陳霞

[摘? 要] “一線三等角”模型是重要的幾何模型，該模型中的三個(gè)等角頂點(diǎn)位于同一直線上，可形成一組相似關(guān)系，中考常以該模型為背景命制探究題. 挖掘模型特點(diǎn)，深入賞析模型有著一定的意義. 文章將探究一道“一線三等角”模型考題，解讀賞析模型，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 幾何;一線三等角;模型;相似三角形;拓展

考題探究

幾何綜合題是中考?？紗栴}類型之一，問題往往以幾何圖形為外在形式構(gòu)建內(nèi)在幾何關(guān)系，可全面考查學(xué)生幾何知識(shí)、空間幾何觀以及邏輯思維. 下面以一道幾何探究題為例，進(jìn)行問題探究.

1. 考題呈現(xiàn)

考題：2020年江蘇宿遷中考數(shù)學(xué)卷第27題

感知：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=.

探究：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H. 求證：BH=GH.

拓展：（3）如圖3，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G. 求證：BG=CG.

2. 思路探究

（1）已知∠C=∠D=∠AEB=90°，則∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，所以∠BEC=∠EAD，可證Rt△AED∽R(shí)t△EBC，由相似性質(zhì)可得=，證畢.

（2）過點(diǎn)G作CD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)M，如圖4所示. 由（1）問可知=，因?yàn)?，=，所以=，則CB=GM.

在△BCH和△GMH中，有∠CHB=∠MHG，∠C=∠GMH=90°，CB=GM，所以△BCH≌△GMH（AAS），則BH=GH.

（3）如圖5所示，在EG上取點(diǎn)M，使得∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，推理可得∠EAF=∠BEM，可證△AEF∽△EBM，所以=.

進(jìn)一步分析可知∠N=∠EFD，∠EDF=∠CEN，可證△DEF∽△ECN，所以=. 又知=，所以=，則BM=CN. 在△BGM和△CGN中，∠BGM=∠CGN，∠BMG=∠N，BM=CN，所以△BGM≌△CGN（AAS），則BG=CG.

3. 問題評(píng)析

上述以探究的形式呈現(xiàn)幾何問題，分“感知”“探究”“拓展”三個(gè)階段，其中“感知”階段引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行過程探究，總結(jié)證明方法，把握?qǐng)D形特點(diǎn);“探究”階段則是對(duì)模型的進(jìn)一步深化綜合，引入三角形全等進(jìn)行論證;而最后的“拓展階段”是對(duì)圖形的拓展深化，啟發(fā)學(xué)生利用上述解題思路構(gòu)建模型，利用相似轉(zhuǎn)化、對(duì)等轉(zhuǎn)換、全等轉(zhuǎn)化來完成思路構(gòu)建，幾何證明. 實(shí)際上，上述考題所基于的是初中幾何“一線三等角”模型，屬于直角型特殊模型，根據(jù)該模型可直接構(gòu)建三角形相似關(guān)系，提取線段比例式，深刻理解模型可顯著提升解題效率.

模型解讀

“一線三等角”模型是典型的數(shù)學(xué)模型，從幾何視角可分為直角型、銳角型和鈍角型，其圖形結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單. 而從圖形分步視角可將其分為同側(cè)型和異側(cè)型，如圖6和7.

圖中存在如下關(guān)系：在△ABC和△CDE中，點(diǎn)C位于直線BD上，其中∠ACE=∠ABD=∠EDF.

可推得如下結(jié)論：相似關(guān)系——△ABC∽△CDE;線段比例關(guān)系——==;若AC=CE，則可得全等關(guān)系△ABC≌△CDE.

上述的同側(cè)和異側(cè)“一線三等角”模型的結(jié)論可由相似轉(zhuǎn)化得出，該模型的本質(zhì)特點(diǎn)是有三個(gè)等角位于同一條直線上，該等角可以是銳角、鈍角或者直角. 隨著角頂點(diǎn)的位置變化或者角圍繞頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的衍生圖形，呈現(xiàn)圖形的和諧美，并且模型中的結(jié)論依然成立.

深入賞析

“一線三等角”模型具有極高的識(shí)別度，在考題中的應(yīng)用極為廣泛，但同時(shí)模型的變形衍生能力較強(qiáng)，綜合性試題中對(duì)學(xué)生的思維水平有一定的要求，需要結(jié)合數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來加以突破.？搖問題解析過程提取其中的三等角是關(guān)鍵，而往往考題以“等角”針對(duì)性變式，常將其隱藏，需要進(jìn)行模型添補(bǔ)，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探究賞析.

1. 局部隱藏，細(xì)節(jié)修補(bǔ)

例1：如圖8所示，已知點(diǎn)M是正方形ABCD底邊BC上的一點(diǎn)，且ME⊥AM，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 若AB=12，BM=5，則DE的長(zhǎng)為______.

解析? 由于∠B=∠AME=90°， 延長(zhǎng)BC，過點(diǎn)E作BC延長(zhǎng)線的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)N，則可構(gòu)建“一線三等角”模型，在該模型中∠ABM=∠AME=∠ENM=90°. 由模型結(jié)論可得△ABM∽△MNE，則=. 已知AB=EN=12，BM=5，所以DE=CN=MN-（BC-BM）=.

評(píng)析? 上述問題中不存在完整的“一線三等角”模型，僅含有一組等角，但通過延長(zhǎng)線、作垂直可構(gòu)建“三等角”. 解題的關(guān)鍵是把握其中的等角關(guān)系，合理利用圖形特點(diǎn)來作輔助線，將問題條件進(jìn)行串聯(lián).

2. 一角獨(dú)顯，兩側(cè)增補(bǔ)

例2：如圖9所示，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，點(diǎn)E位于CD上，且∠BAE=45°. 如果CD=4，則△ABE的面積為______.

解析? 由于∠BAE=45°，過點(diǎn)A作AD的垂線，在該垂線上取點(diǎn)M和N（令點(diǎn)N位于點(diǎn)A下方），使得∠BMA=∠ENA=45°，然后過點(diǎn)E作MN的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB交MN于點(diǎn)G，如圖9所示.

分析可知四邊形ADCG為正方形，則AG=CG=CD=4，易知AB=BC+AD，可推知AB=5，BG=3，BC=1. 由于∠BAE=∠M=∠N=45°，由“一線三等角”模型可推知△ABM∽△EAN，由相似性質(zhì)可得=，代入線段長(zhǎng)可解得DE=，則CE=. 由面積割補(bǔ)法可得S=S-S-S=.

評(píng)析? 上述問題突破的關(guān)鍵是把握其中的“特殊角”，也是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)，解題的思路來源于對(duì)“一線三等角”模型的深刻理解、深度思考. 該模型中不僅隱含了基本的幾何知識(shí)，還蘊(yùn)含著相應(yīng)的思想方法.

3. 線角均藏，構(gòu)圖全補(bǔ)

例3：如圖10所示為反比例函數(shù)y=的圖像，點(diǎn)A（2，3）位于其圖像上，而點(diǎn)B（0，2）位于y軸上. 作射線AB，將射線AB圍繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

解析? 過點(diǎn)C作AC的垂線，與射線AB的交點(diǎn)設(shè)為D，再過點(diǎn)C作x軸的平行線，在平行線上取點(diǎn)E和F，令∠DEC=∠AFC=90°，如圖10所示，則可以構(gòu)建“一線三等角”模型. 其中∠DAC=45°，由模型結(jié)論可得△DEC≌△CFA. 結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知k=6，直線AB的解析式為y=x+2. 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為a，，可得CF=-a+2，AF=-+3，可推得點(diǎn)D的坐標(biāo)為a+-3，-a++2，點(diǎn)D位于直線AB上，將其代入解析式可解得a1=-1，a2=2（舍去），所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，-6）.

評(píng)析? 上述考題以圖形旋轉(zhuǎn)為背景，求解點(diǎn)C坐標(biāo)很容易聯(lián)想到求相關(guān)線段長(zhǎng)，突破的關(guān)鍵是挖掘圖像中的特殊角，適度聯(lián)想，探尋圖形之間的聯(lián)系，結(jié)合解題經(jīng)驗(yàn)來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型. 該問題有著一定的考查深度，對(duì)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和聯(lián)想思維有著較高的要求.

教學(xué)思考

中考試題中常蘊(yùn)含一些數(shù)學(xué)模型，以模型為基礎(chǔ)進(jìn)行試題衍生，“一線三等角”模型是幾何常見模型之一，模型實(shí)質(zhì)是幾何相似關(guān)系，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注習(xí)題，挖掘模型，總結(jié)方法規(guī)律可顯著提升學(xué)生的解題能力，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 關(guān)注模型特征，培養(yǎng)模型意識(shí)

模型來源于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的總結(jié)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，是基于知識(shí)典型結(jié)構(gòu)的特殊總結(jié)，因此模型通常具有鮮明的特征，含有“特殊”性質(zhì). 以“一線三等角”模型為例，模型特征為“有三個(gè)等角的頂點(diǎn)位于同一直線上”，特性則為“由模型可推得一組相似三角形”. 教學(xué)的重點(diǎn)有兩個(gè)：一是關(guān)注模型特征，二是培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí). 前者需從教材的基本模型入手，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行特征總結(jié)，理解模型結(jié)構(gòu). 而模型意識(shí)的培養(yǎng)則需要引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)模型本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)律總結(jié)，養(yǎng)成模型解題的習(xí)慣，提升學(xué)生的特殊意識(shí)，形成“模式識(shí)別”的解題策略.

2. 重視方法講解，拓展數(shù)學(xué)思維

從上述“一線三等角”模型的探究過程可知，模型并非總是直觀、完整的，有時(shí)需要挖掘其中隱藏的特殊角，通過作輔助線的方法來完善. 如上述三道例題在建模過程中經(jīng)歷了找角、定線、框架三個(gè)階段，以特殊角為依托，衍生幾何模型，從而讓圖像直觀化. 在教學(xué)中需要重視方法講解，指導(dǎo)學(xué)生掌握建模的方法，激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想思維，引導(dǎo)學(xué)生自主反思、推演、提煉模型，充分掌握幾何模型，做到“舉一反三，解題通法”. 同時(shí)在探索模型的過程中，注意總結(jié)問題模型，以題為線索，結(jié)題成網(wǎng)，形成系統(tǒng)模型，從根本上提升學(xué)生的思維能力.

3. 注重知識(shí)串聯(lián)，滲透建模思想

經(jīng)典模型往往有著深刻的知識(shí)背景，開展模型教學(xué)需注重知識(shí)串聯(lián)，有效探索模型實(shí)質(zhì)，挖掘模型所涉知識(shí)，使學(xué)生掌握模型的知識(shí)鏈. 以上述“一線三等角”模型為例，實(shí)則是由等角關(guān)系生成的相似關(guān)系，由三角形相似生成的線段比例式，其中含有相似三角形的判定、性質(zhì)等內(nèi)容，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生理解模型中的相似內(nèi)涵. 另外，模型解題過程會(huì)涉及定角定線作圖，通過搭框架的方式完善模型，該過程中隱含著數(shù)學(xué)的建模思想，模型教學(xué)中要合理滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生感悟思想內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.