張舒翔，張其林

（同濟大學 土木工程學院，上海 200092）

結構動力反分析是指在未知結構動力特性、質量分布、剛度以及阻尼等結構信息的前提下，通過既有結構布置傳感器的時域數(shù)據(jù)對結構動力特性進行逆推[1-2]。這是土木行業(yè)重要的研究領域[3-6]，尤其是超高層建筑[7-9]。一幢大廈的動力特性識別結果往往能反映結構健康狀態(tài)[10-11]。因此，樓宇動力特性的數(shù)據(jù)監(jiān)測分析將成為建筑結構安全健康的重要標志[12-13]。目前主要的動力反分析方法有峰值法和子空間法等。

1 計算方法

1.1 峰值法

峰值法（peak-pi cking method，PPK）利用結構響應譜與頻響函數(shù)的相似關系進行參數(shù)辨識。在多自由度系統(tǒng)中，頻響函數(shù)為：

其中：i代表模態(tài)階次；Ri是留數(shù)矩陣；Pi表階特征頻率和阻尼比：

若結構阻尼較小，頻率離散。當ω=ωi時，H(jω)中可近似由單個模態(tài)決定，此時系統(tǒng)為單自由度體系，上式化為

結構響應信號功率譜和輸入信號功率譜的關系式

其中：Gx(jω)表輸入功率譜；H(jω)表傳遞函數(shù)；Gy(jω)表輸出信號功率譜。

一般認為環(huán)境輸入具有白噪聲特性，它的功率譜函數(shù)Gx(jω)為常數(shù)，所以計算得到的功率譜函數(shù)Gx(jω)在特征頻率ωi處峰值與其傳遞函數(shù)H(jω)相關。此時，特征頻率可以通過功率譜的峰值坐標來定位[14-16]。

當測量點較多時，平均規(guī)則化功率譜密度（averaged normalized power spectral densities，ANPSDs）可用于選擇峰值和識別平坦度，以包含所有測量點的功率譜信息。計算公式

其中：n代表總測點個數(shù)；代表i測點功率譜密度函數(shù)。

1.2 隨機子空間識別法

隨機子空間識別法（stochastic subspace identification，SSI）在目前的時域模態(tài)參數(shù)識別中有著廣泛的應用。

對于線性MDOF（multi-degree of freedom）系統(tǒng)，隨機模態(tài)空間模型可由以下公式表示

其中：xk為一向量表離散時間狀態(tài)；yk是結構的響應；vk和wk表測量的噪聲；A是特征矩陣；C為輸出矩陣。

Hankel矩陣可用相關函數(shù)R構造如下形式

其中：Rk表相關函數(shù)；Oi、Ci分別表示離散空間方程中的可觀測矩陣與可控制矩陣，其中：

對Hankel矩陣進行分解，再根據(jù)矩陣Oi、Ci的特點，即可求得矩陣A、C。

對特征矩陣A進行如下特征值分解

在得到Λ矩陣后，可以計算出特征值λI[13]，在用下式求得結構的特征值：

其中：ωi為對應階數(shù)階固有頻率；ξ表阻尼因子。

至此，可得到結構的頻率f和振型Φ：

在計算隨機子空間時，應假定模型的階次，否則易導致誤模，最后由穩(wěn)定性圖分析辨識結果。穩(wěn)定軸源于穩(wěn)定圖的極限值，通常由經(jīng)驗公式確定[17-19]。

其中，MAC表示模態(tài)保證準則

2 小模型計算

2.1 模型選取

小型模型采用簡單三層框架模擬，如圖1所示。采用正弦激勵方式向結構施加荷載，記錄各個測點的相應數(shù)據(jù)。模型采用焊接對稱工字型截面，截面為柱280 cm×120 cm×4 cm×6 cm，梁250 cm×100 cm×418 cm×6 cm，柱與短梁為3 m長，長梁4 m長，均采用Q235B鋼材，所有節(jié)點均采用剛性連接，測點布置在所有節(jié)點，傳感器布置圖及監(jiān)測方向如圖2所示，共12個。

圖1 小型框架的三維線框模型

圖2 小型框架的測點布置

2.2 結果比較

在該小模型中，其峰值法識別圖與子空間法穩(wěn)定圖分別如圖3與圖4，根據(jù)峰值拾取法與隨機子空間模態(tài)識別規(guī)則，其頻率識別結果如表1所示，其結果對比圖如圖5。根據(jù)表1中識別結果誤差的對比，在前九階的模態(tài)識別結果中，兩種方法在絕大多數(shù)識別結果中誤差均能保持在5%以下，擁有較高的準確度。

因此，在該小模型中峰值法和子空間法前幾階的模態(tài)識別均能保持較好準確性，二者在分析時均能保證較高擬合程度。

圖3 小型框架測點數(shù)據(jù)峰值法識別圖

圖4 小型框架測點數(shù)據(jù)子空間法穩(wěn)定圖

表1 小型框架峰值法與子空間法識別結果對比

3 大模型計算

3.1 模型選取

大模型選取天津周大福金融中心，這是一座530 m的超高層建筑，坐落于天津濱海新區(qū)。主要由中央鋼筋混凝土核心筒、一個由結構性鋼邊梁組成的周邊抗彎鋼框架以及一個斜柱與環(huán)帶桁架系統(tǒng)組成。取其一個星期的健康記錄檢測數(shù)據(jù)進行分析[20]。監(jiān)測點共五個，分別在32樓一個，58樓兩個，71樓兩個。

圖5 小型框架真實振型與峰值法及子空間法識別振型結果對比圖

3.2 結果比較

在該模型中，其峰值法識別圖與子空間法穩(wěn)定圖分別如圖6與圖7所示，根據(jù)峰值拾取法與隨機子空間模態(tài)識別規(guī)則，其頻率識別結果如表2所示，其結果對比圖如圖8所示。根據(jù)表2中識別結果誤差的對比，隨機子空間法識別結果中大部分識別結果誤差均在5%以下，而峰值法識別結果均與實際振型結果有較大偏差。

因此，在該模型中相較于峰值法的識別精度，子空間法對復雜大跨度結構的模態(tài)識別具有更好的準確性，在大跨度結構模態(tài)識別選擇上，子空間法具有更好的適用性。

表2 金融中心峰值法與子空間法識別結果對比

圖6 金融中心測點數(shù)據(jù)峰值法識別圖

圖7 金融中心測點數(shù)據(jù)子空間法穩(wěn)定圖

圖8 金融中心真實振型與峰值法及子空間法識別振型結果對比圖

4 小結

現(xiàn)代建筑結構的動力反分析，直接反映了建筑的健康狀態(tài)，與一般模態(tài)識別不同，建筑結構模態(tài)激勵方式往往復雜而多樣，例如風荷載、人荷載、地面荷載等，這會導致建筑結構監(jiān)測數(shù)據(jù)復雜且噪音大。例如本文周大福中心監(jiān)測數(shù)據(jù)，在白天及風級較大的時段，數(shù)據(jù)往往無序而雜亂，因此計算方法的適用性至關重要。

對小模型而言，峰值法與子空間法均能計算出相應模態(tài)，具有較好準確性。對大模型而言，峰值法適用性降低。由于抗震構造及尺寸效應的存在，復雜大跨度結構的阻尼一般并非線性。而峰值法計算時所做假定為線性阻尼。因此，這是該算法無法適用于大模型的主要原因。同時，在復雜大跨度結構中，數(shù)據(jù)噪音更多，復雜度更高，而子空間法在逐階穩(wěn)定中能降低噪音影響，同時由于逐階增長，該算法保證了結構非線性阻尼的適用性，因此子空間法在大跨度結構計算中擬合度更為優(yōu)異。