包小兵，方虹淋，劉利斌

(1.池州學(xué)院大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院，安徽 池州247000; 2.重慶工程學(xué)院通識學(xué)院，重慶400900; 3.南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧530023)

1.引言

本文考慮如下弱耦合的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組：

其中0 ＜ε ?1是攝動(dòng)參數(shù)，u(x)=(u1(x)，u2(x))T，函數(shù)aii(x)，bij(x)和fj(x)，i，j =1，2，為足夠光滑的函數(shù).假設(shè)存在常數(shù)α，α*，η，使得

基于假設(shè)條件(1.2)-(1.3)，問題(1.1)存在唯一解，且當(dāng)ε →0時(shí)，在x = 0點(diǎn)存在寬度為O(ε|ln ε|)的邊界層.[1]

眾所周知，奇異攝動(dòng)問題來源于工程和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支，例如流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、半導(dǎo)體和化學(xué)反應(yīng)等.[2]一般而言，這類問題所對應(yīng)的微分方程的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)包含小的攝動(dòng)參數(shù)，從而導(dǎo)致很難求出其精確解，尤其是非線性的問題.因此，研究這類問題的有效的數(shù)值方法顯得非常重要.

一直以來，單個(gè)奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程的數(shù)值方法備受許多學(xué)者的關(guān)注.[3]近年來，奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的層適應(yīng)網(wǎng)格方法逐漸引起了學(xué)者們的興趣.CEN在文[1]中考慮了問題(1.1)的Shishkin網(wǎng)格方法，并證明了數(shù)值方法是幾乎一階一致收斂的.Roos和Reibiger[4]考慮了具有單個(gè)攝動(dòng)參數(shù)ε 的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組，證明線性有限元方法在Shishkin網(wǎng)格上是幾乎二階收斂的.作者在文[5]中討論了奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組(1.1)的有限差分格式，并在Shishkin網(wǎng)格上證明了數(shù)值方法是幾乎一階收斂的.針對奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組，LIN?[6]在任意網(wǎng)格上構(gòu)造了一個(gè)迎風(fēng)有限差分格式，并分別在Shishkin網(wǎng)格和Bakhvalov網(wǎng)格上證明了數(shù)值方法的收斂階是O(N-1ln N)和O(N-1) ，其中N表示網(wǎng)格區(qū)間的個(gè)數(shù).O’Riordan和Stynes[7]討論了一類強(qiáng)耦合的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組有限差分方法，并在Shishkin網(wǎng)格上給出了數(shù)值方法的收斂性.Kumar等[8]討論了一類奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的Shishkin網(wǎng)格方法，并給出了相應(yīng)的收斂性分析.

在奇異攝動(dòng)問題的層適應(yīng)網(wǎng)格方法受到廣泛關(guān)注的同時(shí)，奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程的自適應(yīng)網(wǎng)格算法越來越受到許多學(xué)者的青睞[9-14].而關(guān)于奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)網(wǎng)格算法，可參見德國學(xué)者Lin?在2009年發(fā)表的文[15].接著，LIU和CHEN在文[16-17]中分別討論了一類弱耦合和強(qiáng)耦合的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)網(wǎng)格算法，利用多項(xiàng)式插值技術(shù)，給出了離散格式的最大范數(shù)的后驗(yàn)誤差估計(jì)，并以此構(gòu)造了一個(gè)類似于弧長的網(wǎng)格控制函數(shù)及相應(yīng)的網(wǎng)格生成算法.MAO和LIU[18]針對一般的強(qiáng)耦合的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組，構(gòu)造了迎風(fēng)有限差分格式的后驗(yàn)誤差估計(jì)和相應(yīng)的網(wǎng)格生成算法.值得一提的是文[15-18]所提出的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)網(wǎng)格算法都是基于后驗(yàn)誤差估計(jì)和網(wǎng)格等分布原理.如文[10]所述，這種算法屬于全離散的自適應(yīng)網(wǎng)格算法.在文[10，13，19-20]中，基于精確的弧長控制函數(shù)和網(wǎng)格等分布原理，作者研究了單個(gè)奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程的半離散的自適應(yīng)網(wǎng)格算法，并給出了算法的先驗(yàn)誤差估計(jì)和收斂性分析.因此，本文將在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)分析奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組(1.1)的自適應(yīng)網(wǎng)格算法的收斂性.首先，基于標(biāo)準(zhǔn)的迎風(fēng)差分格式，給出相應(yīng)的局部截?cái)嗾`差.然后，利用包含方程精確解的網(wǎng)格控制函數(shù)、網(wǎng)格等分布原理和精確解的穩(wěn)定性估計(jì)，證明了半離散格式的自適應(yīng)網(wǎng)格算法是一階收斂的.最后的數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的理論結(jié)果.

注1.1本文中的C表示與攝動(dòng)參數(shù)ε以及網(wǎng)格參數(shù)N無關(guān)的正常數(shù)，且在不同地方取值不同.對于單個(gè)函數(shù)v(x)，x ∈= [0，1]，定義最大范數(shù)對于向量函數(shù)v(x)=(v1(x)，v2(x))T，定義‖v(x)‖=max{‖v1(x)‖，‖v2(x)‖}，‖v(xi)‖=max{|v1(xi)|，|v2(xi)|}，i=0，1··· ，N.另外，為了方便，對于任意函數(shù)g(x)，記gi=g(xi).

2.預(yù)備知識

在這部分，為了證明問題(1.1)的數(shù)值解的誤差估計(jì)，我們首先列出極大值原理和問題(1.1)的解的穩(wěn)定性.

引理2.1(極大值原理)[1]假設(shè)v(x) 是一個(gè)光滑的函數(shù)，如果對于任意的x ∈Ω，滿足不等式v(0)≥0，v(1)≥0以及L1v ≥0，L2v ≥0，則有v(x)≥0成立.

基于引理2.1中的極大值原理，可進(jìn)一步得到問題(1.1)的解滿足如下穩(wěn)定性結(jié)果:

引理2.2(穩(wěn)定性)[1]基于假設(shè)條件(1.2)-(1.3)，方程組(1.1)的精確解u(x)存在如下穩(wěn)定性估計(jì):

進(jìn)一步，由文[1]的引理3和引理4，可得如下引理:

引理2.3方程組(1.1)的精確解u(x)的k(k =1，2)階導(dǎo)數(shù)滿足如下估計(jì):

3.離散問題和非均勻網(wǎng)格

為了構(gòu)造問題(1.1)的離散格式，將區(qū)間[0，1]分成N個(gè)小區(qū)間，即可構(gòu)造如下的非均勻網(wǎng)格:

其中網(wǎng)格步長hj=xj-xj-1，則在任意非均勻網(wǎng)格N下，問題(1.1)的迎風(fēng)有限差分格式為:

其中Uj=(U1，j，U2，j)T為u(xj)=(u1(xj)，u2(xj))T的近似值，且差分算子定義如下:

對任意的非均勻網(wǎng)格ΩN，如果存在非負(fù)函數(shù)M(·，x)，使得

則稱此非均勻網(wǎng)格ΩN是等分布的，且M(·，x)稱為控制函數(shù).進(jìn)一步，(3.2)可寫為:

一般情況下，對于單個(gè)奇異攝動(dòng)微分方程，最常用的控制函數(shù)為弧長函數(shù)M(u(x)，x) =其中u(x)是單奇異攝動(dòng)問題的精確解.最近，LIU和CHEN[16]以及MAO和LIU[18]構(gòu)造了奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)網(wǎng)格算法，他們構(gòu)造了如下的控制函數(shù):

本文也將選取~M(u(x)，x) 作為控制函數(shù)來構(gòu)造自適應(yīng)網(wǎng)格，即由(3.2)可得，

對于任意的ξ ∈(0，1)，構(gòu)造映射x=x(ξ)∈(0，1)，則有:

因此，網(wǎng)格步長為:

引理3.1對于滿足等分布原理(3.4)的任意一個(gè)網(wǎng)格有

證對于任意的x ∈(0，1)，由引理2.3可以得到弧長

即可得到(3.9)式.

進(jìn)一步，由(3.6)，(3.11)和(3.12)可得

類似地，還可得到:

即完成(3.10)的證明.

4.收斂性分析

顯然，離散格式(3.1)在點(diǎn)xj的局部截?cái)嗾`差分別為:

其中u和Uj分別表示方程組(1.1)和離散格式(3.1)的解.

為了給出截?cái)嗾`差的具體表達(dá)式，我們首先給出下列引理:

引理4.1[18]對于任意的函數(shù)ψ(x)∈?3(，有:

引理4.2設(shè)差分格式(3.1)在點(diǎn)xi的局部截?cái)嗾`差為τi，j，則有:

其中C為與參數(shù)ε無關(guān)的正常數(shù)，0 ＜λ ＜1.

證首先，當(dāng)i=1時(shí)，由泰勒展開可得

對(1.1)的第一個(gè)方程求導(dǎo)，并由(4.6)式和引理3.1可得

進(jìn)一步，由(3.7)和(3.11)，可得

再由引理2.3可得

則顯然有，

與文[10]的引理5.1類似，存在常數(shù)C1和C2，使得:

進(jìn)一步由(4.8)可得

其中0 ＜λ ＜1是與ε，N無關(guān)的，并且

顯然，g(y)是區(qū)間[0，y*]上的增函數(shù)，其中由0 ＜λ ＜1，易知g(y*)≤C，進(jìn)一步有

類似地，當(dāng)i=2時(shí)，可以得到:

下面為了討論數(shù)值解的誤差估計(jì)，首先給出網(wǎng)格函數(shù)的性質(zhì).

引理4.3定義網(wǎng)格函數(shù)Sj=(S1，j，S2，j)T滿足

則對于j =1，2，...，N -1，存在一個(gè)常數(shù)C，使得

證該引理的證明類似于文[19]引理4.4的證明.當(dāng)i=1時(shí)，定義

結(jié)合式(3.1)和(4.13)可得到

由于hj+1/?j≤2，則有

當(dāng)i=2時(shí)，同理可證得

下面的引理給出了網(wǎng)格函數(shù)Sj的上下界.

引理4.4[19]網(wǎng)格函數(shù)滿足

定理4.1令u(x)是方程(1.1)的解，Uj(x)是離散格式(3.1)的解，則

證令ej=(e1，j，e2，j)T=|u(xj)-Uj|為數(shù)值解Uj在x=xj(j =0，1，··· ，N)點(diǎn)的絕對誤差，則由截?cái)嗾`差τi，j與ei，j的關(guān)系可得

進(jìn)一步，由引理4.2-4.4，有

由于e0=eN=0，再由引理3.1和比較原理(見文[10]的引理5.3)可得

由引理4.3中Sj的定義，有

設(shè)攝動(dòng)參數(shù)取值為ε=10-a，其中a是一個(gè)正數(shù)，選擇λ=1/m0，這里m0=max{4，a}，則

故可以得到‖ej‖≤CN-1，即可完成該定理的證明.

5.數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

考慮到(3.3)中的網(wǎng)格控制函數(shù)包含方程(1.1)的精確解，在實(shí)際計(jì)算過程中，我們常常構(gòu)造近似的網(wǎng)格控制函數(shù)來代替(3.3).在這一小節(jié)，為了驗(yàn)證本文關(guān)于自適應(yīng)網(wǎng)格算法的理論結(jié)果，我們將采用文[16，17]中的網(wǎng)格迭代算法來生成相應(yīng)的自適應(yīng)網(wǎng)格(在這里，網(wǎng)格終止條件C0=1.3)，并考慮如下奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組

由于該問題的精確解沒有給出，我們采用如下公式來計(jì)算數(shù)值解的絕對誤差

當(dāng)ε=10-2k，k =0，1，··· ，5，N =2j，j =6，7，··· ，12時(shí)，表1中列出了自適應(yīng)網(wǎng)格算法計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果，其中每一個(gè)ε所對應(yīng)的第三行表示網(wǎng)格生成算法的迭代次數(shù).顯然，對于每一個(gè)ε，隨著N的逐漸增大，本文自適應(yīng)網(wǎng)格算法的收斂階逐步達(dá)到一階.對于足夠小的ε，網(wǎng)格生成算法的迭代次數(shù)也不大，且不隨N的增大而增加.當(dāng)ε=10-5，N =2j，j =6，7，··· ，12時(shí)，表2分別列出了迎風(fēng)有限差分格式(3.1)在均勻網(wǎng)格、Shishkin網(wǎng)格和自適應(yīng)網(wǎng)格上的誤差和收斂階，其中Shishkin網(wǎng)格的構(gòu)造見文[1].從表2的數(shù)值結(jié)果可以看出，本文的自適應(yīng)網(wǎng)格方法的收斂階明顯比均勻網(wǎng)格和Shishkin網(wǎng)格的收斂階要高一些，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論結(jié)果.

另外，為了進(jìn)一步的讓讀者了解自適應(yīng)網(wǎng)格生成算法的迭代過程，當(dāng)ε=10-7，N =64時(shí)，從下往上看，圖1畫出了每迭代一次，網(wǎng)格的移動(dòng)過程.同時(shí)，圖2給出了問題(5.1)的數(shù)值解的變化曲線圖.顯然，由圖1-2可以看出，問題(5.1)的解在x=0點(diǎn)存在邊界層.

表1 本文自適應(yīng)網(wǎng)格方法計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果

表2 不同網(wǎng)格下的數(shù)值結(jié)果比較(ε=10－5)

圖1 網(wǎng)格迭代過程(ε=10－7，N =64)

圖2 數(shù)值解的曲線圖(ε=10－7，N =64)

6.結(jié)論

本文主要從先驗(yàn)誤差估計(jì)的角度，分析了一類奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程組的自適應(yīng)網(wǎng)格算法的收斂性.首先，利用迎風(fēng)有限差分格式，在任意的非均勻網(wǎng)格上對方程組進(jìn)行了離散，并給出了相應(yīng)的局部截?cái)嗾`差.然后，使用精確解的穩(wěn)定性估計(jì)、網(wǎng)格等分布原理和極大值原理等技術(shù)，證明了本文提出的自適應(yīng)網(wǎng)格算法是一階一致收斂的.值得一提的是本文的分析方法可以進(jìn)一步推廣到其他奇異攝動(dòng)微分方程組的自適應(yīng)網(wǎng)格算法的收斂性分析.