金 鑫，王正肖，葉建芳，潘曉弘

(1.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué) 華南工業(yè)技術(shù)研究院，廣東 廣州 510700)

0 引言

按訂單裝配(Assemble to Order, ATO)生產(chǎn)系統(tǒng)的庫存控制問題屬于隨機(jī)庫存控制[1-3]，從數(shù)學(xué)建模的角度來說，則屬于隨機(jī)離散線性規(guī)劃[4-5]。DE KOK等[6]提供了一個(gè)對(duì)于ATO生產(chǎn)系統(tǒng)庫存控制早期研究的全面綜述(截止至2003年)。Zümbül等[7]則給出了ATO生產(chǎn)系統(tǒng)庫存控制研究進(jìn)度的一個(gè)簡(jiǎn)單整理。

由于ATO系統(tǒng)的復(fù)雜性，關(guān)于它的最優(yōu)控制策略形式目前只有一些較簡(jiǎn)單的結(jié)論[8-11]。多數(shù)研究集中在給定的控制策略形式(包括庫存補(bǔ)貨策略和庫存分配策略)下求解各種性能指標(biāo)(如訂單滿足率、缺貨隊(duì)列分布、單位時(shí)間庫存總成本等)的表達(dá)式，并進(jìn)一步求解出控制策略中的最優(yōu)參數(shù)[12-14]。

在ATO系統(tǒng)庫存控制的研究中，庫存水平、現(xiàn)有庫存和庫存位值是3個(gè)容易混淆的系統(tǒng)狀態(tài)變量。其中，現(xiàn)有庫存是指企業(yè)倉(cāng)庫中實(shí)際存放的每個(gè)零部件的庫存數(shù)量，庫存水平是現(xiàn)有庫存與滿足所有產(chǎn)品缺貨所需的零部件數(shù)量之間的差值，庫存位值是庫存水平與在途庫存的總和?？梢?，現(xiàn)有庫存是直接產(chǎn)生庫存持有成本的系統(tǒng)狀態(tài)變量，而庫存位值則是高層的、全局性的系統(tǒng)狀態(tài)變量。常見的庫存補(bǔ)貨策略均是通過控制庫存位值來間接控制現(xiàn)有庫存(同時(shí)也會(huì)間接控制產(chǎn)品缺貨)，進(jìn)而影響系統(tǒng)性能。如在(s，S)策略中，控制參數(shù)s與S均是庫存位值，而在(r，nQ)策略中，再訂貨點(diǎn)r也是庫存位值。

本文研究庫存補(bǔ)貨策略為(r，nQ)策略、產(chǎn)品需求到來和零部件補(bǔ)貨提前期均隨機(jī)的ATO系統(tǒng)。此時(shí)，系統(tǒng)任意時(shí)刻的庫存位值是一個(gè)隨機(jī)變量。若系統(tǒng)存在平穩(wěn)狀態(tài)，則其各種性能指標(biāo)均與庫存位值的平穩(wěn)分布有關(guān)，因此研究庫存位值的平穩(wěn)分布是進(jìn)行系統(tǒng)性能優(yōu)化的第一步。在采用(r，nQ)策略的MTS系統(tǒng)中，一個(gè)經(jīng)典的結(jié)論是：平穩(wěn)時(shí)庫存位值的分布是全空間(即r+1,r+2,…,r+Q)上的均勻分布(參見Sven[1]中的Proposition 5.1)。由于ATO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得(r，nQ)策略下ATO系統(tǒng)庫存位值的平穩(wěn)分布比按庫存生產(chǎn)(Make to Stock, MTS)系統(tǒng)更為復(fù)雜。

ATO系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布的研究難點(diǎn)在于：①具有不同裝配物料清單(Bill of Material,BOM)結(jié)構(gòu)的ATO系統(tǒng)，其庫存位值的分布空間結(jié)構(gòu)也不同；②在一個(gè)典型的ATO系統(tǒng)中，有些零部件會(huì)用于多種產(chǎn)品的裝配(即存在通用零部件)，這些產(chǎn)品的需求會(huì)對(duì)通用零部件的庫存位值產(chǎn)生疊加影響；③當(dāng)庫存位值的平穩(wěn)分布存在不同的分布規(guī)律時(shí)，需要提供只基于結(jié)構(gòu)參數(shù)的、簡(jiǎn)單有效的判定方法。由于上述難點(diǎn)，目前學(xué)界對(duì)ATO系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布的研究尚不成熟。其中，Song[15]首先證明了當(dāng)庫存位值的變化服從不可約、非周期的馬爾可夫過程時(shí)，其平穩(wěn)分布為全空間均勻分布。這一結(jié)論是對(duì)MTS系統(tǒng)庫存位值平穩(wěn)分布規(guī)律的研究成果的推廣。然而，馬爾可夫過程的不可約性不能直接從系統(tǒng)的BOM結(jié)構(gòu)和庫存補(bǔ)貨策略中判斷。Feng等[16]將該馬爾可夫過程的不可約性的判定轉(zhuǎn)化為對(duì)一系列線性同余方程組的有解性的判定，從而第一次提出了通過ATO系統(tǒng)的BOM結(jié)構(gòu)和庫存補(bǔ)貨策略判定其庫存位值的平穩(wěn)分布的方法。

此后，學(xué)者們都假設(shè)庫存位值的平穩(wěn)分布為全空間上的均勻分布。如，Lu[17]用概率母函數(shù)法研究了產(chǎn)品需求服從更新過程、采取(r，nQ)策略的ATO系統(tǒng)，并研究了產(chǎn)品需求和補(bǔ)貨提前期的波動(dòng)性變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。Feng等[18]研究了(r，nQ)策略和先到先得(First Come First Served，F(xiàn)CFS)策略下的組裝系統(tǒng)的產(chǎn)品期望缺貨的表達(dá)式。但斌等[19]研究了采用準(zhǔn)時(shí)制生產(chǎn)和(r，nQ)策略的混合補(bǔ)貨策略的ATO系統(tǒng)，表明了企業(yè)對(duì)何種類型的零部件采用準(zhǔn)時(shí)制生產(chǎn)補(bǔ)貨方式能夠降低供應(yīng)鏈庫存成本。Zhao[20]研究了(r，nQ)策略和FCFS策略下、零部件補(bǔ)貨提前期為一般分布的ATO系統(tǒng)，得到了它的單位時(shí)間庫存成本的表達(dá)式。而Reiman等[21]證明了雖然獨(dú)立的(r，nQ)策略一般只是ATO系統(tǒng)的次優(yōu)庫存補(bǔ)貨策略，然而其在效率上的損失被零部件的補(bǔ)貨提前期的波動(dòng)性所控制。當(dāng)全空間均勻分布的假設(shè)不成立時(shí)，上述研究結(jié)論都需重新審視。

目前的研究尚有很多不充分之處，而一個(gè)完整的研究應(yīng)包括如下方面：①確定庫存位值的平穩(wěn)分布規(guī)律的所有可能的情況；②針對(duì)庫存位值不同分布規(guī)律情況的只基于結(jié)構(gòu)參數(shù)的、簡(jiǎn)單有效的判定方法；③庫存位值的不同分布規(guī)律對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

本文將對(duì)上述3個(gè)問題給出一個(gè)初步的結(jié)論。針對(duì)第①個(gè)問題，證明了ATO系統(tǒng)庫存位值的平穩(wěn)分布只可能是全空間均勻分布或者是在某個(gè)子空間上均勻分布這兩種情況，并證明了這些子空間之間是同構(gòu)的；針對(duì)第②個(gè)問題，給出了一個(gè)全空間均勻分布的判定方法。與Feng等[16]不同，該方法本質(zhì)上只需要求出一組線性同余方程組的解數(shù)即可，且還能求解出當(dāng)平穩(wěn)分布為子空間上均勻分布時(shí)，該子空間的狀態(tài)個(gè)數(shù)；針對(duì)第③個(gè)問題，給出了庫存分配策略為FCFS策略的情況下，使得單位時(shí)間庫存總成本在各個(gè)子空間中都相等的充分條件，并通過近似表達(dá)式和仿真分析研究了在FCFS策略和先準(zhǔn)備好先得(First Ready First Served，F(xiàn)RFS)策略下，當(dāng)系統(tǒng)不滿足該充分條件時(shí)，各子空間上的單位時(shí)間庫存總成本的差異。

1 模型的基本概念、結(jié)構(gòu)參數(shù)和基礎(chǔ)假設(shè)

本節(jié)首先對(duì)ATO系統(tǒng)的一些重要概念給出簡(jiǎn)要的解釋。

(1)物料清單(BOM) 是建造、制造或維修產(chǎn)品或服務(wù)所需的原材料、零部件和操作指南的詳細(xì)列表。本文中涉及的BOM主要指產(chǎn)品的裝配BOM。每種產(chǎn)品的裝配BOM是指裝配中需要用到的各零部件的數(shù)量，通常用向量表示。此時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的裝配BOM可用矩陣表示。

(2)通用零部件 多種產(chǎn)品的裝配都需要的零部件。

(3)庫存補(bǔ)貨策略 確定零部件何時(shí)補(bǔ)貨、補(bǔ)貨批量大小的庫存控制策略。

(4)庫存分配策略 確定產(chǎn)品需求何時(shí)滿足、滿足多少的庫存控制策略。

(5)現(xiàn)有庫存 企業(yè)倉(cāng)庫中實(shí)際存放的每個(gè)零部件的庫存數(shù)量。

(6)在途庫存 已經(jīng)訂貨，但尚未到達(dá)目的地、正處于運(yùn)輸狀態(tài)或等待運(yùn)輸狀態(tài)的庫存。

(7)產(chǎn)品缺貨 已到來但未被滿足的產(chǎn)品需求數(shù)量。

(8)庫存水平 現(xiàn)有庫存減去滿足所有產(chǎn)品缺貨所需的零部件數(shù)量即為庫存水平。

(9)零部件缺貨 庫存水平取負(fù)后的絕對(duì)值為零部件缺貨。

(10)庫存位值 每個(gè)零部件的庫存位值等于其庫存水平加上其在途庫存。

(11)平穩(wěn)分布 一般而言，平穩(wěn)分布是指隨機(jī)過程中不受某些算子影響的特定的概率分布。特別的，馬爾科夫過程的平穩(wěn)分布是這樣一類概率分布，若以它為初始分布，則該過程的有窮維分布是推移不變的。

(12)全空間 在(r，nQ)策略下，系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，庫存位值的所有可能取值所組成的空間。

下面給出刻畫ATO庫存系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

(1)BOM結(jié)構(gòu)

(2)各項(xiàng)成本

在任何時(shí)刻，零部件i導(dǎo)致的庫存持有成本與其現(xiàn)有庫存成正比，產(chǎn)品j導(dǎo)致的缺貨成本與其產(chǎn)品缺貨成正比，零部件i的訂貨成本與其訂貨次數(shù)成正比。其中，零部件i的單個(gè)現(xiàn)有庫存的單位時(shí)間庫存持有成本為hi，產(chǎn)品j的單個(gè)缺貨的單位時(shí)間缺貨成本為bj，零部件i的單次訂貨成本為ui。

(3)零部件的補(bǔ)貨提前期與產(chǎn)品的需求到來過程

當(dāng)零部件i的補(bǔ)貨提前期是確定值時(shí)，用Li表示，它們可以各不相同。當(dāng)零部件i的補(bǔ)貨提前期是一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，用li表示，它們之間以及它們與系統(tǒng)狀態(tài)之間相互獨(dú)立。不同零部件的補(bǔ)貨提前期可以服從不同的分布規(guī)律。不同產(chǎn)品的需求到來過程之間相互獨(dú)立，產(chǎn)品的需求到來過程與系統(tǒng)狀態(tài)之間相互獨(dú)立。

(4)庫存控制策略

ATO系統(tǒng)中的庫存控制策略包括庫存補(bǔ)貨策略和庫存分配策略。

在本文的研究中，假設(shè)采用(r，nQ)策略來管理零部件的庫存補(bǔ)貨。此時(shí)，零部件i相應(yīng)的控制參數(shù)為ri和Qi。記

與本文研究有關(guān)的庫存分配策略有FCFS策略和FRFS策略。FCFS策略將零部件的現(xiàn)有庫存按產(chǎn)品需求到來的時(shí)間順序進(jìn)行分配，并且已分配的零部件庫存無法被之后的產(chǎn)品需求使用。FRFS策略將零部件的現(xiàn)有庫存按產(chǎn)品需求到來的時(shí)間順序進(jìn)行分配，并且如果某一產(chǎn)品需求無法被立即滿足，則已分配給它的零部件庫存可以被之后的產(chǎn)品需求使用。

2 ATO系統(tǒng)庫存位值分布規(guī)律分析

本節(jié)主要分析ATO系統(tǒng)庫存位值的分布規(guī)律。

引理1狀態(tài)IP可到達(dá)狀態(tài)IP′等價(jià)于?x∈Nn,y∈Nm，使得IP-Ax+Θy=IP′。

證明由(r，nQ)策略的性質(zhì)易知。

引理2若狀態(tài)IP可到達(dá)狀態(tài)IP′，則狀態(tài)IP與狀態(tài)IP′相通。

證明見附錄。

定理1IP的整個(gè)狀態(tài)空間被分成若干個(gè)(1個(gè)或多個(gè))相互隔離的子空間，每個(gè)子空間內(nèi)部的各狀態(tài)是相通的。

證明由引理2易知。

引理3IP的任意兩個(gè)子空間之間同構(gòu)且子空間內(nèi)各狀態(tài)是對(duì)稱的。

證明見附錄。

引理4IP的邊際分布(即第i個(gè)零部件的IPi分布，i=1,2,…,m)在任何一個(gè)子空間中都相同且都為均勻分布。

證明見附錄。

定理2系統(tǒng)平穩(wěn)時(shí)，IP的聯(lián)合分布為在某個(gè)子空間上的均勻分布。(若只有一個(gè)子空間，則為全空間上的均勻分布)

證明因?yàn)樵谌我蛔涌臻g上，所有狀態(tài)相通，因此在該空間上的庫存位值的馬爾可夫鏈?zhǔn)怯邢?、非周期、不可約的，所以存在唯一的平穩(wěn)分布。又根據(jù)Song[15]可證明均勻分布為該情況下的一個(gè)平穩(wěn)分布。綜上所述，均勻分布為該情況下的唯一平穩(wěn)分布。

例1考慮一個(gè)包含兩種產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)，其中：產(chǎn)品1由一個(gè)零部件1、一個(gè)零部件2和一個(gè)零部件3裝配而成，產(chǎn)品2由一個(gè)零部件1和兩個(gè)零部件2裝配而成，Q1=Q2=3,Q3=2,r1=r2=r3=2。此時(shí)，經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算就可看出庫存位值的所有狀態(tài)之間都是相通的。因此，系統(tǒng)平穩(wěn)時(shí)，庫存位值的聯(lián)合分布為在全空間上的均勻分布。

例2考慮一個(gè)包含兩種產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)，其中：產(chǎn)品1由一個(gè)零部件1、一個(gè)零部件2和一個(gè)零部件3裝配而成，產(chǎn)品2由一個(gè)零部件1和兩個(gè)零部件2裝配而成，Q1=Q2=Q3=3,r1=r2=r3=2。易知，庫存位值的狀態(tài)空間被分割成如下3個(gè)子空間：

子空間Ⅰ：[5,5,5]、[4,4,4]、[3,3,3]、[5,4,3]、[4,3,5]、[3,5,4]、[5,3,4]、[4,5,3]、[3,4,5]；

子空間Ⅱ：[5,5,4]、[4,4,3]、[3,3,5]、[5,4,5]、[4,3,4]、[3,5,3]、[5,3,3]、[4,5,5]、[3,4,4]；

子空間Ⅲ：[5,5,3]、[4,4,5]、[3,3,4]、[5,4,4]、[4,3,3]、[3,5,5]、[5,3,5]、[4,5,4]、[3,4,3]。

而且，所有狀態(tài)的轉(zhuǎn)化如圖1所示。

圖中：實(shí)箭頭表示狀態(tài)轉(zhuǎn)化是被一個(gè)產(chǎn)品1的需求觸發(fā)的，虛箭頭表示狀態(tài)轉(zhuǎn)化是被一個(gè)產(chǎn)品2的需求觸發(fā)的。

可見，在上述ATO系統(tǒng)中，子空間之間相互分離且同構(gòu)，每個(gè)子空間內(nèi)部各狀態(tài)之間相通。因此，系統(tǒng)平穩(wěn)時(shí)庫存位值的聯(lián)合分布為在某個(gè)子空間上的均勻分布(比如，若系統(tǒng)運(yùn)行的初始狀態(tài)為[4,3,3]，則平穩(wěn)時(shí)庫存位值的聯(lián)合分布為在子空間Ⅲ上的均勻分布)。

將上述結(jié)論與MTS庫存系統(tǒng)對(duì)比之后可以看出：在MTS系統(tǒng)中，庫存位值的分布為全空間上的均勻分布，而在ATO系統(tǒng)中，全空間上的均勻分布只是庫存位值的聯(lián)合分布可能出現(xiàn)的情況之一而已。顯然，當(dāng)庫存位值的聯(lián)合分布為全空間均勻分布時(shí)，系統(tǒng)各項(xiàng)性能指標(biāo)的求解要比其為某個(gè)子空間上的均勻分布時(shí)更為簡(jiǎn)單，因此下一節(jié)將給出庫存位值的聯(lián)合分布為全空間均勻分布的判定方法。

3 全空間均勻分布的判定方法

本章將給出庫存位值的聯(lián)合分布為全空間均勻分布的充分必要條件。

由于定理4是定理3的一個(gè)推廣，因此，要證明這兩個(gè)定理，只需證明定理4即可。

證明見附錄。

由定理3和定理4可以求出任何一個(gè)ATO系統(tǒng)的庫存位值的子空間個(gè)數(shù)。進(jìn)而可以求出平穩(wěn)時(shí)庫存位值的聯(lián)合分布情況。

4 不同子空間中的庫存位值分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的比較研究

當(dāng)平穩(wěn)時(shí)庫存位值的聯(lián)合分布不為全空間上的均勻分布時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行初始狀態(tài)的不同將可能會(huì)導(dǎo)致庫存位值平穩(wěn)分布的子空間的不同，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)性能的不同。本章集中考慮在庫存分配策略為FCFS策略和FRFS策略的情況下，庫存位值在不同的子空間上分布會(huì)對(duì)系統(tǒng)庫存總成本造成的影響。

為便于討論，在以下分析中，均假設(shè)ATO系統(tǒng)的BOM矩陣是0-1矩陣，且產(chǎn)品j的需求到來過程是強(qiáng)度為λj的齊次泊松過程。下面的結(jié)論可以很自然地推廣到任意BOM矩陣及復(fù)合齊次泊松過程的情況。

根據(jù)Zhao[21]和引理4，ATO系統(tǒng)在子空間V上的單位時(shí)間庫存總成本有如下表達(dá)式：

當(dāng)ATO系統(tǒng)采取FCFS策略時(shí)，某一產(chǎn)品的時(shí)段訂單滿足率只取決于裝配它所需要的零部件的庫存水平。因此，在FCFS策略下，對(duì)于某一產(chǎn)品，可以只考慮裝配它的所有零部件的庫存位值的分布規(guī)律，并將定理3、定理4限制到這些零部件上。若限制后的ATO系統(tǒng)滿足判定條件，則該產(chǎn)品的時(shí)段訂單滿足率在各個(gè)子空間上均相同。由于產(chǎn)品的期望缺貨E(B(s))被其時(shí)段訂單滿足率唯一確定，因此若針對(duì)所有產(chǎn)品限制后的ATO系統(tǒng)都滿足判定條件，則它們的期望缺貨在各個(gè)子空間上均相同。再由式(1)可知，所有子空間上系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本cV(r,Q)均相同。

例5考慮一個(gè)兩種產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)，其中，產(chǎn)品1由一個(gè)零部件1和一個(gè)零部件2裝配而成，產(chǎn)品2由一個(gè)零部件2和一個(gè)零部件3裝配而成，Q1=Q3=Q2=2,r1=r2=r3=2。根據(jù)定理4可知該系統(tǒng)的狀態(tài)空間被分成兩個(gè)子空間，其中：

子空間Ⅰ：[4,4,4]、[3,3,4]、[3,4,3]、[4,3,3]；

子空間Ⅱ：[4,4,3]、[3,3,3]、[3,4,4]、[4,3,4]。

雖然原ATO系統(tǒng)的狀態(tài)空間被分成了兩個(gè)相互獨(dú)立的子空間，但是產(chǎn)品1和它的零部件、產(chǎn)品2和它的零部件各自組成的兩個(gè)子系統(tǒng)卻滿足定理3或定理4。因此，該系統(tǒng)在FCFS策略下，產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的期望缺貨在子空間Ⅰ和子空間Ⅱ上是相同的，進(jìn)而系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本也是相同的。

例6考慮一個(gè)有兩個(gè)產(chǎn)品的ATO系統(tǒng)。其中，產(chǎn)品1由一個(gè)零部件1、一個(gè)零部件2、一個(gè)零部件3和一個(gè)零部件4裝配而成，產(chǎn)品2由一個(gè)零部件1和一個(gè)零部件2裝配而成。Q1=Q2=Q3=Q4=2，r1=r2=r3=r4=0。根據(jù)定理4可知，庫存位值的狀態(tài)空間被分割成如下四個(gè)子空間：

子空間Ⅰ：[2,2,2,2]、[1,1,1,1]、[2,2,1,1]、[1,1,2,2]；

子空間Ⅱ：[1,2,2,2]、[2,1,1,1]、[1,2,1,1]、[2,1,2,2]；

子空間Ⅲ：[2,2,2,1]、[1,1,1,2]、[2,2,1,2]、[1,1,2,1]；

子空間Ⅳ：[2,1,1,2]、[1,2,2,1]、[2,1,2,1]、[1,2,1,2]。

對(duì)于產(chǎn)品1，限制后的ATO系統(tǒng)不滿足上述判定條件。

在FCFS策略和(r，nQ)策略下，目前并不存在能求解ATO系統(tǒng)的產(chǎn)品期望缺貨的多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的精確算法，因此，研究的重點(diǎn)集中在求出其近似表達(dá)式。其中，Lu等[23]通過將原系統(tǒng)“拆分”成若干分配系統(tǒng)，并用這些分配系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本的和來作為原系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本的近似。由引理3和引理4可知，“拆分”后的分配系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本的和與子空間的選擇無關(guān)，這也間接表明不同的子空間對(duì)ATO系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本的影響是很小的。

表1 例7中產(chǎn)品1的即時(shí)滿足率隨λL的變化規(guī)律

當(dāng)ATO系統(tǒng)的庫存分配策略采取FRFS策略時(shí)，某一產(chǎn)品的訂單滿足率不僅取決于裝配它所需要的零部件的庫存水平，還取決其他零部件的庫存水平和現(xiàn)有庫存，此時(shí)上述判定方法將會(huì)失效。下面通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就可以看出這一點(diǎn)。

例8考慮例7中的ATO系統(tǒng)。

5 FCFS策略與FRFS策略下不同子空間中產(chǎn)品期望缺貨的仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)前面的證明過程，比較不同子空間對(duì)單位時(shí)間庫存總成本的影響時(shí)，只需要考慮不同子空間對(duì)產(chǎn)品期望缺貨的影響即可。設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，研究FCFS策略和FRFS策略下不同子空間中的產(chǎn)品期望缺貨的不同。這里以產(chǎn)品的期望缺貨為目標(biāo)，以零部件的到達(dá)間隔時(shí)間為變量進(jìn)行仿真。

表2 仿真模型中零部件的相關(guān)參數(shù)

表3 仿真模型中產(chǎn)品的相關(guān)參數(shù)

當(dāng)零部件C4初始庫存位值為[2 2 2 2]時(shí)，該ATO系統(tǒng)平穩(wěn)后的子空間為W1，初始庫存位值為[2 2 2 1]時(shí)的子空間為W2。零部件C4的平均到達(dá)間隔時(shí)間的值為u。通過仿真實(shí)驗(yàn)，研究當(dāng)u變化時(shí)，F(xiàn)CFS策略和FRFS策略下不同子空間中的產(chǎn)品期望缺貨之間相對(duì)差距的變化。對(duì)于每一次實(shí)驗(yàn)，仿真總時(shí)間設(shè)定為70 000單位仿真鐘時(shí)間。設(shè)定仿真鐘時(shí)間前20 000為初始階段，對(duì)20 000～70 000時(shí)間內(nèi)的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。零部件C4的平均到達(dá)間隔時(shí)間u在0.25～2之間每隔0.25取一個(gè)值。在每一次取值下，對(duì)FCFS策略和FRFS策略進(jìn)行50次仿真。仿真結(jié)果如表4和表5所示。將表4和表5中FCFS策略和FRFS策略下不同子空間中的產(chǎn)品期望缺貨的相對(duì)差距繪制折線圖，如圖3和圖4所示。所有仿真中，p值均小于0.000 1。

表4 FCFS策略下不同子空間中產(chǎn)品期望缺貨相對(duì)差距

表5 FRFS策略下不同子空間中產(chǎn)品期望缺貨相對(duì)差距

由圖3和圖4可以看出：

(1)FCFS策略下產(chǎn)品P1的期望缺貨在不同子空間中差距較大，而產(chǎn)品P2的期望缺貨在不同子空間中沒有差別。FRFS策略下產(chǎn)品P1和產(chǎn)品P2的期望缺貨在不同子空間中都有一定的差別。這一結(jié)果印證了第4節(jié)中關(guān)于FCFS策略與FRFS策略下不同產(chǎn)品在不同子空間中期望缺貨差距的討論。

(2)隨著零部件C4的平均到達(dá)間隔時(shí)間的增大，F(xiàn)CFS策略下的產(chǎn)品P1以及FRFS策略下的產(chǎn)品P1、產(chǎn)品P2的期望缺貨的相對(duì)差距均先增大后減小。換句話說，隨著產(chǎn)品的期望缺貨的增大，不同子空間下該產(chǎn)品的期望缺貨的相對(duì)差距先增大后減小。該現(xiàn)象可以這樣理解：當(dāng)零部件C4的平均到達(dá)間隔時(shí)間很小時(shí)，子空間W1和子空間W2中產(chǎn)品的期望缺貨主要取決于另外3種零部件，而這兩個(gè)子空間限制到另外3種零部件上是相同的，因此產(chǎn)品的期望缺貨相差不大。而當(dāng)零部件C4的平均到達(dá)間隔時(shí)間很大時(shí)，子空間W1和子空間W2中產(chǎn)品的期望缺貨主要取決于零部件C4，而這兩個(gè)子空間限制到零部件C4上是相同的，因此產(chǎn)品的期望缺貨相差也不大。

6 結(jié)束語

為了對(duì)一個(gè)ATO系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，需要知道在不同的庫存策略下庫存位值、庫存水平、缺貨、現(xiàn)有庫存和在途庫存等的分布規(guī)律。通常對(duì)庫存系統(tǒng)分析是按照庫存位值、在途庫存、庫存水平、缺貨、現(xiàn)有庫存的從易到難的路徑進(jìn)行的。然而，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得在(r，nQ)策略下ATO系統(tǒng)的庫存位值的分布表現(xiàn)出一些MTS系統(tǒng)所不具有的性質(zhì)。因此，需要首先對(duì)ATO系統(tǒng)平穩(wěn)時(shí)的庫存位值的分布規(guī)律進(jìn)行分析。

本文沿著Song[15]的開創(chuàng)性工作，對(duì)ATO系統(tǒng)的庫存位值分布規(guī)律做了更進(jìn)一步的研究。主要包括以下內(nèi)容：

(1)證明了平穩(wěn)時(shí)ATO系統(tǒng)的庫存位值的分布要么是在全空間上的均勻分布要么是在某個(gè)子空間(取決于運(yùn)行初始狀態(tài))上均勻分布，并證明了子空間之間相互同構(gòu)并且子空間內(nèi)各狀態(tài)對(duì)稱。

(2)Feng等[16]曾給出了一個(gè)判定ATO系統(tǒng)的庫存位值平穩(wěn)分布是否是全空間均勻分布的方法，但該方法需要判定很多個(gè)線性同余方程組的解，因此較復(fù)雜。本文提供一個(gè)新的判定方法，該方法實(shí)質(zhì)上只需要求出一個(gè)線性同余方程組的解的個(gè)數(shù)即可，且該方法還能求出每個(gè)子空間的狀態(tài)的個(gè)數(shù)。

(3)最后通過近似表達(dá)式和仿真分析初步揭示了在FCFS策略和FRFS策略下，不同的ATO系統(tǒng)的庫存位值分布規(guī)律對(duì)其系統(tǒng)性能的影響。

本文的研究表明，在很多情況下，ATO系統(tǒng)庫存位值的平穩(wěn)分布是在某個(gè)子空間上的均勻分布，不同子空間對(duì)于系統(tǒng)性能將會(huì)產(chǎn)生影響。由于初始值的不同將會(huì)導(dǎo)致庫存位值在不同的子空間上分布，因此當(dāng)企業(yè)在進(jìn)行ATO系統(tǒng)的庫存管理時(shí)，不僅需要確定庫存控制策略的最優(yōu)參數(shù)，還要確定系統(tǒng)運(yùn)行的最優(yōu)初始值。

在這一領(lǐng)域，還有很多工作需要完成，主要包括：

(1)建立一種更簡(jiǎn)單、更直接的判定ATO系統(tǒng)的庫存位值平穩(wěn)分布的方法。最好的結(jié)果是判定方法中無需求解方程組，而是可以通過BOM矩陣和補(bǔ)貨矩陣直接求出平穩(wěn)分布的規(guī)律，并通過求解能得到子空間內(nèi)部更細(xì)致的性質(zhì)。

(2)本文只在FCFS和FRFS策略下對(duì)不同子空間的ATO系統(tǒng)的單位時(shí)間庫存總成本這一指標(biāo)進(jìn)行了分析，更進(jìn)一步需要研究不同庫存分配策略下不同子空間中的各種性能指標(biāo)(如訂單滿足率、缺貨隊(duì)列分布、現(xiàn)有庫存分布等)的表現(xiàn)差異隨各參量的變化規(guī)律，最好能給出差值的近似上下限公式。