、極位夾角、最大壓力角等通用計算公式，為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的程序化設(shè)計提供了依據(jù)。

(2)解析法采用牛頓第二定律和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程建立的動力學(xué)方程組，其仿真結(jié)果可信。

(3)基于前期推導(dǎo)的剛體繞動點(diǎn)轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程，可進(jìn)行精確的圖解法研究。該圖解法的補(bǔ)充步驟具有通用性。圖解法與解析法的計算結(jié)果得到相互驗(yàn)證。

(4)將原來安裝在曲柄或搖桿上用于減小負(fù)載波動的質(zhì)量塊定義為“儲能塊”，避開了與質(zhì)量平衡相混淆的研究誤區(qū)，明確了與調(diào)節(jié)機(jī)器速度波動相一致的調(diào)節(jié)負(fù)載波動研究方向。

(5)許多力學(xué)、動力學(xué)成熟理論與方法尚未在機(jī)械動力學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用。本文較完整地研究了曲柄搖桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)問題，也為有歧運(yùn)動位復(fù)雜組合機(jī)構(gòu)的動力學(xué)問題提供了研究方法。