符愛(ài)周 韓震宇 葛伊倫

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065)

20世紀(jì)80年代末以來(lái)，計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度等性能逐漸提高，為適應(yīng)市場(chǎng)對(duì)多樣化制造產(chǎn)品的需求，數(shù)控系統(tǒng)朝著開(kāi)放式趨勢(shì)發(fā)展[1]。為達(dá)到開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)高速、高精的性能目標(biāo)，必須保證進(jìn)給速度在加工過(guò)程中變化平穩(wěn)。

在數(shù)控機(jī)床加工過(guò)程中，電機(jī)啟停、刀具軌跡方向變化等都會(huì)造成進(jìn)給速度突變。因此，這些過(guò)程均需要進(jìn)行加減速控制。根據(jù)在數(shù)控系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的不同階段對(duì)速度進(jìn)行控制，分為前加減速控制和后加減速控制[2]。其中，前加減速控制在插補(bǔ)前進(jìn)行，是對(duì)進(jìn)給合速度控制，不會(huì)影響位置精度，但需要提前確定減速點(diǎn)，計(jì)算量大；后加減速控制在插補(bǔ)后進(jìn)行，是對(duì)各軸進(jìn)給速度分別控制，位置精度低，不需要提前確定減速點(diǎn)，計(jì)算量較小。開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)的加減速控制算法在PC機(jī)上執(zhí)行，克服了計(jì)算量大的難點(diǎn)，為保證加工精度，本文采用前加減速控制策略，但不總是控制合速度?；跁r(shí)間分割法插補(bǔ)原理，三次多項(xiàng)式的速度變化規(guī)律以及前瞻速度控制即為本文的速度控制模型。

1 基于時(shí)間分割法的三次多項(xiàng)式加減速控制算法簡(jiǎn)介

1.1 時(shí)間分割法插補(bǔ)原理概述

時(shí)間分割法是數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)中的典型方法[2]。此插補(bǔ)算法根據(jù)進(jìn)給速度和插補(bǔ)周期計(jì)算輪廓步長(zhǎng)，即ΔL=V×T。其中，V為進(jìn)給速度，即經(jīng)過(guò)加減速控制后的速度；T為插補(bǔ)周期；ΔL為輪廓步長(zhǎng)，即位移增量。時(shí)間分割法圓弧插補(bǔ)的基本思想是以直代曲，即用弦線(xiàn)或割線(xiàn)代替圓弧，實(shí)現(xiàn)微直線(xiàn)進(jìn)給。插補(bǔ)計(jì)算的任務(wù)是根據(jù)輪廓步長(zhǎng)，在已知當(dāng)前節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的前提下，根據(jù)曲線(xiàn)類(lèi)型，計(jì)算下一節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。最后通過(guò)兩節(jié)點(diǎn)的斜率，計(jì)算各軸在本插補(bǔ)周期內(nèi)的位移增量。運(yùn)動(dòng)控制器根據(jù)微位移增量控制各軸電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)可加工出預(yù)定軌跡。

1.2 三次多項(xiàng)式加減速控制算法概述

在三次多項(xiàng)式加減速控制的速度控制模型中，速度的計(jì)算公式為三次多項(xiàng)式其對(duì)應(yīng)的加速度為二次項(xiàng)，與直線(xiàn)、三角函數(shù)和S曲線(xiàn)等常用加減速控制算法相比，不會(huì)突變，故該速度控制算法有較大的柔性，適用于高速高精的開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)。但與更高次的速度控制算法相比，其柔性度還不夠高。綜合計(jì)算復(fù)雜度和柔性度兩種因素，本文選用三次多項(xiàng)式的加減速控制模型。

關(guān)于三次多項(xiàng)式加減速控制算法本身的研究，包括具體算法的推導(dǎo)過(guò)程，浙江大學(xué)的冷洪濱等提出的三次多項(xiàng)式型段內(nèi)加減速控制新方法[5]中對(duì)其進(jìn)行了較為詳細(xì)的敘述，本文就不再贅述,僅給出在速度控制過(guò)程中需要用到的關(guān)鍵公式。

在基于時(shí)間分割法的速度控制算法中，不同插補(bǔ)周期內(nèi)的速度可能不同。這就意味著，插補(bǔ)周期是速度在時(shí)間尺度上變化的最小依據(jù)，即速度是離散的。速度V的離散化數(shù)學(xué)模型如式(1)。

(1)

式中：Vs為起點(diǎn)速度；Ve為終點(diǎn)速度；i表示第i個(gè)插補(bǔ)周期；N為整數(shù)且1≤i≤N，表示加速或減速過(guò)程中總的插補(bǔ)次數(shù)。其中，Vs和Ve可由當(dāng)前進(jìn)給速度和G代碼中的指令速度獲得，N可由加速或減速過(guò)程中所需的時(shí)間tm除以插補(bǔ)周期T再取整獲得，即N=ceil(tm/T)，而加減速所需時(shí)間為

(2)

式中：Amax為機(jī)床的最大加速度，屬于系統(tǒng)參數(shù)，可由選用的電動(dòng)機(jī)獲得。理論加減速距離Sd的計(jì)算公式為

(3)

2 常規(guī)軌跡的加減速控制

不同形狀的軌跡如直線(xiàn)、圓弧等以及軌跡間的過(guò)渡段，在計(jì)算復(fù)雜度和加工精度的不同要求下，具體的速度控制方法存在一定的差異。下面將具體介紹數(shù)控車(chē)床中直線(xiàn)和圓弧兩種常規(guī)軌跡以及兩者之間不同組合的過(guò)渡線(xiàn)段的速度控制策略，即三次多項(xiàng)式加減速控制算法的應(yīng)用過(guò)程。

2.1 直線(xiàn)與直線(xiàn)間的加減速控制

如圖1，加工軌跡為兩直線(xiàn)段OA和AB，加工方向如圖中箭頭所示。其中，直線(xiàn)OA與Z軸的夾角為α，直線(xiàn)AB與Z軸平行。假設(shè)OA段的指令速度為F1，AB段的指令速度為F2。

對(duì)于OA段，其速度控制過(guò)程分為3個(gè)階段，分別為起始階段、勻速階段和過(guò)渡階段。

在起始階段，假設(shè)O點(diǎn)為刀具起點(diǎn)，則該階段為加速階段。其加速過(guò)程的起點(diǎn)速度Vs=0，終點(diǎn)速度Ve=F1。系統(tǒng)的最大加速度Amax已知，則由式(2)可得該階段總的插補(bǔ)周期N1。將Vs和Ve代入(1)式可得各插補(bǔ)周期對(duì)應(yīng)的合進(jìn)給速度Vi，即

(4)

在勻速階段，總的勻速距離Sd2=LOA-Sd1-Sd3,LOA為軌跡OA的長(zhǎng)度，則總的插補(bǔ)次數(shù)N2=ceil(Sd2/F1),各插補(bǔ)周期對(duì)應(yīng)的合進(jìn)給速度為F1，X軸速度Vix=F1×sinα，Z軸速度Viz=|F1×cosα|。

對(duì)于AB段，因?yàn)樵贠A段的過(guò)渡階段已將速度變化到AB段中A點(diǎn)速度F2，所以在該段軌跡的起始階段不需要進(jìn)行加減速控制，即沒(méi)有起始階段，其勻速階段和過(guò)渡階段的速度控制情況由下一軌跡段而定。

2.2 直線(xiàn)與圓弧間的加減速控制

如圖2，加工軌跡為直線(xiàn)段PC、圓弧CD和直線(xiàn)段DE,加工方向與圖中箭頭方向相同。線(xiàn)段PC與Z軸平行,圓弧CD的首端與X軸方向相切，末端與Z軸相切，其切線(xiàn)與下一直線(xiàn)軌跡DE的夾角為α，半徑為r。PC段、CD段和DE段的指令速度分別為F1、F2和F3。

對(duì)于PC段，其起始階段和勻速階段的速度控制算法可參照?qǐng)D1中的OA段。在過(guò)渡階段，采用分速度加減速控制方法。X軸的起點(diǎn)速度Vsx=0，終點(diǎn)速度Vex=F2；Z軸的起點(diǎn)速度Vsz=F1，終點(diǎn)速度Vez=0。已知系統(tǒng)的最大加速度Amax，則該階段的速度控制過(guò)程可參考直線(xiàn)與直線(xiàn)間的加減速控制部分。

對(duì)于CD段，圓弧插補(bǔ)以直代曲的做法導(dǎo)致每個(gè)插補(bǔ)周期對(duì)應(yīng)的弦線(xiàn)方向都發(fā)生變化，但由于這些相鄰弦線(xiàn)的夾角近似于180°，各軸分速度變化很小，滿(mǎn)足速度平穩(wěn)變化的要求，故不需要每個(gè)插補(bǔ)周期都進(jìn)行加減速控制。又因?yàn)镻C段的速度規(guī)劃使得C點(diǎn)的速度等于F2，因此，CD段只有勻速階段和過(guò)渡階段的速度控制。考慮到在圓弧上進(jìn)行拐角處速度處理的算法復(fù)雜度較高，故將該部分放在DE段的起始階段。這就意味著，CD段只有勻速階段，D點(diǎn)的合速度為F2，分速度等于該段最后一個(gè)插補(bǔ)周期的分速度，而與DE段的速度和斜率無(wú)關(guān)。因此，DE段的起始階段的速度控制采用分速度控制的方法。CD段的速度計(jì)算過(guò)程如下：

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(Z0,X0)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(Zn,Xn),第i個(gè)插補(bǔ)周期的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(Zi,Xi)。

2.3 微小線(xiàn)段的加減速控制

在進(jìn)行加減速控制的過(guò)程中，如果某一線(xiàn)段的長(zhǎng)度無(wú)法滿(mǎn)足完整的起始階段、勻速階段和過(guò)渡階段速度規(guī)劃所需的距離，則該線(xiàn)段稱(chēng)為微小線(xiàn)段。為避免程序運(yùn)行出錯(cuò)，在調(diào)用加減速控制算法之前，需要判斷當(dāng)前軌跡是否是微小線(xiàn)段。如果是微小線(xiàn)段，則不能按通常的加減速控制算法對(duì)該軌跡進(jìn)行速度規(guī)劃，而應(yīng)該根據(jù)線(xiàn)段的長(zhǎng)度采取不同的速度控制策略。假設(shè)加減速控制的起始階段、勻速階段和過(guò)渡階段的距離分別為Sd1、Sd2和Sd3，當(dāng)前軌跡的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則存在如下幾種情況：

(1)L=Sd1+Sd3：當(dāng)前軌跡長(zhǎng)度正好等于起始階段和過(guò)渡階段的距離之和，表明該軌跡沒(méi)有勻速階段，在進(jìn)行起始階段的速度控制后應(yīng)立即調(diào)用過(guò)渡階段的速度控制算法。

(2)L≥Sd1且L

(3)L

在2.2節(jié)已經(jīng)分析過(guò)，某些軌跡段不需要進(jìn)行完整的速度控制過(guò)程，即未完整包含起始階段、勻速階段和過(guò)渡階段。因此，在對(duì)微小線(xiàn)段進(jìn)行速度控制時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況采取對(duì)應(yīng)的控制策略。

綜上，三次多項(xiàng)式加減速控制算法的應(yīng)用流程如下：首先通過(guò)系統(tǒng)允許的最大加速度計(jì)算加減速時(shí)間，從而獲得總的插補(bǔ)次數(shù)；接著通過(guò)軌跡長(zhǎng)度判斷是否進(jìn)入微小線(xiàn)段的加減速控制；然后通過(guò)軌跡類(lèi)型以及過(guò)渡段判斷當(dāng)前速度的控制階段以及是采用合速度還是分速度控制方法；隨后根據(jù)起點(diǎn)速度和終點(diǎn)速度計(jì)算各插補(bǔ)周期內(nèi)的速度；最后根據(jù)軌跡斜率計(jì)算各軸分速度或合速度。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

以圖3中的零件為例，圖中尺寸單位為mm，對(duì)本文研究的加減速控制算法在實(shí)際加工中的應(yīng)用效果進(jìn)行說(shuō)明。

考慮到在本系統(tǒng)中，速度轉(zhuǎn)換成位移的截?cái)嗾`差、位移轉(zhuǎn)為脈沖數(shù)的量化誤差以執(zhí)行器的執(zhí)行誤差等都會(huì)造成實(shí)際的進(jìn)給速度與理論速度存在差異，而此差異不會(huì)影響速度的柔性變化規(guī)律，也未能體現(xiàn)本文研究的速度控制策略的精度。因此，接下來(lái)的實(shí)驗(yàn)部分只提供仿真結(jié)果。

本系統(tǒng)允許的最大加速度Amax=20 mm/s2,輪廓AB的長(zhǎng)度L=20 mm，起點(diǎn)速度Vs=0，終點(diǎn)速度Ve=100 mm/min，插補(bǔ)周期T=8 ms,采用2.2節(jié)的速度控制策略，可知該軌跡的起始階段是加速階段，總的插補(bǔ)次數(shù)N=32。因?yàn)樵撥壽E的斜率為零，Z軸進(jìn)給速度等于合速度，X軸速度為零，故表1只給出該過(guò)程中不同插補(bǔ)周期內(nèi)的部分合速度。

軌跡BC的指令速度為F=150 mm/min，軌跡AB與軌跡BC的過(guò)渡階段采用分速度控制方法，X軸的起點(diǎn)速度Vsx=0，終點(diǎn)速度Vex=150 mm/min；Z軸起點(diǎn)速度Vsz=100 mm/min，終點(diǎn)速度Vez=0。對(duì)于X軸，該過(guò)程為加速過(guò)程，總的插補(bǔ)次數(shù)Nx=47；對(duì)于Z軸，該過(guò)程為減速過(guò)程，總的插補(bǔ)次數(shù)Nz=32。表2給出了X軸和Z軸進(jìn)給速度隨插補(bǔ)次數(shù)變化的部分結(jié)果。

表1 軌跡AB的起始階段隨插補(bǔ)次數(shù)變化的合速度

表2 軌跡AB的過(guò)渡階段隨插補(bǔ)次數(shù)變化的分速度

從表1和表2可以看出，速度隨離散化的時(shí)間，即不同插補(bǔ)次數(shù)，平穩(wěn)變化。這說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與預(yù)期相符，從而驗(yàn)證了基于時(shí)間分割法的三次多項(xiàng)式加減速控制算法的可行性。

本文研究的加減速控制算法用C++語(yǔ)言，借助VS2017編譯環(huán)境，在Windows平臺(tái)上編程實(shí)現(xiàn)，并最終應(yīng)用在本人參與研發(fā)的開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)中。該系統(tǒng)控制下的三軸兩聯(lián)動(dòng)的桌面型ET100-ZT數(shù)控裝調(diào)實(shí)訓(xùn)車(chē)床的加工過(guò)程如圖4所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在基于時(shí)間分割法原理的基礎(chǔ)上，采用三次多項(xiàng)式加減速控制算法對(duì)數(shù)控機(jī)床加工過(guò)程中的進(jìn)給速度進(jìn)行控制，保證了速度變化的平穩(wěn)性。在加工起點(diǎn)，采用合速度控制方法，速度按照三次多項(xiàng)式算法的變化規(guī)律升高或降低，保證了輪廓精度；在軌跡拐角處，采用分速度控制方法，提前預(yù)測(cè)各軸減速點(diǎn)，避免電機(jī)頻繁啟停，提高了加工效率。如果是圓弧軌跡，將其過(guò)渡階段放到下一軌跡的起始階段完成，在對(duì)輪廓精度影響不大的情況下，降低了算法的復(fù)雜度。此外，本文采用加減速距離與軌跡長(zhǎng)度比較的方法對(duì)微小線(xiàn)段進(jìn)行判斷，并在下一軌跡的起始階段繼續(xù)加速或減速，解決了在微小線(xiàn)段上難以加速或減速到指令速度的問(wèn)題。以上速度控制策略最終在筆者參與研究的開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)上應(yīng)用，切實(shí)驗(yàn)證了算法的可行性。