易永勝 李 偉 高 亮 肖 蜜 邱浩波

1. 華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430074 2. 湘電風(fēng)能有限公司風(fēng)電研究院，湘潭，411100

0 引言

現(xiàn)代復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化通常涉及一些復(fù)雜耦合的學(xué)科或子系統(tǒng)。多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(multidisciplinary design optimization, MDO)作為一種整體設(shè)計(jì)方法[1]，在飛機(jī)設(shè)計(jì)[2]、再入飛行器設(shè)計(jì)[3]、小衛(wèi)星系統(tǒng)設(shè)計(jì)[4]等方面得到了廣泛的關(guān)注。現(xiàn)代工程系統(tǒng)日益復(fù)雜，對(duì)這些系統(tǒng)性能的仿真分析，如有限元分析和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)，需要大量的計(jì)算資源。雖然計(jì)算機(jī)技術(shù)已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，但是仍然不能滿(mǎn)足仿真分析的計(jì)算量要求。另一方面，仿真分析程序通常呈現(xiàn)黑盒函數(shù)的特征，其對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量與系統(tǒng)響應(yīng)之間的關(guān)系完全是未知的，這進(jìn)一步增加了工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化的難度。同時(shí)，為避免求解復(fù)雜工程系統(tǒng)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)需要反復(fù)調(diào)用復(fù)雜耗時(shí)的多學(xué)科分析和進(jìn)行繁瑣的靈敏度計(jì)算，尋求一種高效的方法來(lái)求解MDO問(wèn)題成為了當(dāng)前MDO研究的重點(diǎn)。

針對(duì)上述問(wèn)題，本研究提出了一種基于協(xié)同近似(collaboration model surrogate optimization，CMSO)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，闡述了CMSO方法的流程和主要步驟。通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)算例和圓柱螺旋壓縮彈簧設(shè)計(jì)案例，并與已有的單學(xué)科可行法(individual discipline feasible, IDF)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了CMSO方法的有效性。

1 協(xié)同模型

為了獲得滿(mǎn)足系統(tǒng)分析或多學(xué)科分析(systems analysis/multidisciplinary analysis, SA/MDA)的可行樣本，構(gòu)建一個(gè)協(xié)同模型(collaboration model, CM)作為過(guò)濾器[5-6]。為了便于解釋和保持通用性，考慮一個(gè)具有兩個(gè)相互耦合狀態(tài)變量的簡(jiǎn)單例子。耦合狀態(tài)方程表示為

(1)

將求解這個(gè)耦合狀態(tài)方程的過(guò)程稱(chēng)作系統(tǒng)分析或多學(xué)科分析。式(1)中，Y1是一個(gè)顯式函數(shù)，它反映了Y1、xs、x1和y2之間的物理關(guān)系，同時(shí)Y1也是一個(gè)隱式函數(shù)，反映了xs、x1和x2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。協(xié)同模型通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)近似模型的相同耦合狀態(tài)變量來(lái)構(gòu)建：一個(gè)是反映物理關(guān)系的顯式關(guān)系模型，另一個(gè)是反映數(shù)學(xué)關(guān)系的隱式關(guān)系模型。顯式函數(shù)和隱式函數(shù)具體如下：

(2)

給定一組設(shè)計(jì)變量x，定義D表示學(xué)科一致性/不一致性，具體表達(dá)如下：

(3)

其中，n為耦合狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)。與對(duì)應(yīng)大D值的樣本點(diǎn)相比，對(duì)應(yīng)小D值的點(diǎn)更有可能滿(mǎn)足SA/MDA。

該協(xié)同模型能夠有效地剔除不符合設(shè)計(jì)要求的樣本點(diǎn)，從而加快優(yōu)化過(guò)程，提高求解效率。構(gòu)建近似模型有多種選擇，如多項(xiàng)式響應(yīng)面(RSM)模型[7]、徑向基函數(shù)(RBF)模型[8]和克里金(Kriging)[9]模型。然而，這些近似模型只是一個(gè)“篩子”，僅篩選出更能反映多學(xué)科問(wèn)題本身屬性的樣本點(diǎn)，而不是優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的近似模型，因此，不需要很高的精度。本研究利用徑向基函數(shù)建立協(xié)同模型。給定一組實(shí)驗(yàn)點(diǎn){xk,k=1, 2, …,N}對(duì)應(yīng)的N個(gè)值{y(xk)},RBF模型的構(gòu)造如下：

(4)

式中，a(·)為一個(gè)線性多項(xiàng)式函數(shù)；λk為每個(gè)樣本點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)；φ(·)為徑向基函數(shù)；‖·‖為歐幾里德范數(shù)。

最常用的徑向基函數(shù)包括三次函數(shù)、薄板樣條函數(shù)、線性函數(shù)、二次函數(shù)和高斯函數(shù)。由于式(4)只是一個(gè)指導(dǎo)抽樣模型，故本研究采用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性徑向基函數(shù)來(lái)構(gòu)造協(xié)同模型。線性徑向基函數(shù)表示為

(5)

代理模型技術(shù)主要包括實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(DOE)和代理模型的構(gòu)建兩部分。DOE方法有多種，如均勻設(shè)計(jì)(UD)[10]、中心復(fù)合設(shè)計(jì)(CCD)[11]、拉丁超立方體抽樣(LHS)[12-13]。LHS抽樣是代理模型中最常用的DOE方法之一，LHS抽樣在保證分層抽樣的同時(shí)，提供了多種樣本量，每個(gè)輸入變量可以覆蓋其范圍的所有部分，得到的訓(xùn)練樣本可以很好地填充設(shè)計(jì)空間。由此，本研究采用LHS抽樣對(duì)設(shè)計(jì)域空間進(jìn)行抽樣，并抽取104個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)建協(xié)同模型。

2 自適應(yīng)代理模型

復(fù)雜工程系統(tǒng)往往包含復(fù)雜和耦合的學(xué)科或子系統(tǒng)，系統(tǒng)性能的仿真分析(如有限元分析和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué))需要大量的計(jì)算資源，代價(jià)非常昂貴。代理模型技術(shù)作為一種易于處理的廉價(jià)工具，在復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化過(guò)程中得到了廣泛的應(yīng)用。由上文可知，代理模型的構(gòu)建方法常用的有RSM模型、RBF模型和Kriging模型等。其中RSM模型是一種廣泛使用的代理模型，對(duì)于N個(gè)輸入變量的問(wèn)題，需要確定(N2+3N+2)/2個(gè)系數(shù)，且隨著變量數(shù)量的增加，三階和更高階的模型需要確定的系數(shù)太多，因而不是很常用。一般來(lái)說(shuō)，RSM模型適用于非線性程度較低的近似問(wèn)題；RBF模型不需要指定目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式或?qū)?shù)信息，它只需要選擇一個(gè)徑向基函數(shù)，就可以有效地用較少的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)相對(duì)精確的模型；Kriging模型對(duì)各種非線性函數(shù)具有較高的逼近精度，在優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

對(duì)MDO優(yōu)化模型進(jìn)行近似，如果代理模型精度太低，那么優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)就沒(méi)有意義。為了選擇一個(gè)合理的模型，本研究使用了一些常用的度量方法來(lái)評(píng)估代理模型的準(zhǔn)確性，包括中位數(shù)絕對(duì)偏差(MAD)、最大絕對(duì)誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE)[14]。

MAD定義為預(yù)測(cè)值絕對(duì)值的中位數(shù)，其表達(dá)式為

(6)

MAE表示局部誤差，越小越好，其表達(dá)式為

(7)

RMSE表示預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值之差的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，其表達(dá)式為

(8)

分別計(jì)算代理模型的MAD、MAE和RMSE，對(duì)比代理模型的精度，選擇最佳的代理模型來(lái)構(gòu)建MDO優(yōu)化模型。

3 基于協(xié)同近似的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化

本研究提出的CMSO方法的基本思想是：通過(guò)一種協(xié)同模型來(lái)選擇滿(mǎn)足多學(xué)科可行的樣本點(diǎn)，本研究中稱(chēng)為協(xié)同抽樣(collaboration sampling, CS)，然后通過(guò)這些樣本點(diǎn)構(gòu)建3種代理模型，并進(jìn)行代理模型的驗(yàn)證和確認(rèn)，之后選擇最佳的代理模型，并使用序列二次規(guī)劃(SQP)法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化求解。

圖1描述了CMSO法求解的具體流程。運(yùn)用CMSO方法求解工程產(chǎn)品MDO問(wèn)題的主要步驟如下：

(1)構(gòu)建協(xié)同模型，進(jìn)行協(xié)同抽樣。①采用拉丁超立方均勻抽樣n=104個(gè)初始樣本點(diǎn)；②利用核函數(shù)是線性函數(shù)的徑向基函數(shù)構(gòu)建協(xié)同模型；③利用協(xié)同模型篩選出m個(gè)滿(mǎn)足多學(xué)科可行的樣本點(diǎn)，并按D值的大小升序排列，m值可以根據(jù)設(shè)計(jì)變量的多少而取不同的值，一般取值是設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)的10倍。

(2)構(gòu)建代理模型并驗(yàn)證和確認(rèn)。①利用協(xié)同模型篩選出的m個(gè)樣本點(diǎn)分別構(gòu)建響應(yīng)面模型、徑向基函數(shù)模型和Kriging模型；②使用代理模型的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)判斷和確定最優(yōu)代理模型；③通過(guò)計(jì)算得到各個(gè)樣本點(diǎn)處的響應(yīng)值。

(3)構(gòu)建MDO問(wèn)題的優(yōu)化模型并求解。①利用得到的相關(guān)數(shù)據(jù)和選定的最優(yōu)代理模型構(gòu)建MDO問(wèn)題的優(yōu)化模型；②使用基于梯度的優(yōu)化方法求解MDO問(wèn)題，本研究中采用SQP法。

圖1 CMSO方法流程圖Fig.1 Flow chart of the CMSO method

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 數(shù)學(xué)算例

為了測(cè)試CMSO法的效果，選取了一個(gè)非常經(jīng)典的MDO數(shù)學(xué)算例[15]，該算例是評(píng)估MDO方法性能的常用算例之一，這里對(duì)目標(biāo)函數(shù)f和耦合狀態(tài)變量y2進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男薷?。該算例包括兩個(gè)互相耦合的子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)都有一個(gè)耦合狀態(tài)變量和一個(gè)約束條件，子系統(tǒng)劃分如圖2所示，其數(shù)學(xué)表述如下：

s.t.g1=y1/3-1≥0g2=1-y2/30≥0 0≤x1≤10 0≤x2≤10 0≤x3≤10

圖2 數(shù)學(xué)算例子系統(tǒng)劃分Fig.2 Mathematical example system division

利用CMSO法求解這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，首先采用LHS隨機(jī)生成104個(gè)樣本點(diǎn)來(lái)構(gòu)建協(xié)同模型，選取100個(gè)D值較小的樣本點(diǎn)并升序排列，把這100個(gè)點(diǎn)分為三部分，第1～80是訓(xùn)練集，第81～90是驗(yàn)證集，第91～100是測(cè)試集。協(xié)同抽樣的樣本點(diǎn)分布如圖3所示。前80個(gè)樣本用于y1和y2的RSM、RBF和Kriging模型的構(gòu)建，驗(yàn)證集用于評(píng)估代理模型，采用交叉驗(yàn)證法對(duì)模型的性能進(jìn)行了估計(jì)。最后10個(gè)點(diǎn)用于計(jì)算代理模型的MAD、MAE和RMSE，代理模型的交叉驗(yàn)證誤差如表1所示。表2給出了代理模型的測(cè)試結(jié)果，可以看出，RSM方法比其他兩種方法具有更高的精度。本研究采用RSM模型來(lái)構(gòu)建MDO優(yōu)化模型。

圖3 協(xié)同抽樣的樣本點(diǎn)分布圖Fig.3 Distribution of collaboration sampling points

表1 代理模型的交叉驗(yàn)證誤差

表2 代理模型的測(cè)試結(jié)果

為了更好地體現(xiàn)CMSO法對(duì)該問(wèn)題求解的準(zhǔn)確性和高效性，分別采用了CMSO法和IDF法對(duì)該算例進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，求得的結(jié)果列于表3。從表3中可以看出，CMSO法和IDF法都能求得該問(wèn)題的最優(yōu)解7.982 4，體現(xiàn)了CMSO法擁有與IDF法一樣的求解精度，設(shè)計(jì)變量和狀態(tài)變量的值也是一樣，說(shuō)明求得的解完全滿(mǎn)足多學(xué)科一致性。CMSO法對(duì)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)是46，而IDF法需要153次，CMSO法相對(duì)于IDF法需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)明顯要少，并且更快收斂，由圖4迭代收斂曲線也同樣可以看出CMSO法比IDF法更快收斂到最優(yōu)滿(mǎn)意解，這體現(xiàn)了CMSO法在求解這個(gè)問(wèn)題上比IDF法更高效。通過(guò)對(duì)這個(gè)經(jīng)典的MDO數(shù)學(xué)算例的成功求解驗(yàn)證了CMSO法的準(zhǔn)確性與高效性。

表3 CMSO與IDF求解數(shù)學(xué)算例的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖4 CMSO與IDF求解數(shù)學(xué)算例迭代收斂曲線Fig.4 Iterative convergence curve of CMSO and IDF solving mathematical examples

4.2 圓柱螺旋壓縮彈簧設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證CMSO法對(duì)求解工程實(shí)例的有效性，選取圓柱彈簧設(shè)計(jì)[16-17]這個(gè)工程應(yīng)用案例進(jìn)行測(cè)試與分析。圖5為圓柱螺旋壓縮彈簧的結(jié)構(gòu)示意圖。該優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)目標(biāo)是在滿(mǎn)足實(shí)際使用中對(duì)強(qiáng)度和剛度的要求下使其質(zhì)量最小，3個(gè)設(shè)計(jì)變量分別為：彈簧絲的直徑d0、彈簧的中徑D0、彈簧的總?cè)?shù)n0。

圖5 圓柱螺旋壓縮彈簧結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic of cylindrical spiral compression spring

將該優(yōu)化問(wèn)題劃分為質(zhì)量、剛度和強(qiáng)度3個(gè)子系統(tǒng)，優(yōu)化模型表述如下：

其中，r(x)為剛度子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)；s(x)為強(qiáng)度子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)；m(x)為質(zhì)量子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)；g1為旋繞比約束；g2～g5分別為彈簧的穩(wěn)定性約束、無(wú)共振約束、剛度條件約束和強(qiáng)度條件約束；其他螺旋壓縮彈簧設(shè)計(jì)的相關(guān)參數(shù)取值或范圍如表4所示。

表4 圓柱螺旋壓縮彈簧設(shè)計(jì)的相關(guān)參數(shù)取值或范圍

圖6 圓柱螺旋壓縮彈簧優(yōu)化框架圖Fig.6 Optimization frame diagram of cylindrical spiral compression spring

利用CMSO法求解這個(gè)工程應(yīng)用實(shí)例，求解的流程與前文數(shù)學(xué)算例相同，這里就不再贅述。針對(duì)這個(gè)實(shí)例，本研究采用協(xié)同抽樣同樣抽取100個(gè)點(diǎn)，得到的樣本點(diǎn)分布見(jiàn)圖7，同時(shí)采用RSM模型來(lái)構(gòu)建MDO優(yōu)化模型。為了驗(yàn)證CMSO法對(duì)求解工程實(shí)例的有效性和更好地體現(xiàn)CMSO法對(duì)該問(wèn)題求解的準(zhǔn)確性和高效性，同樣分別采用了CMSO法和IDF法對(duì)該實(shí)例進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，求得的結(jié)果列于表5。從表5中可以得到，CMSO法求得該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值是2.051 3，比IDF方法求得的目標(biāo)函數(shù)值2.068 2小，表明CMSO法在求解這個(gè)問(wèn)題上比IDF法更加準(zhǔn)確，驗(yàn)證了CMSO法對(duì)求解工程實(shí)例的有效性。CMSO法收斂時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)是118，而IDF法需要127次，CMSO法相對(duì)于IDF法對(duì)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)也要少，并且更快收斂，從圖8中迭代收斂曲線也同樣可以看出CMSO法比IDF法更快收斂到最優(yōu)滿(mǎn)意解，從而體現(xiàn)了CMSO法在求解這個(gè)問(wèn)題上比IDF法更高效。通過(guò)對(duì)這個(gè)工程實(shí)例的求解，不僅驗(yàn)證了CMSO法求解工程實(shí)例的有效性，同時(shí)也成功驗(yàn)證了CMSO法的準(zhǔn)確性與高效性。

圖7 協(xié)同抽樣的樣本點(diǎn)分布圖Fig.7 Distribution of collaboration sampling points

表5 CMSO與IDF求解圓柱彈簧設(shè)計(jì)的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖8 CMSO與IDF求解圓柱彈簧設(shè)計(jì)迭代收斂曲線圖Fig.8 Iterative Convergence Curve Diagram of CMSO and IDF Solving Column Spring Design

5 結(jié)論

本研究提出了一種基于協(xié)同近似的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，主要是通過(guò)一種協(xié)同模型來(lái)選擇滿(mǎn)足多學(xué)科可行的樣本點(diǎn)，然后通過(guò)這些樣本點(diǎn)構(gòu)建3種代理模型，并進(jìn)行代理模型的驗(yàn)證和確認(rèn)，之后選擇最佳的代理模型來(lái)進(jìn)行優(yōu)化求解。本研究提出的CMSO方法具有以下特點(diǎn)：①通過(guò)協(xié)同模型篩選出更能反映多學(xué)科問(wèn)題本身屬性的樣本，保持多學(xué)科的一致性；②通過(guò)構(gòu)建代理模型并驗(yàn)證和確認(rèn)，避免了復(fù)雜耗時(shí)的多學(xué)科分析，從而提高計(jì)算效率。實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，和IDF法相比，CMSO法求解精度高、迭代次數(shù)少和收斂快，是一種有效的MDO方法。

進(jìn)一步的工作是對(duì)CMSO法的性能進(jìn)行更加全面的研究，考慮與其他典型的MDO方法(MDF、CSSO、CO等)作比較，體現(xiàn)CMSO法的高效性。