朱 挺

(江蘇省啟東中學(xué),江蘇 南通 226200)

圓錐擺模型是高中物理中常見(jiàn)的一類(lèi)模型，是在一根質(zhì)量和伸長(zhǎng)不計(jì)的細(xì)線下系一個(gè)可以視為質(zhì)點(diǎn)的擺球，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。擺球受豎直向下的重力和沿?cái)[線方向的拉力作用，兩個(gè)力的合力提供了擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。

由基本的圓錐擺模型衍生出的雙球問(wèn)題是該模型中較復(fù)雜的一類(lèi)問(wèn)題，需要針對(duì)擺線傾角和擺長(zhǎng)的特點(diǎn)，結(jié)合受力規(guī)律進(jìn)行綜合分析。

1 等傾雙球問(wèn)題

例1：如圖1所示,質(zhì)量相等的甲、乙兩個(gè)小球,沿光滑玻璃漏斗內(nèi)壁做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),甲在乙的上方,則它們運(yùn)動(dòng)的( )。

圖1

A. 向心力F甲>F乙

B. 線速度v甲>v乙

C. 角速度ω甲>ω乙

D. 向心加速度a甲>a乙

圖2

由于兩小球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)“擺線”的傾角相等，所以小球的受力方向一致，向心加速度的大小相等，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，再運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式來(lái)求得線速度、角速度等。

2 等高雙球問(wèn)題

例2：如圖3所示，兩根長(zhǎng)度不同的細(xì)線下面分別懸掛著小球,細(xì)線上端固定在同一點(diǎn),若兩個(gè)小球以相同的角速度繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則兩個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相對(duì)位置關(guān)系示意圖正確的是( )。

圖3

圖4

在等高問(wèn)題中，由于角速度相等這一前提條件，雖然兩球的擺長(zhǎng)和擺線的傾角不同，通過(guò)分離變量的方法，不難發(fā)現(xiàn)懸點(diǎn)到軌道平面等高的這一隱藏結(jié)果。

3 等長(zhǎng)雙球問(wèn)題

例3：內(nèi)壁光滑的半球形碗固定不動(dòng),其軸線垂直于水平面,兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在如圖5所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則( )。

圖5

A. 球A的線速度等于球B的線速度

B. 球A的角速度大于球B的角速度

C. 球A的向心加速度小于球B的向心加速度

D. 球A對(duì)碗壁的壓力等于球B對(duì)碗壁的壓力

圖6

本題中的兩球的運(yùn)動(dòng)更具一般性，所以在處理問(wèn)題時(shí)，還是從受力分析出發(fā)，在擺長(zhǎng)相同的情況下，尋找相關(guān)物理量與傾角的關(guān)系，從而找到解決問(wèn)題的突破口。

4 臨界雙球問(wèn)題

例4：如圖7所示,半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上,轉(zhuǎn)臺(tái)繞過(guò)容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量不同的小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)器壁靜止,A、B和球心O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角分別為α和β,α>β，則( )。

圖7

A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量

B.A、B受到的摩擦力可能同時(shí)為零

C. 若A不受摩擦力,則B受沿容器壁向上的摩擦力

D. 若ω增大,A、B受到的摩擦力可能都增大

圖8

若繼續(xù)增加ω，則摩擦力方向?qū)?huì)反向。在豎直方向上有：FNcosα+fsinα=mg；在水平方向上有：FNsinα+fcosα=mω2Rsinα，且f隨著ω的增加而增加，直至A與容器發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

讀者可以自行計(jì)算A與容器發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的臨界角速度，可見(jiàn)本題答案與A、B的質(zhì)量無(wú)關(guān)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于傾角不同，A、B兩物體的臨界角速度不同，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)棣?β，所以當(dāng)A的臨界角速度大于B，A不受摩擦力時(shí)，B所受摩擦力沿容器壁向下，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)角速度大于A的臨界角速度時(shí)，則A、B摩擦力均沿容器壁向下，且隨著角速度的增加而增加，選項(xiàng)D正確。

本題從運(yùn)動(dòng)小球受力分析出發(fā)，列出相關(guān)的方程，找到臨界點(diǎn)出現(xiàn)的規(guī)律，從而全面、直觀地分析整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

綜上所述，在圓錐擺模型中的雙球問(wèn)題的處理上，我們應(yīng)該抓住問(wèn)題的主要特征，從受力分析出發(fā)，建立相關(guān)物理量與擺角、擺長(zhǎng)之間的聯(lián)系，找到解決問(wèn)題的辦法。