武書彥，鄒建華，吳青娥,許明喆，胡博

(1.西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710049;2.河南牧業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450046;3.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450002)

0 引言

單位模糊自動機(jī)在模糊自動機(jī)半群中的某一時(shí)刻會對應(yīng)多種不同的狀態(tài)，每一種狀態(tài)都對應(yīng)著不同的可信度，這樣模糊自動機(jī)半群就能與現(xiàn)實(shí)世界和客觀事物比較貼合，能夠比較真實(shí)地反映現(xiàn)實(shí)世界。但是半群自動機(jī)的推導(dǎo)等價(jià)并不容易實(shí)行，即便是對復(fù)雜程度較低的有限半群自動機(jī)也有一定的困難。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和模糊技術(shù)發(fā)展的背景下，模糊自動機(jī)得以快速發(fā)展并取得了廣泛的應(yīng)用[1-3]。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭方面的應(yīng)用尤為突出，面對狡猾的敵人如何識別真相是一個難題；又如列車前方障礙物的識別、汽車防撞雷達(dá)、無人機(jī)的目標(biāo)探測、潛艇的障礙物閃避等，運(yùn)用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自動機(jī)(Fuzzy neural network automaton, FNNA)[4-6]能夠輕松達(dá)到靈活、快速、準(zhǔn)確地做出判斷處理的效果。而且在通信領(lǐng)域FNNA中模糊自動機(jī)發(fā)揮的作用將越來越大。模糊推理在社會的諸多領(lǐng)域起到了重要的作用，尤其是控制系統(tǒng)以及人工智能領(lǐng)域。具有不確定性數(shù)據(jù)之間的相似性特點(diǎn)通?？梢阅：c閉區(qū)間將它們的特征表示出來，根據(jù)這種特性，有些學(xué)者提出了區(qū)間分析方法[7-12]。為了提高自動機(jī)的診斷效果，可以將其與模糊集的方法相結(jié)合，提出模糊自動機(jī)半群的模糊推理，并將其應(yīng)用于機(jī)器故障診斷中。YAGER[13]在多值模糊關(guān)系研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究了兩種形式的模糊推理，分別是簡單多值模糊推理和多重區(qū)間值的模糊推理。模糊推理進(jìn)行時(shí)，影響因素的大小可能會產(chǎn)生不同的結(jié)果，因此可以對影響大的因素分配較大的權(quán)重，影響小的因素分配較小權(quán)重，這是一種符合人的正常思維過程的想法。

在前期的工作中，已討論過一種類型的FDFA代數(shù)系統(tǒng)，即格。格〈M,∨|∪,∧|∩〉具有兩個二元運(yùn)算。在本文中，將討論具有一個二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，即半群。這些理論在自然科學(xué)以及應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域都起到了不小的作用。例如，在信息安全與編碼理論中就用到半群。

1 半群

設(shè)F=[0，1]，G是Q中的模糊集，Gλ為集合G的截集Gλ={x∈Q|G(x)≥λ,λ∈F}，顯然Gλ?Q。定義λG={G(x)|G(x)≥λ,λ∈F,x∈Q}，顯然λG?F。

定義1對FDFAM輸入Σ*中的一個字符序列ω后，以某一隸屬度μ，由Q的每一個狀態(tài)p都要分別變到另外一個狀態(tài)q，因此，(ω,μ)引導(dǎo)出狀態(tài)集合Q到Gu上的一個變換δ(qi,ω,μ)={qj},?μ∈F，即Q上的一個變換。所有由(ω,μ)引導(dǎo)出的變換“·”，即{qj}·{ql}={qn}。若FDFAM(M,·)滿足結(jié)合律，即對于任何m1= (Q1,Σ1,δ1,q01,G1,F1)，δ1(qi1,a1,μ1)={qj1}；m2= (Q2,Σ2,δ2,q02,G2,F2)，δ2(qi2,a2,μ2)={qj2}；m3= (Q3,Σ3,δ3,q03,G3,F3)，δ3(qi3,a3,μ3)={qj3}；m1,m2,m3∈M，有m1·(m2·m3)=(m1·m2)·m3，即{qj1}·({qj2}·{qj3})=({qj1}·{qj2})·{qj3}，則稱FDFAM(M,·)為半群，有時(shí)就稱M為半群自動機(jī)。

例1由FDFA引導(dǎo)出的一個確定的有限態(tài)自動機(jī)(DFA)D=(Q,Σ,δa,q0,Gλ)，這里定義δa(q,ω)=p?δ(q,ω,a)=p,q,p∈Q,ω∈Σ*，a∈F。則FDFA到DFA的變換構(gòu)成半群，且(D,∩)和(D,∪)也都是半群。

定義2將FDFA與M進(jìn)行二元運(yùn)算·，它們作為具有單位元的半群，相當(dāng)于對所有m1= (Q1,Σ1,δ1,q01,G1,F1)，m2= (Q2,Σ2,δ2,q02,G2,F2)，m3= (Q3,Σ3,δ3,q03,G3,F3)，m1,m2,m3∈M，有m1·(m2·m3)=(m1·m2)·m3，并且有元素e∈M，對于任何m1∈M，有m1·e=e·m1=m1，則稱(M,·)為含單元半群。

FDFAM中存在e= (Q,Σ,δ,q0,G,F)，定義δ(q,ω,μ)=q，這里ω∈Σ*,q∈Q，μ∈F和G0=Q。

顯然，含單元半群的單位元是唯一的。

在半群(M,·)中，規(guī)定mn=m·m·…·m。因此，對于任何正整數(shù)l,n，?m∈M，有ml·mn=ml+n，(ml)n=mln。

若(M,·)是含單元半群，規(guī)定m0=e(單位元)。

假如(M,·)的二元運(yùn)算“·”在半群自動機(jī)以及含單元半群自動機(jī)過程中是可進(jìn)行交換的，即?m1,m2∈M，m1·m2=m2·m1，則稱(M,·)是可換半群或含單元半群自動機(jī)。

在半群自動機(jī)(M,·)中，如果元素m滿足m·m=m，則稱m是冪等的。若m為冪等元，則mn=m，每個含單元半群至少包含一個冪等元素，即單位元。

定義3設(shè)(M,·)是一個半群自動機(jī)，這里M={(Qn,Σn,δn,q0n,Gn,Fn)|n∈N}，對應(yīng)δn(qi,a,μ)={qj}；Mi={(Qi,Σi,δi,q0i,Gi,Fi)|i∈N}，對應(yīng)δi(qk,ω,λ)={ql}，這里，qj∈Gn，ql∈Gi。假設(shè)Mi作為M的有元子集，可得Qi?Qn，Σi?Σn，δi(ql,ω,λ)?δn(qi,a,μ)，q0i=q0n，Gi?Gn，F(xiàn)i?Fn，Mi進(jìn)行二元運(yùn)算“·”是密閉進(jìn)行的，即對于?m1,m2∈Mi，有m1·m2∈Mi，即{qj}·{ql}={qn}?Gi，則稱(Mi,·)是(M,·)的子合單元半群自動機(jī)。

定義4設(shè)(M,·)是一個含單元半群自動機(jī)，M1是M的子集，如果M1對運(yùn)算·是封閉的，且M的單位元e∈M1，則稱(M1,·)是(M,·)的子群自動機(jī)。

從定義可以看出，子半群自動機(jī)本身是一個半群(含單元半群)自動機(jī)。

定理1對于任何可換的含單元半群FDFA (M,·)，M的冪等元的集構(gòu)成一個子含單元半群自動機(jī)。

證設(shè)T是M中的冪等元的集，因?yàn)閱挝辉猠是冪等元，所以e∈T。對于?t1,t2∈T，于是t1·t1=t1，t2·t2=t2，由于(M,·)可交換，故

(t1·t2)·(t1·t2)=(t1·t2)·(t2·t1)=t1·(t2·t2)·t1=t1·t2·t1=t1·t1·t2=t1·t2，因此，t1·t2∈T，即(T,·)是(M,·)的子含單元半群。

定義5設(shè)(M,·)和(T,*)是兩個半群自動機(jī)，映射f:M→T稱為M到T的半群自動機(jī)同態(tài)映射，假如對于?m1,m2∈M，有

f(m1·m2)=f(m1)*f(m2)，

假如f作為自動機(jī)的滿映射，就將f稱作自動機(jī)的滿同態(tài)；假如f作為自動機(jī)的單映射，就將f稱作自動機(jī)的單一同態(tài)；假如f作為自動機(jī)的雙映射，就可以將f作為M到T的同構(gòu)映射。如果半群自動機(jī)M和T之間存在同構(gòu)映射，則稱M和T同構(gòu)，記為M?T。

定理2設(shè)f是FDFA(M,·)到(T,*)半群同態(tài)映射，則對于任何冪等元m∈M，f(m)也是冪等元。

證因?yàn)閙是冪等元，即m·m=m，于是

f(m·)m=f(m)=f(m)*f(m)，

即f(m)是冪等元。

定義6設(shè)(M,·)和(T,*)是兩個含單元半群自動機(jī)，映射f:M→T稱為M到T的含單元半群自動機(jī)同態(tài)映射，假如對于?m1,m2∈M，有f(m1·m2)=f(m1)*f(m2)，f(eM)=eT，這里eM，eT分別是M與T的單位元。

定理3設(shè)FDFA半群自動機(jī)(M,·)，(T,*)，這里“·”，“*”分別是M和T的二元運(yùn)算，且f是M到T的滿同態(tài)映射。

① 如果(M,·)是半群自動機(jī)，則(T,*)也是半群自動機(jī)。

② 如果(M,·)是含單元半群自動機(jī)，則(T,*)也是含單元半群自動機(jī)，且單位元對應(yīng)單位元。

而:

由假設(shè)

m1·(m2·m3)=(m1·m2)·m3,

于是(T,*)是半群自動機(jī)。

因此，eT是T的單位元，即(T,*)是含單元半群自動機(jī)。

定理4設(shè)FDFA(M1,*1)，(M2,*2)和(M3,*3)都是半群自動機(jī)，且f:M1→M2，g:M2→M3都是半群同態(tài)映射，則(g·f)是M1→M3的半群同態(tài)映射。

證設(shè)對于任何m1,m2∈M1，有

(g·f)(m1*1m2)=g[f(m1*1m2)]=g[f(m1)*2f(m2)]=

g(f(m1))*3g(f(m2))=(g·f)(m1)*3(g·f)(m2)。

因此，(g·f)是M1到M3的半群同態(tài)映射。

2 FDFA半群的推理及應(yīng)用

2.1 FDFA半群的推理

根據(jù)模糊自動機(jī)推理的特點(diǎn)，可總結(jié)定義如下：

定義7模糊自動機(jī)推理是運(yùn)用模糊語言和自動機(jī)的一種映射轉(zhuǎn)變關(guān)系，對模糊現(xiàn)象進(jìn)行模糊判斷，推導(dǎo)出一個與模糊結(jié)論相近的解決方法，是一種不確定性推理方法。

FDFA半群的多輸入模糊推理由以下兩種推理構(gòu)成。

2.1.1FDFA半群的多態(tài)模糊推理

多態(tài)模糊推理經(jīng)常出現(xiàn)在多—單系統(tǒng)的設(shè)計(jì)里面，例如，在運(yùn)動機(jī)械動力部分的速度值控制調(diào)整系統(tǒng)中，“如果速度誤差以及速度誤差的變化量也同樣較大，就需要增加控制電壓”這類規(guī)則控制就可以采用FDFA半群的多態(tài)模糊推理機(jī)制來解決。

對于矩陣A，B，C，這種規(guī)則的一般形式可表示如下：

前提1：如果A且B，那么C，

前提2：現(xiàn)在是A′且B′。

結(jié)論：C=(A′ andB′)·[(AandB)→C]。

如果各語言變量的論域通常都為非無限集，因此隸屬度函數(shù)作為有限集的模糊子集是離散的，在這種情況下采用模糊控制的關(guān)系矩陣運(yùn)算方法是簡易的。已知如果存在當(dāng)A且B的關(guān)系時(shí)，則有輸出為C，即矩陣A、B、C存在以下的推理規(guī)則:

ifAandB, thenC，

求當(dāng)A′和B′，控制輸出C′應(yīng)該多少可以用以下步驟：

① 先求矩陣D=A×B，令dxy=μA(x)∧μB(y)得D矩陣:

② 將D寫成列矢量DT，即DT=[d11,d12,…,d1n,d21,…dmn]T。

③ 求出關(guān)系矩陣R，R=DT×C。

④ 由A′、B′求出D′，D′=A′×B′。

⑤ 仿照②。將D′轉(zhuǎn)化為行矢量DT′。

⑥ 最后求出輸出的模糊推理。

2.1.2FDFA半群的多輸入多規(guī)則模糊推理

如果A1且B1，那么C1。

否則如果A2且B2，那么C2。

……

否則如果An且Bn，那么Cn。

已知A′且B′，那么C′=?

C′=(A′ andB′)·([(A1andB1)→C1])∪…∪([(AnandBn)→Cn])=C1′∪C2′∪C3′∪…∪Cn′。

其中，Ci′=(A′ andB′)·([(AiandBi)→Ci])=A′→(Ai→Ci)∩[B′·(Bi→Ci)],i=1,2,3,…,n。

對于上述的多態(tài)多規(guī)則總的推理結(jié)果是將每一個推理規(guī)則的模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行“并”運(yùn)算就可以了，相當(dāng)于對以上所有的推理規(guī)則，都能計(jì)算出相符合的模糊關(guān)系矩陣。

Ri=Ai×Bi×…×Ci,i=1,2,3,…,n。

在上式中直積算子“×”可采用“極小”運(yùn)算，對上述式子進(jìn)行 “代數(shù)積”運(yùn)算。

系統(tǒng)總的控制規(guī)則所對應(yīng)的關(guān)系矩陣R通常采用并的算法求出，即

R=R1∪R2∪…∪Rn。

2.2 FDFA半群的多維模糊推理在運(yùn)動裝置旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用

本文通過分析未處理的故障數(shù)據(jù)，基于FDFA半群模糊推理的模糊技術(shù)對模糊幾何特性屬性進(jìn)行處理，從而達(dá)到故障診斷的效果。下面通過一個發(fā)動機(jī)故障診斷的例子，展示一下FDFA半群的多維模糊推理在發(fā)動機(jī)故障診斷中的應(yīng)用。

2.2.1 征兆/故障樣本集的收集與設(shè)計(jì)

發(fā)動機(jī)在高負(fù)荷和長時(shí)間運(yùn)行時(shí)，容易導(dǎo)致油路和氣路發(fā)生故障。但是發(fā)動機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不易準(zhǔn)確和快速找到其故障點(diǎn)。所以下面嘗試?yán)肍DFA半群的模糊推理來實(shí)現(xiàn)對發(fā)動機(jī)的故障診斷。

發(fā)動機(jī)運(yùn)行時(shí)常有6種參數(shù)表示其運(yùn)行狀態(tài)，它們分別是MA、AA、MD、AD、TR和RS。其中,MA表示發(fā)動機(jī)運(yùn)行的最大加速度，AA表示發(fā)動機(jī)運(yùn)行的平均加速度，MD表示發(fā)動機(jī)運(yùn)行的最大減速度，AD表示發(fā)動機(jī)運(yùn)行的平均減速度，TR為表示發(fā)動機(jī)的扭矩諧波分量比,RS表示發(fā)動機(jī)的燃爆時(shí)的上升速度。

在進(jìn)行診斷時(shí)，需通過FDFA半群模糊推理技術(shù)對提取的相關(guān)特征參數(shù)進(jìn)行分析，具體過程如圖1所示。

圖1 基于FDFA半群的模糊推理的發(fā)動機(jī)診斷模型Fig.1 Engine diagnosis model based on fuzzy reasoning of FDFA semigroup

這里主要介紹如何利用FDFA半群的模糊推理進(jìn)行故障診斷，通過對于發(fā)動機(jī)1號氣缸的分析可知，自動機(jī)的1號氣缸一共發(fā)現(xiàn)了3種故障，它們分別是油量不足、氣門漏氣和氣缸漏氣，如果算上正常模式，可以把故障歸結(jié)為4種。本文采用二進(jìn)制格式對不同的故障類型進(jìn)行描述，見表1。這4種故障通過大量的現(xiàn)場實(shí)地考察和歷史資料的匯總分析，總結(jié)出了四組故障的樣本數(shù)據(jù)，見表2。

表1 故障模式分類Tab.1 Classification of fault modes

表2 故障樣本數(shù)據(jù)Tab.2 Fault sample data

使用上面列表中的數(shù)據(jù)訓(xùn)練FDFA半群，經(jīng)2 000次迭代過程，以均方誤差最小為其訓(xùn)練的性能指標(biāo)。其模糊推理過程如圖2所示。

圖2 FDFA半群的模糊推理的訓(xùn)練過程Fig.2 Training process of fuzzy reasoning for FDFA semigroups

程序運(yùn)行，由仿真得分類結(jié)果為：faultclass =[1, 2, 3, 4]。由仿真結(jié)果可知，F(xiàn)DFA半群的模糊推理成功地對上述故障模式進(jìn)行了分類，這與表2中的數(shù)據(jù)是吻合的，共四種故障模式類。

為了測試FDFA半群自動機(jī)進(jìn)行模糊推理時(shí)的外推性能,給出一組測試樣本數(shù)據(jù),見表3。這些數(shù)據(jù)采集的是機(jī)械真實(shí)的故障數(shù)據(jù),可以準(zhǔn)確地測試出FDFA半群的模糊推理的故障檢測性能。

表3 故障樣本數(shù)據(jù)Tab.3 Fault sample data

采用訓(xùn)練樣本以外的數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行測試，是一種最好的測試方案?，F(xiàn)對表3所示的測試樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，仿真結(jié)果也為faultclass =[1, 2, 3, 4]。由仿真結(jié)果可知，F(xiàn)DFA半群的模糊推理也能成功地對上述測試樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了分類，這與表3的4種故障模式數(shù)據(jù)也是吻合的。

由FDFA半群的模糊推理的MATLAB仿真結(jié)果可知，F(xiàn)DFA半群的模糊推理的診斷結(jié)果是正確的。也就是說，F(xiàn)DFA半群的模糊推理成功地診斷出了這4種故障，因此，F(xiàn)DFA半群的模糊推理用于故障診斷是有效的。

2.2.2 FDFA半群的輸出向量設(shè)計(jì)

為了方便找出故障所在，本文將發(fā)動機(jī)故障的嚴(yán)重程度劃分為3個等級Fi，這里i為發(fā)動機(jī)故障的級別，即1級嚴(yán)重故障、2級中等故障和無故障(正常)。根據(jù)FDFA半群的模糊推理的輸出向量，得到以下結(jié)果。

若0.75

若0.25

若Fi<0.25或者Fi>1.50，則Fi=正常(無故障)。

所以可以通過得出的結(jié)果來判斷發(fā)動機(jī)故障的嚴(yán)重程度。

用一組實(shí)際數(shù)據(jù)對FDFA半群的模糊推理進(jìn)行檢驗(yàn)，從本次測試中可以看出FDFA半群的模糊推理是否能夠正確診斷出發(fā)動機(jī)增壓系統(tǒng)中的故障。如果可以正確診斷出故障，則FDFA半群的模糊推理可以投入使用。分別在F2、F3和F4出現(xiàn)故障時(shí)進(jìn)行檢測，獲取到各參數(shù)的值，將得到的這些值作為輸入向量，對FDFA半群的模糊推理輸出采用仿真函數(shù)進(jìn)行推理計(jì)算，并且對故障點(diǎn)進(jìn)行故障判別準(zhǔn)則判斷出故障原因。測試數(shù)據(jù)見表4。

表4 測試數(shù)據(jù)Tab.4 Test data

編寫代碼進(jìn)行仿真，運(yùn)行程序，輸出如下：

output 1=[2 3 4 5];

output 2=[2 3 4 5];

output 3=[2 3 4 5]。

由分析結(jié)果可知，F(xiàn)DFA半群的模糊推理成功地診斷出了所有故障，這與表4中的數(shù)據(jù)是吻合的，因此，可以將該FDFA半群的模糊推理投入實(shí)際工程應(yīng)用。

本文對故障數(shù)據(jù)采用基于FDFA半群的模糊推理等技術(shù)，得出結(jié)論：在應(yīng)用該技術(shù)處理發(fā)動機(jī)故障問題后，不僅系統(tǒng)推理速度明顯提高，而且還使推理系統(tǒng)的識別精度更加理想化。對如表3中的大量樣本數(shù)據(jù)，F(xiàn)DFA半群的模糊推理對故障數(shù)據(jù)的跟蹤如圖3(a)所示。對如表4中的大量測試數(shù)據(jù)，F(xiàn)DFA半群的模糊推理對故障數(shù)據(jù)的跟蹤如圖3(b)所示。

(a) 對表3故障數(shù)據(jù)的跟蹤

如果所研究的問題很復(fù)雜，有很多不確定的因素，那么，F(xiàn)DFA半群邏輯為解決此問題提供了一個合適的工具，使我們可以很快為一個系統(tǒng)建模，并在多種模型和方法中選擇合適的一個。

3 結(jié)論

本文給出了模糊自動機(jī)半群的定義及其性質(zhì)，給出了FDFA半群的推理方法，并討論了FDFA半群的推理方法在發(fā)動機(jī)故障診斷中的應(yīng)用。針對FDFA半群的多維模糊推理，提出了一種閾值、規(guī)則的模糊推理方法，構(gòu)造了FDFA半群的推理系統(tǒng)。本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理前，首先會給每個規(guī)則條件賦予一個適當(dāng)?shù)拈撝迪蛄?對一些影響小的因素進(jìn)行篩檢，從而清除一些無用的規(guī)則,并提高了最終輸出結(jié)果的精度，所以在此方案基礎(chǔ)上得出的推理方法與實(shí)際推理更加接近，便于日常工程應(yīng)用。

一個值得思考的問題是，是否能把幾個不同的半群自動機(jī)組合，去處理多個模糊知識的疊加，以及由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)怎樣抽取這個組合的半群自動機(jī)?我們接下來將會對這個問題進(jìn)行探索。