張舒翔,張其林
(同濟大學 土木工程學院,上海 200092)
結構動力反分析是指在未知結構動力特性、質量分布、剛度以及阻尼等結構信息的前提下,通過既有結構布置傳感器的時域數(shù)據(jù)對結構動力特性進行逆推[1-2]。這是土木行業(yè)重要的研究領域[3-6],尤其是超高層建筑[7-9]。一幢大廈的動力特性識別結果往往能反映結構健康狀態(tài)[10-11]。因此,樓宇動力特性的數(shù)據(jù)監(jiān)測分析將成為建筑結構安全健康的重要標志[12-13]。目前主要的動力反分析方法有峰值法和子空間法等。
峰值法(peak-pi cking method,PPK)利用結構響應譜與頻響函數(shù)的相似關系進行參數(shù)辨識。在多自由度系統(tǒng)中,頻響函數(shù)為:
其中:i代表模態(tài)階次;Ri是留數(shù)矩陣;Pi表階特征頻率和阻尼比:
若結構阻尼較小,頻率離散。當ω=ωi時,H(jω)中可近似由單個模態(tài)決定,此時系統(tǒng)為單自由度體系,上式化為
結構響應信號功率譜和輸入信號功率譜的關系式
其中:Gx(jω)表輸入功率譜;H(jω)表傳遞函數(shù);Gy(jω)表輸出信號功率譜。
一般認為環(huán)境輸入具有白噪聲特性,它的功率譜函數(shù)Gx(jω)為常數(shù),所以計算得到的功率譜函數(shù)Gx(jω)在特征頻率ωi處峰值與其傳遞函數(shù)H(jω)相關。此時,特征頻率可以通過功率譜的峰值坐標來定位[14-16]。
當測量點較多時,平均規(guī)則化功率譜密度(averaged normalized power spectral densities,ANPSDs)可用于選擇峰值和識別平坦度,以包含所有測量點的功率譜信息。計算公式
其中:n代表總測點個數(shù);代表i測點功率譜密度函數(shù)。
隨機子空間識別法(stochastic subspace identification,SSI)在目前的時域模態(tài)參數(shù)識別中有著廣泛的應用。
對于線性MDOF(multi-degree of freedom)系統(tǒng),隨機模態(tài)空間模型可由以下公式表示
其中:xk為一向量表離散時間狀態(tài);yk是結構的響應;vk和wk表測量的噪聲;A是特征矩陣;C為輸出矩陣。
Hankel矩陣可用相關函數(shù)R構造如下形式
其中:Rk表相關函數(shù);Oi、Ci分別表示離散空間方程中的可觀測矩陣與可控制矩陣,其中:
對Hankel矩陣進行分解,再根據(jù)矩陣Oi、Ci的特點,即可求得矩陣A、C。
對特征矩陣A進行如下特征值分解
在得到Λ矩陣后,可以計算出特征值λI[13],在用下式求得結構的特征值:
其中:ωi為對應階數(shù)階固有頻率;ξ表阻尼因子。
至此,可得到結構的頻率f和振型Φ:
在計算隨機子空間時,應假定模型的階次,否則易導致誤模,最后由穩(wěn)定性圖分析辨識結果。穩(wěn)定軸源于穩(wěn)定圖的極限值,通常由經(jīng)驗公式確定[17-19]。
其中,MAC表示模態(tài)保證準則
小型模型采用簡單三層框架模擬,如圖1所示。采用正弦激勵方式向結構施加荷載,記錄各個測點的相應數(shù)據(jù)。模型采用焊接對稱工字型截面,截面為柱280 cm×120 cm×4 cm×6 cm,梁250 cm×100 cm×418 cm×6 cm,柱與短梁為3 m長,長梁4 m長,均采用Q235B鋼材,所有節(jié)點均采用剛性連接,測點布置在所有節(jié)點,傳感器布置圖及監(jiān)測方向如圖2所示,共12個。
圖1 小型框架的三維線框模型
圖2 小型框架的測點布置
在該小模型中,其峰值法識別圖與子空間法穩(wěn)定圖分別如圖3與圖4,根據(jù)峰值拾取法與隨機子空間模態(tài)識別規(guī)則,其頻率識別結果如表1所示,其結果對比圖如圖5。根據(jù)表1中識別結果誤差的對比,在前九階的模態(tài)識別結果中,兩種方法在絕大多數(shù)識別結果中誤差均能保持在5%以下,擁有較高的準確度。
因此,在該小模型中峰值法和子空間法前幾階的模態(tài)識別均能保持較好準確性,二者在分析時均能保證較高擬合程度。
圖3 小型框架測點數(shù)據(jù)峰值法識別圖
圖4 小型框架測點數(shù)據(jù)子空間法穩(wěn)定圖
表1 小型框架峰值法與子空間法識別結果對比
大模型選取天津周大福金融中心,這是一座530 m的超高層建筑,坐落于天津濱海新區(qū)。主要由中央鋼筋混凝土核心筒、一個由結構性鋼邊梁組成的周邊抗彎鋼框架以及一個斜柱與環(huán)帶桁架系統(tǒng)組成。取其一個星期的健康記錄檢測數(shù)據(jù)進行分析[20]。監(jiān)測點共五個,分別在32樓一個,58樓兩個,71樓兩個。
圖5 小型框架真實振型與峰值法及子空間法識別振型結果對比圖
在該模型中,其峰值法識別圖與子空間法穩(wěn)定圖分別如圖6與圖7所示,根據(jù)峰值拾取法與隨機子空間模態(tài)識別規(guī)則,其頻率識別結果如表2所示,其結果對比圖如圖8所示。根據(jù)表2中識別結果誤差的對比,隨機子空間法識別結果中大部分識別結果誤差均在5%以下,而峰值法識別結果均與實際振型結果有較大偏差。
因此,在該模型中相較于峰值法的識別精度,子空間法對復雜大跨度結構的模態(tài)識別具有更好的準確性,在大跨度結構模態(tài)識別選擇上,子空間法具有更好的適用性。
表2 金融中心峰值法與子空間法識別結果對比
圖6 金融中心測點數(shù)據(jù)峰值法識別圖
圖7 金融中心測點數(shù)據(jù)子空間法穩(wěn)定圖
圖8 金融中心真實振型與峰值法及子空間法識別振型結果對比圖
現(xiàn)代建筑結構的動力反分析,直接反映了建筑的健康狀態(tài),與一般模態(tài)識別不同,建筑結構模態(tài)激勵方式往往復雜而多樣,例如風荷載、人荷載、地面荷載等,這會導致建筑結構監(jiān)測數(shù)據(jù)復雜且噪音大。例如本文周大福中心監(jiān)測數(shù)據(jù),在白天及風級較大的時段,數(shù)據(jù)往往無序而雜亂,因此計算方法的適用性至關重要。
對小模型而言,峰值法與子空間法均能計算出相應模態(tài),具有較好準確性。對大模型而言,峰值法適用性降低。由于抗震構造及尺寸效應的存在,復雜大跨度結構的阻尼一般并非線性。而峰值法計算時所做假定為線性阻尼。因此,這是該算法無法適用于大模型的主要原因。同時,在復雜大跨度結構中,數(shù)據(jù)噪音更多,復雜度更高,而子空間法在逐階穩(wěn)定中能降低噪音影響,同時由于逐階增長,該算法保證了結構非線性阻尼的適用性,因此子空間法在大跨度結構計算中擬合度更為優(yōu)異。