劉艷玲 孫 波 傅 鑫

（1.長沙理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410114；2.湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425199）

大量的文獻研究了這一稅收過程。Albrecher和Hipp[4]在X 是一個Cramér-Lundberg 過程，而γ是一個常數(shù)的情況下引入這一稅收過程，并研究了破產(chǎn)概率，證明了有稅和沒有稅的破產(chǎn)概率之間一個非常簡單的關系，即所謂的稅收等式。Albrecher等人[5]利用游弋理論將此研究推廣到X 是一般譜負Lévy 過程且γ 仍是一個常數(shù)的情況。Kyprianou 和Zhou[6]中，Kyprianou 和 Zhou 將曲線函數(shù) γ 作為函數(shù)，研究了破產(chǎn)前納稅的雙邊退出問題和凈現(xiàn)值問題。在同樣的背景下，Renaud[7]提供了破產(chǎn)前納稅(現(xiàn)值)的分布結果Wang 和Hu[8]研究了一個潛在稅收過程的最優(yōu)控制問題，在這個問題中，人們尋求最大化破產(chǎn)前所付稅款的凈現(xiàn)值。Kyprianou 和Ott[9]發(fā)現(xiàn)了稅率超過1 的潛在稅收過程的變化。

本文介紹了最大值擾動策略，重點概述了Cramér-Lundberg 過程和譜負 Lévy 過程中最大值擾動策略的研究現(xiàn)狀，在此基礎上對譜負 Lévy 過程關于最大值擾動策略的研究給出了一些建議和設想。

1 Cramér-Lundberg 過程

定義

1.1 擾動過程的 Gambler’s 破產(chǎn)

1.2 有重擾動的連續(xù)破產(chǎn)

1.3 納稅

文獻[4]對經(jīng)典的Cramér-Lundberg 風險模型進行了推廣，并將納稅納入其中。當投資組合處于盈利狀態(tài)時，考慮的稅收規(guī)則是支付保費收入的一定比例。結果表明，所得的生存概率是不納稅生存概率的冪。進一步推導出了根據(jù)這一稅收規(guī)則直到破產(chǎn)的期望折現(xiàn)納稅總額的顯式表達式，并確定了最優(yōu)征稅起始水平。

2 譜負 Lévy 過程

對X0= x時X 的分布用 px表示和相關的期望用 Ex。且可知ψ 連續(xù)嚴格凸的和存在由下式定義的右逆函數(shù) Φ :[0, ∞) → [0, ∞)

2.1 q-尺度函數(shù)

q-尺度函數(shù)在分析譜負 Lévy 過程中起著關鍵作用。X 的尺度函數(shù)(q)W 是一個非負的遞增函數(shù)，由下面的拉普拉斯變換指定。對于q≥0

2.2 結果概述

第1 節(jié)在Cramér-Lundberg 過程中對最大值擾動策略的研究得到的定理結果都可以推廣到譜負Lévy 過程中。

文獻[5]利用波動理論，研究了納稅為虧損結轉型的一般譜負 Lévy 過程的雙邊退出問題，并確定了破產(chǎn)概率. 在該模型中，我們研究了納稅總額折現(xiàn)的任意時刻，并確定了開始征稅的盈余水平，使稅務機關的期望折現(xiàn)總收入最大化. 這一結果在很大程度上概括了 Cramér-Lundberg 的稅收風險模型。

文獻[6]考慮了比文獻[4-5]中更一般的納稅結構的 Lévy 保險風險模型. 根據(jù)尺度函數(shù)，文獻[6]建立了近年來引起精算研究大量關注的雙面退出問題，破產(chǎn)前所付稅款的凈現(xiàn)值，以及Gerber-Shiu函數(shù)的廣義版本的基本等式. 而且研究采取了不同于文獻[4-5]的游弋理論的方法。

文獻[7]研究了文獻[5]的Lévy 保險風險模型中稅收的分布，即一個具有依賴盈余的稅率的 Lévy保險風險模型。更確切地說，在對所謂的稅收恒等式進行了簡短的討論之后，[7]推導出了一個關于直至破產(chǎn)的納稅折扣的任意時刻的遞推公式，并確定了在沒有利益因素時納稅的分布。

在文獻[4-6]的背景下，文獻[8]考慮了受潛在稅收過程支配的保險公司的準備金過程，其目標是找到使總(折現(xiàn))稅收支出最大化的最優(yōu)政策。

文獻[9]證明了文獻[5]中的一些等式仍然適用于更一般的一類速率函數(shù) γ :[0, ∞) → R 和發(fā)現(xiàn)了稅率超過1 的潛在稅收過程的變化。此外，文獻[9]還表明，只要選擇適當?shù)摩茫瑪_動過程可以通過兩種不同的方式連續(xù)地(即蠕變)進入(-∞, 0)。

展 望

目前，我們看到大部分論文都是研究了Cramé r-Lundberg 過程和譜負 Lévy 過程在最大值擾動策略下首達時和破產(chǎn)時間的Laplace 變換，我們接下來還可以研究這兩個過程在最大值擾動策略下首達時或破產(chǎn)時間和其相關占位時的聯(lián)合 Laplace 變換。