胡巧

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中兩大基礎(chǔ)概念，把刻劃數(shù)量關(guān)系的數(shù)和具體直觀的圖形有機(jī)結(jié)合，將抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合，根據(jù)研討問(wèn)題的需要，把數(shù)量關(guān)系的比較轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)或其位置關(guān)系的討論，或把圖形間的待定關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)元素的數(shù)量計(jì)算，即數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)換、相互作用，進(jìn)而探求問(wèn)題的解答就是數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想方法能揚(yáng)數(shù)之長(zhǎng)、取形之優(yōu)，使得“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”珠連壁合，相映生輝。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究中最古老的，也是最本質(zhì)的兩個(gè)側(cè)面。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法。一方面，許多數(shù)量關(guān)系、抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常直觀;另一方面，一些圖形的屬性，若通過(guò)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，會(huì)使得圖形的性質(zhì)更豐富，更深刻。數(shù)形結(jié)合的思維與方法也是考試中重點(diǎn)考察的思維能力之一。巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀，易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。尤其在解選擇題、填空題時(shí)更顯其優(yōu)越。

一、在理解算理過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。但在教學(xué)中很多老師忽視了引導(dǎo)學(xué)生理解算理，尤其在課改之后，老師們注重了算法多樣化，在計(jì)算方法的研究上下了很大功夫，卻更加忽視了算理的理解。我們應(yīng)該意識(shí)到，算理就是計(jì)算方法的道理，學(xué)生不明白道理又怎么能更好的掌握計(jì)算方法呢？在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，正所謂“知其然、知其所以然?！备鶕?jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，引導(dǎo)學(xué)生理解算理的策略也是不同的，我認(rèn)為數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生理解算理的一種很好的方式。

（一）“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué)片段

課始創(chuàng)設(shè)情境：我們學(xué)校暑假期間粉刷了部分教室（出示粉刷墻壁的畫(huà)面），提出問(wèn)題：裝修工人每小時(shí)粉刷這面墻的1/5，1/4小時(shí)可以這面墻的幾分之幾？

在引出算式1/5×1/4后，教師采用三步走的策略：第一，學(xué)生獨(dú)立思考后用圖來(lái)表示出1/5×1/4這個(gè)算式。第二，小組同學(xué)相互交流，優(yōu)生可以展示自己畫(huà)的圖形，交流自己的想法，引領(lǐng)后進(jìn)生。后進(jìn)生受到啟發(fā)后修改自己的圖形，更好地理解1/5×1/4這個(gè)算式所表示的意義。第三，全班點(diǎn)評(píng)，請(qǐng)一些畫(huà)得好的同學(xué)去展示、交流。也請(qǐng)一些畫(huà)得不對(duì)的同學(xué)談?wù)勛约旱膯?wèn)題以及注意事項(xiàng)。

這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的過(guò)程，學(xué)生就會(huì)看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。如果教師的教學(xué)流于形式，學(xué)生的腦中就不會(huì)真正地建立起“數(shù)和形”的聯(lián)系。

（二）“有余數(shù)除法”教學(xué)片段

課始創(chuàng)設(shè)情境：9根小棒，能搭出幾個(gè)正方形？要求學(xué)生用除法算式表示搭正方形的過(guò)程。

生：9÷4

師：結(jié)合圖我們能說(shuō)出這題除法算式的商嗎？

生：2，可是兩個(gè)搭完以后還有1根小棒多出來(lái)。

師反饋板書(shū)：9÷4=2……1，講解算理。

師：看著這個(gè)算式，教師指一個(gè)數(shù)，你能否在小棒圖中找到相對(duì)應(yīng)的小棒？

……

通過(guò)搭建正方形，大家的腦像圖就基本上形成了，這時(shí)教師作了引導(dǎo)，及時(shí)抽象出有余數(shù)的除法的橫式、豎式，溝通了圖、橫式和豎式各部分之間的聯(lián)系。這樣，學(xué)生有了表象能力的支撐，有了真正地體驗(yàn)，直觀、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余數(shù)除法的豎式計(jì)算模型。學(xué)生學(xué)得很輕松，理解得也比較透徹。

二、在教學(xué)新知中滲透數(shù)形結(jié)合思想。

在教學(xué)新知時(shí)，不少教師都會(huì)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)題意理解不透徹、不全面，尤其是到了高年級(jí)，隨著各種已知條件越來(lái)越復(fù)雜，更是讓部分學(xué)生“無(wú)從下手”?；诖?，把從直觀圖形支持下得到的模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對(duì)題意的理解。

以“連除應(yīng)用題”教學(xué)片段為例：

課一開(kāi)始，教師呈現(xiàn)了這樣一道例題：“有30個(gè)桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個(gè)？”請(qǐng)學(xué)生嘗試解決時(shí)，教師要求學(xué)生在正方形中表示出各種算式的意思。學(xué)生們經(jīng)過(guò)思考交流，呈現(xiàn)了精彩的答案。

30÷2÷3，學(xué)生畫(huà)了右圖：先平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。

30÷3÷2，學(xué)生畫(huà)了右圖：先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。

30÷（3×2），學(xué)生畫(huà)了右圖：先平均分成6份，再表示出其中的1份。

以上片段，教師要求學(xué)生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫(huà)線段圖基礎(chǔ)上的演變和創(chuàng)造。因?yàn)檎叫问嵌S的，通過(guò)在二維圖中的表達(dá)，讓學(xué)生很容易地表達(dá)出了小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學(xué)生理解。

三、在數(shù)學(xué)練習(xí)題中挖掘數(shù)形結(jié)合思想。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，正確解答應(yīng)用題的有效途徑。它不僅有助于學(xué)生邏輯思維與形象思維協(xié)調(diào)發(fā)展，相互促進(jìn)，提高學(xué)生的思維能力，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)意識(shí)。

（一）三角形面積計(jì)算練習(xí)

人民醫(yī)院包扎用的三角巾是底和高各為9分米的等腰三角形?，F(xiàn)在有一塊長(zhǎng)72分米，寬18分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？

有些學(xué)生列出了算式：72×18÷（9×9÷2），但有些學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出了示意圖，列出72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等幾種算式。

在上面這個(gè)片段中，數(shù)形結(jié)合很好地促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且還有效地防止了學(xué)生的生搬硬套，打開(kāi)了學(xué)生的解題思路，由不會(huì)解答到用多種方法解答，學(xué)生變聰明了。

（二）百分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題練習(xí)

參加乒乓球興趣小組的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，這時(shí)男生占總?cè)藬?shù)的2/3。問(wèn)后來(lái)又加入男生多少人？

先把題中的數(shù)量關(guān)系譯成圖形，再?gòu)膱D形的觀察分析可譯成：若把原來(lái)的總?cè)藬?shù)80人看作5份，則男生占3份，女生占2份，因而推知現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)為6份，加入的男生為6—5=1份，得加入的男生為80÷5=16（人）。

從這題不難看出：“數(shù)”、“形”互譯的過(guò)程。既是解題過(guò)程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運(yùn)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過(guò)程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡(jiǎn)明扼要而巧妙。