桑 嵐，馬 林，黃子露，汪 琦

（1.航空工業(yè)洪都，江西 南昌，330024;2.空裝駐南昌地區(qū)軍事代表室，江西 南昌330024）

0 引言

1 飛機(jī)線性模型的卡爾曼濾波器估計(jì)

在飛機(jī)飛行控制領(lǐng)域中，速率陀螺、加速度計(jì)、多功能探頭等各種傳感器是獲取飛機(jī)飛行狀態(tài)信息的主要裝置。如果傳感器發(fā)生故障，將給飛行控制系統(tǒng)信號(hào)處理帶來嚴(yán)重影響，甚至威脅飛行安全。因此，針對(duì)飛機(jī)飛行相關(guān)傳感器故障的診斷問題就顯得尤為重要。

傳感器故障一般是由部件老化、零點(diǎn)漂移等原因引起，從而一般故障幅值較小，變化緩慢，并且易受到噪聲干擾[1]。因而軟故障的檢測(cè)更為困難，并容易產(chǎn)生誤判。

本文對(duì)飛機(jī)傳感器故障的檢測(cè)要求，設(shè)計(jì)了卡爾曼濾波器，并通過仿真驗(yàn)證效果。

在傳感器故障診斷技術(shù)領(lǐng)域中，卡爾曼濾波器是一種應(yīng)用十分廣泛的方法。它由一系列遞歸形式的數(shù)學(xué)公式表述，提供了一種高效的、可計(jì)算的方法來估計(jì)過程的狀態(tài)，并使得估計(jì)均方誤差最小?？柭鼮V波器不僅可以估計(jì)信號(hào)過去和當(dāng)前狀態(tài)，還可以估計(jì)出將來的狀態(tài)[2]。

卡爾曼濾波的主要思想是利用實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之間的差值（稱之為“新息”）乘以相應(yīng)的權(quán)值（稱為“增益”）來修正狀態(tài)變量，從而使修正后的狀態(tài)變量值和實(shí)際的狀態(tài)變量值誤差的方差最小[3]。

1.1 飛機(jī)模型線性化

本文用已知的某型飛機(jī)非線性模型，代替真實(shí)的飛機(jī)，對(duì)其線性化之后，得到指定穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)處的小擾動(dòng)線性化狀態(tài)空間的模型。

本文中的飛機(jī)縱向二自由度小擾動(dòng)線性化方程可以表示為：

其中α表示迎角，ωz表示俯仰角速率，?表示俯仰角，δz表示平尾偏度。

1.2 卡爾曼濾波器的建模

基于飛機(jī)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)（xSS，uSS，ySS）建立的線性模型方程，可以簡化為式（2）：

式中Δx、Δu分別是狀態(tài)變量、控制輸入量的偏離量，Δy為測(cè)量值的偏離量，w、v分別為系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲，并假設(shè)為均值為零的高斯白噪聲，協(xié)方差矩陣分別為Q和R。

對(duì)于飛機(jī)的線性模型，可以建立如式（3）的卡爾曼濾波器：

其中，腳標(biāo)e代表對(duì)變量的估計(jì)，P為黎卡提方程（5）的解:

由此構(gòu)建完整的連續(xù)卡爾曼濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖1所示：

圖1 連續(xù)卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)圖

1.3 卡爾曼濾波器的應(yīng)用

卡爾曼濾波器以飛機(jī)線性模型輸出值及舵面偏度為輸入值，估計(jì)出飛機(jī)此刻的狀態(tài)變量以及測(cè)量參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)飛機(jī)狀態(tài)的監(jiān)視。

本文在基于飛行高度為5km，馬赫數(shù)為0.5，構(gòu)建以該點(diǎn)小擾動(dòng)線性模型及線性模型的卡爾曼濾波器，對(duì)兩者的輸出進(jìn)行對(duì)比，仿真模塊搭建如圖2所示。

圖2 仿真模塊圖

平尾舵偏在該穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的輸入值為-1.3°，設(shè)定在5秒時(shí)舵面偏度階躍變?yōu)?2°，在10秒時(shí)舵面偏度階躍回到初始值，觀察卡爾曼濾波器對(duì)飛機(jī)狀態(tài)量的估計(jì)效果?？柭鼮V波器估計(jì)輸出和線性模型輸出響應(yīng)如圖3所示。

仿真結(jié)果顯示，卡爾曼濾波器能很好地估計(jì)出飛機(jī)的狀態(tài)變量，同時(shí)還能夠?yàn)V除一定大小的測(cè)量噪聲。

全飛行包線范圍內(nèi)的飛機(jī)，是一個(gè)非線性很強(qiáng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，因此，要使用分段線性化模型，才能較好地模擬這個(gè)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。將飛機(jī)整個(gè)動(dòng)態(tài)過程分成若干個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，根據(jù)飛機(jī)高度、馬赫數(shù)、舵面偏度等變量來判斷飛機(jī)所處的分段模型，使用飛機(jī)該時(shí)刻的線性狀態(tài)空間方程，構(gòu)建相對(duì)應(yīng)的卡爾曼濾波器方程。

圖3 線性模型輸出和卡爾曼濾波器估計(jì)輸出

但是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，飛機(jī)狀態(tài)監(jiān)視與故障診斷系統(tǒng)對(duì)實(shí)時(shí)性要求很高；而在實(shí)際計(jì)算過程中，計(jì)算最優(yōu)濾波估計(jì)值的時(shí)間很長，很可能會(huì)超過允許的計(jì)算時(shí)間，無法達(dá)到實(shí)時(shí)性這個(gè)要求。一種解決方法是將各穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的卡爾曼增益矩陣離線計(jì)算并保存下來，但該方法需要更大的存儲(chǔ)空間，造成內(nèi)存負(fù)擔(dān)過重，并且每一步計(jì)算都必須調(diào)用對(duì)應(yīng)的矩陣數(shù)據(jù)庫，無形中增加運(yùn)算時(shí)間。因此，另行提出一種解決方法，尋找一組簡化的卡爾曼濾波器方程，即次優(yōu)濾波器，在整個(gè)動(dòng)態(tài)過程中，將模型細(xì)化為若干組穩(wěn)態(tài)模型，每一個(gè)穩(wěn)態(tài)模型對(duì)應(yīng)一組K值，僅用一組常值卡爾曼增益陣。這樣設(shè)計(jì)是因?yàn)榭柭鼮V波本身具有魯棒性，因此，該方法可以大大降低計(jì)算量，提高系統(tǒng)運(yùn)行速度，減少運(yùn)行時(shí)間，即使對(duì)噪聲抑制能力較弱，依然能滿足工程應(yīng)用的要求。

2 飛機(jī)傳感器軟故障檢測(cè)

2.1 搭建傳感器軟故障生成模塊

典型的傳感器軟故障有以下三種：

1）傳感器固有偏差故障，主要表現(xiàn)為傳感器輸出值存在固定的偏差，即y=y+Δy，這里的Δy指固定的偏差；

2）傳感器漂移故障，主要表現(xiàn)為傳感器輸出值隨時(shí)間以固定斜率偏移原信號(hào)，即y=y+k(t-t0)，其中k為斜率，在t0時(shí)刻傳感器發(fā)生故障；

3）傳感器脈沖干擾故障，主要表現(xiàn)為傳感器輸出值存在脈沖干擾，如50Hz的交流電干擾。

用MATLAB/Simulink工具來模擬以上三種典型的傳感器故障，將飛機(jī)模型的迎角信號(hào)作為傳感器輸出信號(hào)，分別在第10秒給傳感器信號(hào)加上固有偏差信號(hào)、固有斜率漂移信號(hào)和脈沖干擾信號(hào)。漂移故障的Simulink故障生成模塊如圖4所示，其他故障的生成模塊類似。

圖4 傳感器漂移故障生成模塊

將此三種典型傳感器故障的模擬結(jié)果和正常輸出放在一張圖上，以形象的顯示不同的故障對(duì)傳感器造成的各種負(fù)面影響，如圖5所示：

圖5 傳感器正常輸出和故障輸出的對(duì)比

由圖5可清晰地看出這三種傳感器故障對(duì)傳感器信號(hào)輸出的影響，它們對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定有很大的負(fù)面影響。因此，若要保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定工作，需要盡力避免以上傳感器故障。

2.2 單傳感器故障檢測(cè)

基于卡爾曼濾波器的傳感器故障檢測(cè)方法為：假設(shè)故障診斷模型中共用到m個(gè)輸出參數(shù)，則這m個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)著m個(gè)傳感器。設(shè)計(jì)m個(gè)卡爾曼濾波器，但是這m個(gè)濾波器中的每一個(gè)的輸入都只利用m-1個(gè)傳感器測(cè)量參數(shù)。例如，對(duì)于第i個(gè)卡爾曼濾波器來講，輸入yi中包含了除第i個(gè)外的其余m-1個(gè)傳感器輸出量。其原因是，如果第i個(gè)傳感器發(fā)生了故障，由于只有第i個(gè)卡爾曼濾波器沒有使用有故障的傳感器的測(cè)量值，因此只有它得到的估計(jì)結(jié)果是正確的，而其余的卡爾曼濾波器由于都使用了有故障的傳感器的測(cè)量值，所以其余的卡爾曼濾波器的估計(jì)結(jié)果都會(huì)不同程度的偏離準(zhǔn)確值，這樣就可以進(jìn)一步判斷出故障的存在。

圖6 基于卡爾曼濾波器傳感器軟故障診斷策略流程圖

在圖6中,第i個(gè)卡爾曼濾波器方程為：

其中，Δyi是測(cè)量值Δy中除去第i行后的測(cè)量子集，矩陣Ci和Di分別是C和D中除去第i行后剩下的子集，Ki是對(duì)應(yīng)于矩陣對(duì)（A，Ci）的卡爾曼濾波器增益矩陣?？柭鼮V波器的輸入值yi和濾波之后的估計(jì)輸出值yie之差即為前文提到的殘差，對(duì)于第i個(gè)卡爾曼濾波器，若用r表示殘差，則有：

需要注意的是，yi表示傳感器測(cè)量值的輸出量，是卡爾曼濾波器的輸入（除去第i個(gè)傳感器的測(cè)量值），yie表示經(jīng)過卡爾曼濾波器之后測(cè)量參數(shù)估計(jì)值。由此可以得到殘差序列ri，ri可作為下一步工作的數(shù)據(jù)。

當(dāng)傳感器無故障且濾波過程趨于穩(wěn)定時(shí)，殘差向量ri服從多維正態(tài)分布ri～N（0σ2i），因此可以構(gòu)造傳感器故障指示變量：

WSSRi（Weight Sum of Squared Residuals）稱為“殘差加權(quán)平方和”，由于ri～N（0，σ2i），所以WSSRi服從自由度為m-1的χ2分布。向量σi表示第i個(gè)傳感器子集的標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)某一個(gè)傳感器發(fā)生故障時(shí)，測(cè)量參數(shù)與濾波器估計(jì)輸出之間殘差的特性相應(yīng)發(fā)生改變，WSSRi就會(huì)發(fā)生較大的變化，因此通過監(jiān)視故障指示變量WSSRi的變化情況就可以判斷對(duì)應(yīng)傳感器是否發(fā)生故障。

根據(jù)式（6）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)趇個(gè)傳感器發(fā)生故障時(shí)，由于第i個(gè)濾波器的輸入為除去故障傳感器之外的測(cè)量信息，因此其估計(jì)輸出結(jié)果應(yīng)當(dāng)與測(cè)量值保持一致；剩余m-1個(gè)傳感器由于都使用了故障傳感器的測(cè)量數(shù)據(jù)作為輸入，因此估計(jì)值都將偏離實(shí)際情況。如果設(shè)定與WSSRi相關(guān)的某一門限值ε，當(dāng)?shù)趇個(gè)傳感器發(fā)生故障時(shí)，除WSSRi保持較小之外，其它傳感器故障指示變量均超出所設(shè)定的閥值，則可以準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)對(duì)于故障傳感器i的檢測(cè)和隔離。因此，可以選擇判斷故障發(fā)生的準(zhǔn)則為：

為驗(yàn)證此傳感器故障檢測(cè)方法，構(gòu)建卡爾曼濾波器的傳感器軟故障的故障檢測(cè)仿真模塊，如圖7所示。選擇三個(gè)傳感器的測(cè)量值，分別是多功能探頭測(cè)迎角（Alpha）、俯仰速率陀螺測(cè)俯仰角速率（Wzt）、慣導(dǎo)測(cè)俯仰角(Theta)。因此采用三個(gè)卡爾曼濾波器，第一個(gè)濾波器的輸入為除去迎角（Alpha）的其他兩個(gè)傳感器值，同樣地，第二個(gè)為除去俯仰角速率（Wzt）的其他兩個(gè)傳感器值，第三個(gè)為除去俯仰角(Theta)的其他兩個(gè)傳感器值。分別對(duì)每個(gè)卡爾曼濾波的輸出殘差計(jì)算加權(quán)平方和WSSR，如果三個(gè)WSSR值中僅有一個(gè)小于其門限值而其余均大于門限值，則可以判斷出小于門限值通道對(duì)應(yīng)的傳感器發(fā)生了故障。本文中取迎角（Alpha）、俯仰角速率（Wzt）、俯仰角(Theta)的傳感器標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.5%，0.5%，0.5%。

沒有加入故障時(shí)，三個(gè)卡爾曼濾波器輸出三個(gè)估計(jì)值序列，再通過殘差加權(quán)平方和（Compute_WSSR）計(jì)算模塊算出三個(gè)濾波器的WSSR值。WSSR2、WSSR3、WSSR4分別代表除去第二、三、四個(gè)傳感器測(cè)量值通道的卡爾曼濾波器輸出殘差加權(quán)平方和，也可稱為對(duì)應(yīng)傳感器的故障指示信號(hào)。由于沒有加入故障，卡爾曼濾波器的估計(jì)值是正確的，進(jìn)而可以得出較小的殘差量，殘差序列的加權(quán)平方和很小。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖7 卡爾曼濾波器傳感器軟故障的故障檢測(cè)模塊

圖8 無故障時(shí)卡爾曼濾波器殘差的WSSR值

下文將分別對(duì)單傳感器固有偏差故障、漂移故障、脈沖干擾故障問題進(jìn)行仿真。在傳感器軟故障仿真模塊的基礎(chǔ)上，給卡爾曼濾波故障檢測(cè)模塊的某一路傳感器輸出加入故障信號(hào)，模擬傳感器故障發(fā)生。

在飛機(jī)某個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，分別進(jìn)行飛機(jī)傳感器固有偏差故障檢測(cè)仿真、傳感器漂移故障檢測(cè)仿真、傳感器脈沖干擾故障檢測(cè)仿真。在5秒處，迎角（Alpha）傳感器信號(hào)加入幅值大小為0.6%的固有偏差故障，得到仿真濾波器殘差的WSSR值如圖9所示；在5秒處，俯仰角速率（Wzt）傳感器加入三種不同斜率的漂移故障，故障的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y=y+k*(t-5)，斜率k取0.002，得到仿真濾波器殘差的WSSR值如圖10所示；給俯仰角速率（Wzt），加入幅值大小為0.6%、周期為10s的脈沖干擾信號(hào)，得到仿真濾波器殘差的WSSR值如圖11所示。

圖9 迎角傳感器發(fā)生0.6%固有偏差故障時(shí)濾波器殘差的WSSR值

從圖9中可以看出，除了迎角傳感器（Alpha）對(duì)應(yīng)的濾波器殘差WSSR2依然保持較小的值外，其他傳感器對(duì)應(yīng)的濾波器殘差WSSR值在5秒處都開始增大并超出了設(shè)定的檢測(cè)門限值。因此該故障檢測(cè)方法能檢測(cè)出迎角傳感器的固有偏差故障。

從圖10可以看出，除了俯仰角速率（Wzt）傳感器對(duì)應(yīng)的故障指示信號(hào)WSSR3依然保持較小的值外，其他傳感器對(duì)應(yīng)的故障指示信號(hào)在5秒處開始隨著時(shí)間逐漸增大，并在某一時(shí)刻超出了設(shè)定的檢測(cè)門限值，因此該故障檢測(cè)方法能檢測(cè)到俯仰角速率（Wzt）傳感器發(fā)生了漂移故障。

但是，從圖中可知在14s時(shí)，故障檢測(cè)機(jī)制才檢測(cè)出傳感器故障，而漂移故障數(shù)學(xué)表達(dá)式為y=y+k*（t-5），也就是說在t=5s時(shí)，就發(fā)生了故障，但是直到傳感器測(cè)量值偏離飛機(jī)真實(shí)值一段時(shí)間之后，才檢測(cè)出發(fā)生漂移。這說明，建立的飛機(jī)單傳感器故障檢測(cè)模塊對(duì)故障檢測(cè)漂移所需的時(shí)間與傳感器漂移的斜率有關(guān)。

圖10 俯仰角速率傳感器斜率0.002漂移故障時(shí)濾波器殘差的WSSR值

圖11 俯仰角速率傳感器發(fā)生0.6%脈沖干擾故障時(shí)濾波器殘差的WSSR值

從圖11可以看出，除了俯仰角速率（Wzt）對(duì)應(yīng)的濾波器殘差WSSR3依然保持較小的值外，其他傳感器對(duì)應(yīng)的濾波器殘差WSSR值以10秒為周期，脈沖增大超出設(shè)定的檢測(cè)門限值，又迅速回落。因此該故障檢測(cè)方法能檢測(cè)到俯仰角速率傳感器發(fā)生的脈沖干擾故障。

比較圖9、圖10及圖11，可以看出，根據(jù)卡爾曼濾波器理論建立的飛機(jī)單傳感器故障檢測(cè)模塊能判斷傳感器發(fā)生軟故障的類型。對(duì)于固有偏差故障，傳感器測(cè)量值是突然增大并且隨后一直偏離幅值較大，因此能迅速地檢測(cè)出來；而對(duì)于漂移故障，故障是緩慢發(fā)生的，隨時(shí)間推移才顯現(xiàn)出來，因此所需檢測(cè)時(shí)間也往后推移；對(duì)于脈沖干擾故障，傳感器測(cè)量值是脈沖形式急劇增大然后回落，也能迅速檢驗(yàn)出來。

綜上，根據(jù)故障發(fā)生的不同特性，濾波器殘差值變化的趨勢(shì)也不相同，可以據(jù)此判斷飛機(jī)單傳感器是發(fā)生固有偏差故障、漂移故障還是脈沖干擾故障。

3 結(jié)論

本文首先采用小擾動(dòng)法將某型飛機(jī)非線性模型線性化，建立了線性化模型。在該模型基礎(chǔ)上，先建立了飛機(jī)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的卡爾曼濾波器模型以實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)的估計(jì)。針對(duì)軟故障，首先建立軟故障生成模塊，以仿真圖的形式便于區(qū)分了解；隨后建立了一組卡爾曼濾波器用于檢測(cè)傳感器軟故障，并得到了較為理想的結(jié)果。

在能夠建立較為精確的研究對(duì)象系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的前提下，卡爾曼濾波器方法是最為簡潔有效的故障檢測(cè)方法，直到今天依然是研究的熱門方向?？傮w而言，本文是在將非線性化的飛機(jī)飛行狀態(tài)模型線性化的基礎(chǔ)上，運(yùn)用基于模型的卡爾曼濾波器方法對(duì)傳感器的典型故障進(jìn)行檢測(cè)，并通過仿真平臺(tái)予以驗(yàn)證，具有一定的理論參考和實(shí)用價(jià)值。