李 慧，儲匯連，趙啟亮，劉 越

(長春工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，長春 130012)

近年來，無刷直流電機(jī)(BLDCM)的穩(wěn)定運(yùn)行已引起人們廣泛關(guān)注, 該類電機(jī)在某些特定參數(shù)條件下會產(chǎn)生混沌現(xiàn)象[1]，因其非周期和不可預(yù)測性[2-3]，被認(rèn)為是錯誤或故障而誤處理，導(dǎo)致電機(jī)損毀，進(jìn)而影響整個工程的運(yùn)行. 為避免混沌發(fā)生，研究人員提出了有效控制策略，如滑?？刂品╗4]、 反饋控制法[5]和自適應(yīng)模糊控制法[6]，從而實現(xiàn)了該類系統(tǒng)的同步算法研究與控制[7-9]. 但上述方法主要基于理論仿真，且控制器的設(shè)計較復(fù)雜，在實際工程中不易實現(xiàn).

本文提出反推同步控制方法，實現(xiàn)2個BLDCM的同步控制，從而實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步運(yùn)行. 首先，基于BLDCM負(fù)載運(yùn)行狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型，分析該系統(tǒng)的混沌動力特性; 其次，基于Lyapunov穩(wěn)定性原理，設(shè)計反推同步控制器并進(jìn)行穩(wěn)定性研究; 最后，設(shè)計基于電流轉(zhuǎn)換器的BLDCM電路仿真器. 數(shù)值仿真及電路實現(xiàn)表明，該控制器的設(shè)計參數(shù)較少，在2～4 s即可實現(xiàn)快速穩(wěn)定同步，且能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1 BLDCM模型及混沌特性

d-q坐標(biāo)下的BLDCM數(shù)學(xué)模型[10]為

(1)

其中，id和iq分別為直軸和交軸定子電流，ud和uq分別為直軸和交軸定子電壓，TL為外部扭矩，φ為轉(zhuǎn)子永磁磁鏈，Rs為定子電阻，n為極對數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量，b為阻尼系數(shù). 假設(shè)電機(jī)系統(tǒng)氣隙均勻，并對系統(tǒng)進(jìn)行線性映射與時間尺度變換[10]可得

(2)

其中，γ為自由參數(shù)，σ=bτ/J為系統(tǒng)參數(shù).

圖1 的相軌跡曲線Fig.1 Phase trajectories of

圖2 Hopf分岔圖Fig.2 Hopf bifurcation diagram

2 反推同步算法

2.1 反推同步控制器的設(shè)計

本文設(shè)計了反推同步控制器實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，具體過程如下.

(3)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(4)

誤差方程為

(5)

對誤差方程求導(dǎo)可得

(6)

為保證驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)實現(xiàn)同步控制，設(shè)計控制器方程為

(7)

2.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

當(dāng)電機(jī)負(fù)載運(yùn)行時，若控制器滿足方程(7)，則驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)全局一致漸近穩(wěn)定且誤差漸近趨于零.

(8)

將式(6)代入式(8)可得

(9)

因此

(10)

即V有界，系統(tǒng)全局一致漸近穩(wěn)定.

由于V有界，根據(jù)Barbalat推論可得

即系統(tǒng)誤差漸近趨于零. 因此，驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)可實現(xiàn)同步.

3 仿真分析及電路實現(xiàn)

3.1 仿真分析

圖3 BLDCM混沌同步仿真模型Fig.3 Model of BLDCM chaotic synchronization simulation

圖4 (x1,x2)，(y1,y2) 和(z1，z2)隨時間t的變化曲線Fig.4 Cureves of (x1,x2)，(y1,y2) and (z1,z2) with time t

圖3中的S-函數(shù)1表示驅(qū)動系統(tǒng)，S-函數(shù)2表示響應(yīng)系統(tǒng)，A1～A10表示加法器，S1～S3表示示波器，G1～G3表示增益，C1和C2為2個常數(shù)，P1～P4為乘法器，I1和I2為2個積分器.

由于驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)的初始條件不同，因此初始狀態(tài)運(yùn)行軌跡不同步. 由圖4可見，3個狀態(tài)變量均在2～4 s即可實現(xiàn)快速穩(wěn)定同步，響應(yīng)速度較快. 該反推控制器設(shè)計簡單，可使BLDCM實現(xiàn)快速同步，并保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行.

3.2 電路實現(xiàn)

電路仿真平臺的搭建主要以電壓模式電路為主[12-13]，存在如下問題: 1) 產(chǎn)生的信號頻譜范圍較窄，在實際工程中不易實現(xiàn)； 2) 當(dāng)處理大信號時，輸出電壓信號的轉(zhuǎn)換速率較低； 3) 在高集成電路設(shè)計過程中，采用高功耗、 小尺寸元件會使器件的內(nèi)部電場增強(qiáng)，影響器件正常工作. 基于CCCⅡ設(shè)計的仿真器可解決上述問題，且設(shè)計簡單，易實現(xiàn). 因此，采用CCCⅡ搭建BLDCM電路仿真平臺，觀察混沌與同步現(xiàn)象，具有快速、 寬頻、 低功耗和低電壓等特點.

根據(jù)驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)，選取運(yùn)算放大器AD844和四象限乘法器/除法器AD734AN為關(guān)鍵器件. 設(shè)其他參數(shù)值為

C1=C2=C3=10 nF，

R1=R4=R8=R12=1 kΩ，

R2=R3=R5=R10=R19=100 kΩ，

R6=R11=R17=R18=10 kΩ，

R7=100.1 kΩ，R13=4.672 kΩ，R14=0.25 kΩ，

R15=R16=2.5 kΩ，R9=0.2 kΩ.

為驗證理論分析及數(shù)值仿真結(jié)果，利用Multisim平臺設(shè)計仿真器電路，如圖5所示. 其仿真結(jié)果如圖6所示. 由圖6可見，驅(qū)動系統(tǒng)(3)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)可實現(xiàn)同步，電路仿真與數(shù)值仿真結(jié)果一致，因此該同步電路設(shè)計正確.

圖5 BLDCM混沌系統(tǒng)同步電路Fig.5 Synchronous circuit of BLDCM chaotic system

圖6 x1和x2的同步電路仿真結(jié)果Fig.6 Results of synchronous circuit simulation for x1 and x2

綜上，本文從相位圖、 分岔圖和Lyapunov指數(shù)分析了BLDCM的混沌動力特性，并基于Lyapunov穩(wěn)定性原理設(shè)計了反推同步控制器. 通過數(shù)值分析與仿真器電路實現(xiàn)，驗證了該方法在2～4 s即可快速穩(wěn)定地實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步跟蹤. 由于反推同步控制器的調(diào)整參數(shù)較少，設(shè)計簡便，且狀態(tài)變量由系統(tǒng)獲得，因此在工程上易實現(xiàn).