趙少卿,崔 巖,周六圓,孫 觀,何宏駿

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

混沌是一種看似無序的復(fù)雜運動形態(tài)，是不同于周期態(tài)、平衡態(tài)和擬周期態(tài)的特殊狀態(tài)。20世紀60年代,氣象學(xué)家洛倫茨(Lorenz)發(fā)現(xiàn)了一個由一階非線性三耦合微分方程組產(chǎn)生的混沌軌跡[1-2]。20世紀70年代，混沌現(xiàn)象引起學(xué)界的廣泛重視，多種混沌系統(tǒng)應(yīng)運而生，例如，與Lorenz系統(tǒng)有著不同拓撲結(jié)構(gòu)的Chen系統(tǒng)[3]、可以用物理手段實現(xiàn)的Chua電路系統(tǒng)[4]和Lü系統(tǒng)[5]等。勒斯勒(R?ssler)系統(tǒng)是基于Lorenz系統(tǒng)提出的具有較好混沌行為的非線性方程組[6]。近年來，文獻[7]對R?ssler系統(tǒng)進行了動力學(xué)分析，為該系統(tǒng)拓展了可選擇的參數(shù)范圍。文獻[8]實現(xiàn)了R?ssler系統(tǒng)與Sprott-O系統(tǒng)的混沌反同步，使R?ssler系統(tǒng)在工程實際中的應(yīng)用更為廣闊。

非線性系統(tǒng)是輸入和輸出不成正比的系統(tǒng)?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的最典型行為，它源于對初始條件的敏感依賴性[9]，對初值的微小擾動將會給系統(tǒng)帶來較大的影響。關(guān)于R?ssler系統(tǒng)，文獻[10]研究了一種基于R?ssler系統(tǒng)的二次加密算法。文獻[11]通過對R?ssler系統(tǒng)運動軌跡的跟蹤，使得心臟搏動系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。文獻[12]基于后推(Backstepping)算法，通過控制器使得超混沌R?ssler系統(tǒng)的李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)為負，實現(xiàn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制。文獻[13]用滑模變結(jié)構(gòu)方法控制R?ssler混沌系統(tǒng)，并使得趨近速度可自適應(yīng)調(diào)節(jié)，從而提高了狀態(tài)變量的收斂速度。文獻[14]將Lorenz和R?ssler系統(tǒng)進行耦合，研究了兩種時滯系統(tǒng)的耦合同步問題，揭示了系統(tǒng)中的時滯和耦合對系統(tǒng)動力學(xué)的影響。文獻[15]通過數(shù)學(xué)分析，對R?ssler系統(tǒng)的余維二fold-Hopf分岔進行了研究。文獻[16]實現(xiàn)了對R?ssler系統(tǒng)的雙反饋控制，并得出在平衡點發(fā)生Hopf分岔的充分條件。時滯系統(tǒng)是在系統(tǒng)變量中加入時滯參量使信號傳輸發(fā)生延時的系統(tǒng)。時滯系統(tǒng)中的Hopf分岔現(xiàn)象對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響。文獻[17]研究表明：時滯可使系統(tǒng)產(chǎn)生較為穩(wěn)定的吸引子。文獻[18]采用改良的一階差分算法，一定程度上減少了時滯Lorenz系統(tǒng)的計算量。文獻[19]通過數(shù)值分析法分析了時滯反饋對Lorenz系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

本文依據(jù)非線性動力學(xué)和Hopf分岔理論，對時滯R?ssler系統(tǒng)進行分析，給出系統(tǒng)的Hopf分岔發(fā)生條件，得出了系統(tǒng)在時滯分岔點附近的穩(wěn)定性分布。在計算過程中，針對存在的平衡點非零問題，采用換元法簡化計算過程，得到了比較理想的數(shù)值分析結(jié)果和仿真結(jié)果。

1 R?ssler系統(tǒng)分析

R?ssler系統(tǒng)為：

(1)

基于R?ssler系統(tǒng)，本文研究的時滯R?ssler系統(tǒng)可以描述為：

(2)

其中：x，y，z為變量；a，b，p為常量(a>0,b>0,p>0)；τ為時滯參量(τ>0)。

時滯R?ssler系統(tǒng)的平衡點滿足以下條件：

(3)

在平衡點E2處求得線性化系統(tǒng)(其余平衡點與此類似，故本文未做進一步分析)：

(4)

令p-x1=c，變換后的時滯R?ssler系統(tǒng)為：

(5)

其對應(yīng)的特征方程為：

λ3+cλ2+λ+c-(aλ2+acλ)e-λτ=0，

(6)

其中：λ為特征方程的根。

2 Hopf分岔分析

設(shè)當(dāng)τ>0時，λ=iw(w>0)是式(6)的一個純虛根，將其代入式(6)中可得：

-iw3-cw2+iw+c+(-aw2+iacw)(-coswτ+isinwτ)=0。

(7)

令實數(shù)和虛數(shù)分別等于0：

(8)

移項，同時平方可得：

w6+(c2-a2-2)w4+(1-2c2-a2c2)w2+c2=0。

(9)

命題1式(9)至少存在一個實根。

證明在式(9)中，令w2=x，則有：

x3+(c2-a2-2)x2+(1-2c2-a2c2)x+c2=0，

令

f(x)=x3+(c2-a2-2)x2+(1-2c2-a2c2)x+c2，

得到：

f(1)=-a2-a2c2<0，f(0)=c2>0。

根據(jù)零點存在定理,?ζ∈(0,1)使得f(ζ)=0。因此，式(9)存在一個實根。證畢。

設(shè)w0為式(9)的一個實根，同時，根據(jù)式(8)可得：

(10)

將w=w0代入式(10)，得到時滯參量τ的值為：

(11)

其中：k=0,1,2,3，…。

因此，(w0,τk)是式(7)的解，即當(dāng)τ=τk時，式(6)有共軛虛根λ=±iw0。

從而得到：

定理1設(shè)λ(τ)=m(τ)+in(τ)(其中，m(τ)和n(τ)均為τ的表達式)是式(6)的特征根，則有τ=τk使得m(τk)=0,n(τk)=w0。

證明對式(6)求導(dǎo)可得：

(12)

根據(jù)式(6)可得：

λ3+cλ2+λ+c=(aλ2+acλ)e-λτ。

(13)

將式(13)代入式(12)，可得：

(14)

根據(jù)式(14)和定理1可得：

(15)

由式(6)可得：

(16)

移項得：

(17)

化簡式(17)，可得：

(18)

將式(18)代入式(15)，可得：

(19)

又

(20)

將式(20)代入式(19)，可得：

(21)

即：

(22)

(Ⅰ)若τ∈(0,τ0)，系統(tǒng)在平衡點E2處由不穩(wěn)定逐漸變?yōu)榉€(wěn)定。

(Ⅱ)若τ=τk(k=0,1,2,…)，系統(tǒng)在平衡點E2處發(fā)生Hopf分岔，同時產(chǎn)生極限環(huán)。

(Ⅲ)若τ>τ0，系統(tǒng)在平衡點E2處是不穩(wěn)定的，但在一定范圍內(nèi)極限環(huán)依然存在。

以上結(jié)論表明:系統(tǒng)在τ=τk時,發(fā)生了超臨界Hopf分岔[22]。

3 數(shù)值仿真

3.1 數(shù)值分析

依據(jù)結(jié)論(Ⅰ)～結(jié)論(Ⅲ)，令a=b=0.2,p=5.7，則時滯R?ssler系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(23)

依據(jù)結(jié)論(Ⅰ)～結(jié)論(Ⅲ)，得到：

下面運用MATLAB軟件證明上述結(jié)論。

3.2 仿真結(jié)果

3.2.4 變量z在一定時滯范圍內(nèi)的Hopf分岔

圖7 時滯參量τ∈(3.5,6.0)

圖8 時滯參量τ∈(3,11)

4 結(jié)束語

本文研究了時滯R?ssler系統(tǒng)的Hopf分岔問題，得到如下結(jié)論：時滯R?ssler系統(tǒng)中的時滯參量τ從τk增大到τk+1的過程中，系統(tǒng)由混沌逐漸變?yōu)榉€(wěn)定，且當(dāng)τ=τk時系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔并形成極限環(huán)，當(dāng)τ超過τk一定范圍時，極限環(huán)消失，系統(tǒng)發(fā)生混沌現(xiàn)象。通過MATLAB軟件仿真，給出了不同時滯參量條件下系統(tǒng)的三維空間相圖和時間序列，并以變量z為例，給出了其在一定時滯范圍內(nèi)的Hopf分岔圖，證明了所述結(jié)論的正確性。本文使R?ssler混沌系統(tǒng)的理論更加完備，使得R?ssler系統(tǒng)在混沌同步和保密通信等領(lǐng)域有了更為廣闊的發(fā)展前景，并為R?ssler系統(tǒng)在工程實際中的應(yīng)用提供了更加豐富的理論依據(jù)。