樓珈池

[摘? 要] 模型思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，應(yīng)用模型思想解決生活實際問題不僅能引領(lǐng)學(xué)生獲得知識與技能，還能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與解決問題能力的提升. 文章具體談?wù)劜坏仁侥Ｐ?、方程模型、函?shù)模型與幾何模型在生活實際中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 不等式模型;方程模型;函數(shù)模型;幾何模型

史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展離不開抽象、推理、模型三種思想. ”其中，模型思想是2011版的新課標(biāo)新增的一個核心詞，指用數(shù)學(xué)模型的方法解決問題的一種思想[1]. 它的形成主要依靠學(xué)生理解和體會數(shù)學(xué)現(xiàn)象與生活實際的聯(lián)系，從具體生活情境中抽取數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)符號建立不等式、函數(shù)或方程等來表示問題中的規(guī)律變化或數(shù)量關(guān)系.

不等式模型思想在解決量與量關(guān)系中的應(yīng)用

日常生活中的市場營銷、價格核定、統(tǒng)籌安排、盈虧以及生產(chǎn)決策等問題均需進(jìn)行一定的數(shù)據(jù)分析，研究量與量之間的關(guān)系. 不等式就是研究這些問題之間量與量的關(guān)系的模型之一，它通過對問題中某個量的變化范圍的確定而解決問題. 用不等式（組）解決生活實際問題是近些年常見的考題，這就要求學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的模型思想，通過解題思路的拓展，解題規(guī)律的把握來提高解題能力[2].

例1? 李明用28元錢去購買作業(yè)本，若想購買5本兩種規(guī)格的作業(yè)本，使得本子的總頁數(shù)≥340頁，作業(yè)本的頁數(shù)與單價見表1，請為李明設(shè)計一種最節(jié)約的購買方案.

分析? 這道題涉及的不等關(guān)系有：①購買作業(yè)本的數(shù)量為5本，所花費的金額不超過28元;②作業(yè)本的頁數(shù)≥340頁. 根據(jù)這兩者的關(guān)系來建立不等式組則能讓問題迎刃而解.

解? 假設(shè)共購買x本作業(yè)本1，作業(yè)本2的數(shù)量為（5-x），根據(jù)題意列式：6x+5（5-x）≤28100x + 60（5-x）≥340，得1≤x≤3.

因為x是整數(shù)，所以x的值可取1、2、3，此時有三種購買方案：①若x的值為1時，用來購買作業(yè)本需要花費6×1+5×4=26（元）;②若x的值為2時，用來購買作業(yè)本需要花費6×2+5×3=27（元）;③若x的值為3時，用來購買作業(yè)本需要花費6×3+5×2=28（元）.

根據(jù)題意可知，李明購買一本作業(yè)本1、四本作業(yè)本2所花費的金額最少，且符合題目要求.

教師引導(dǎo)學(xué)生通過分析問題中所呈現(xiàn)的不等關(guān)系，建立不等式組，分類討論獲得相應(yīng)的結(jié)果而解決問題，此解題過程就是模型思想的建立過程，學(xué)生通過解題而拓展思維. 新課標(biāo)指出初中學(xué)生要初步運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決生活中的一些問題. 不等式（組）的問題一般反映了生產(chǎn)實際與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，它的模型建立是在學(xué)生有一定的分析能力的基礎(chǔ)上，由一些生活問題抽象而成，其模型思想的形成對解決生活中常見的數(shù)學(xué)問題具有重要的意義.

方程模型思想在解決數(shù)量等量關(guān)系中的應(yīng)用

方程模型的建立能讓學(xué)生完成思維的飛躍. 等量關(guān)系是方程模型的“靈魂”，在我們的實際生活中到處都有數(shù)量等量關(guān)系的存在，方程模型作為研究等量關(guān)系的重要方法，能幫助學(xué)生從等量關(guān)系的各個角度描述、認(rèn)識這個世界. 例如生活中常見的分期付款、濃度問題、行程問題、儲蓄利息、打折銷售等都可以抽象成方程模型以解決相應(yīng)的問題.？搖

例2? 若想將20克15%的糖水、15克40%的糖水、純糖和純水四種物質(zhì)配制出30克含糖量為20%的糖水.

（1）配制方案有哪幾種？

（2）若想盡量多地用糖水進(jìn)行配制，應(yīng)設(shè)計怎樣的配制方案？

分析? 用題設(shè)中的四種物質(zhì)配制出30克含糖量為20%的糖水，可以有很多種方法：①用純糖和純水進(jìn)行配制;②用20克15%的糖水加糖和水進(jìn)行配制;③用15克40%的糖水加純水進(jìn)行配制;④用15%的糖水與40%的糖水混合配制等.

每一種配制方法都對應(yīng)著相應(yīng)的方程組，例如第①種方案，用純糖與純水進(jìn)行配制：

設(shè)需純糖x克，純水y克，列方程組為：x+y=30x=30×20% ，得x=6，y=24.

第②種方案，用20克15%的糖水加糖和水進(jìn)行配制：設(shè)需純糖x克，純水y克，列方程組為：20×15%+x=30×20%，20+x+y=30，得x=3，y=7.

第一問的配制方法有很多，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)每種配制方案列方程組進(jìn)行解題. 第二問提出盡量多地使用糖水進(jìn)行配制，考慮到15%的糖水一共只有20克，想要盡量多地使用糖水就得將20克15%的糖水完全用上，缺少的部分再使用40%的糖水和純水進(jìn)行勾兌.

假設(shè)需使用濃度為40%的糖水x克，純水y克，列方程組為：20+x+y=30，20×15%+x×40%=30×20%. 得x=7.5，y=2.5.

為了配制出30克含糖量為20%的糖水，建立含有未知數(shù)（x、y）的等式方程組，通過未知數(shù)的求解而獲得問題的答案，這個過程就是方程模型的構(gòu)建過程. 模型思想一旦建立，即使后期學(xué)習(xí)過程中忘掉具體的題目或一些知識，但只要使用這種思想就能夠解決與等量關(guān)系有關(guān)的問題. 這種影響是長遠(yuǎn)的，具有前瞻性，是學(xué)生后繼學(xué)習(xí)與生活的保障.

函數(shù)模型思想在解決事物之間聯(lián)系中的應(yīng)用

函數(shù)模型思想是解決一切事物之間聯(lián)系的首選方法，它反映和揭示了世間萬物的運(yùn)動規(guī)律與數(shù)量關(guān)系. 隨著科技的發(fā)展，我們在生活中常常接觸到諸如造料價、最小成本、最優(yōu)方案、最大獲利等問題，函數(shù)模型思想的滲透能有效地幫助學(xué)生抽象出這些問題的本質(zhì). 初中階段涉及的函數(shù)模型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例和反比例函數(shù)等，學(xué)生在這些函數(shù)模型思想的建立與應(yīng)用中形成良好的數(shù)學(xué)邏輯思維，從而有效地提高解決實際問題的能力.

例3? 某公司食堂采購員提著竹籃（0.5斤）去菜市場，準(zhǔn)備購買10斤草雞蛋，在往竹籃里裝草雞蛋時覺得雞蛋的數(shù)量跟平時有較大出入，便將裝著雞蛋的籃子稱了一下，共10.55斤，請問攤主應(yīng)再給他多少雞蛋才夠足10斤（精確到整斤）？

分析? 假設(shè)賣家稱得雞蛋x斤，而實際重量是y斤，很容易發(fā)現(xiàn)賣家所稱重量與實際雞蛋的重量之間有著一定的聯(lián)系（正比例函數(shù)關(guān)系），根據(jù)這個關(guān)系可知賣家的秤存在怎樣的誤差.

解? 設(shè)稱得雞蛋為x斤，實際重量是y斤，竹籃的重量是0.5斤，因此增加的重量：10.55-10.5=0.05斤，據(jù)此可列式：y=x，x=10的時候，y≈9，10-9=1，因此賣家應(yīng)再補(bǔ)一斤雞蛋給采購員.

本題粗看覺得攤販并沒有缺斤少兩的現(xiàn)象，連籃帶雞蛋比預(yù)想的10.5斤還多了0.05斤，但細(xì)細(xì)琢磨，賣家稱的是10斤雞蛋，竹籃重量為0.5斤，那么這0.05斤是從何而來呢？據(jù)此思考并分析，發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵在于秤存在一定的誤差. 只要找到問題的源頭，理清思路就能順藤摸瓜地解決問題. 問題在函數(shù)模型思想的使用中變得得心應(yīng)手，毫不費力. 因此，函數(shù)模型思想的應(yīng)用是解決一些具有內(nèi)部聯(lián)系事物的首選方法.

幾何模型思想在解決測量關(guān)系問題中的應(yīng)用

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，想讓學(xué)生領(lǐng)悟幾何的精髓與內(nèi)涵，模型思想的滲透是必不可少的一個環(huán)節(jié)[3]. 生活中的車輪、花盆、顯示屏、自行車三角形的車架等都涉及幾何問題. 教師只要將這些問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的幾何模型，很多問題將迎刃而解.

例4? 因條件限制，無法直接測得小紅家到小明家的距離，你能設(shè)計出測量方案嗎？

分析? 為了便于學(xué)生理解題意，可將小紅家設(shè)定為A點，小明家設(shè)定為B點，想測得AB的距離可根據(jù)已學(xué)知識從不同角度去思考.

（1）從勾股定理的角度思考，構(gòu)建一個直角三角形，求出AB的值;

（2）從等腰或等邊三角形的性質(zhì)角度去思考，求出AB的值;

（3）從角形中位線的角度去思考，求出AB值.

……

起初，這個問題讓不少學(xué)生感到茫然，無從下手. 但從幾何模型的構(gòu)建進(jìn)行思考，解題思路瞬間豁然開朗. 但是，在課堂中仍有不少教師還是采取傳統(tǒng)的以理論講解為主，簡單畫圖為輔的教學(xué)方式，使得部分學(xué)生難以理解知識的內(nèi)涵，導(dǎo)致學(xué)習(xí)信心的喪失. 因此，教師應(yīng)充分發(fā)揮舵手的作用，引導(dǎo)學(xué)生遇到一些測量問題時，首先考慮用幾何模型思想去解決.

總之，數(shù)學(xué)模型思想可運(yùn)用于生活實際中的各種問題，我們要在了解其價值的基礎(chǔ)上，弄清問題的性質(zhì)，選擇合適的模型方法即可. 學(xué)生在模型思想的使用過程中體驗其本質(zhì)，對生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象產(chǎn)生更深的感悟，從而有效地突破解題過程中的思維障礙，為靈活運(yùn)用模型思想夯實基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]G.波利亞. 怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

[3]邱紅松. 初中幾何課堂教學(xué)過程重構(gòu)與視頻案例研究[D]. 華東師范大學(xué)，2004.