陳 璇 ，李 奇 ，李博文 ，肖意可，晏 良

(1. 國防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長沙 410073；2. 上海機(jī)電工程研究所， 上海 201109)

0 引 言

當(dāng)前，隨著科技的不斷進(jìn)步與發(fā)展，目標(biāo)干擾樣式和手段、導(dǎo)引頭制導(dǎo)方式、作戰(zhàn)場景與作戰(zhàn)方式等日趨靈活多樣。在復(fù)雜多變的電磁環(huán)境下，導(dǎo)引頭能否準(zhǔn)確命中目標(biāo)，能否對其命中精度、命中概率、抗干擾能力等精度性能指標(biāo)進(jìn)行有效評估，是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)試驗鑒定中的一項重要研究內(nèi)容。

目前，武器系統(tǒng)精度評估較為常用的方法主要有三類[1-8]：一是小子樣快速收斂統(tǒng)計方法，適用于現(xiàn)場數(shù)據(jù)量不大，又無法獲得其他可用信息的情況，包括序貫決策、Bootstrap抽樣、Bayesian Bootstrap方法、隨機(jī)加權(quán)法等；二是多狀態(tài)信息融合統(tǒng)計方法，適用于現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)量不大，但存在相關(guān)歷史信息的情況，主要包括Bayes統(tǒng)計、Fiducial統(tǒng)計、百分統(tǒng)計學(xué)、模糊判決、D-S推理等；三是原型(仿真)系統(tǒng)試驗統(tǒng)計方法，適用于由于安全、成本、規(guī)模等各種因素難以開展實裝試驗的情況，主要利用系統(tǒng)建模與仿真技術(shù)、模型的校驗、驗證和確認(rèn)(verification,validation and accreditaion, VV&A)技術(shù)，確認(rèn)原型系統(tǒng)或仿真模型，并通過少量外場試驗，應(yīng)用小子樣方法，評估武器系統(tǒng)的性能。此外，還可以應(yīng)用馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo, MCMC)方法，在試驗分布參數(shù)確定、序貫信息融合方面應(yīng)用前景廣闊，可以避免大量的積分計算[3]。

1 多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度評估原理與方法

對于制導(dǎo)精度評估問題而言，由于其性能試驗類型具有多源性，覆蓋面十分廣泛，既包括系統(tǒng)級外場原型試驗，也包括數(shù)值模擬試驗、半實物仿真試驗、掛飛試驗、地面靜態(tài)模擬試驗等替代等效試驗。受地域、成本、資源等因素的限制，系統(tǒng)級外場原型試驗狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)較少，具有小子樣的特點，單純靠少量的原型試驗數(shù)據(jù)難以有效評估制導(dǎo)精度。這時，進(jìn)一步擴(kuò)充信息源，充分利用其他類型的替代等效試驗數(shù)據(jù)作為先驗信息，在此基礎(chǔ)上開展融合評估，是較為常見的一種解決思路，屬于多狀態(tài)信息融合統(tǒng)計方法。

在評估過程中需要注意的是，替代等效試驗與系統(tǒng)級外場原型試驗是在不同狀態(tài)下進(jìn)行的試驗，因此，兩類試驗結(jié)果并不屬于同一總體，不能直接進(jìn)行融合。工程中常用的方法是從物理機(jī)理模型出發(fā)，將替代等效試驗結(jié)果通過折合或者誤差補(bǔ)償，推算到原型試驗狀態(tài)下，再與原型試驗小樣本數(shù)據(jù)融合評估。然而，在推算過程中，受各種誤差因素的影響，折合或者誤差補(bǔ)償時必然會產(chǎn)生一定的折合誤差。此外，當(dāng)替代等效試驗折合后的數(shù)據(jù)與原型試驗小樣本數(shù)據(jù)存在顯著差異時，融合結(jié)果也會出現(xiàn)較大的偏差，這時需要從數(shù)據(jù)分布差異的角度考慮，利用數(shù)據(jù)相容性檢驗結(jié)果判斷兩種類型的試驗數(shù)據(jù)是否能夠進(jìn)行融合，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)可信度加權(quán)融合。然而，在替代等效試驗數(shù)據(jù)有具體物理機(jī)理來源信息的情況下，仍只從數(shù)據(jù)層面去度量可信度，則評估結(jié)論會顯得過于片面[1-3]。

因此，本文提出了一種引入復(fù)合可信度的多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度評估方法，從數(shù)據(jù)分析和物理機(jī)理兩個角度進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，通過數(shù)據(jù)相容性檢驗和物理機(jī)理折合誤差結(jié)果,計算了替代等效試驗折合樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的復(fù)合可信度。在此基礎(chǔ)上，以服從正態(tài)分布的制導(dǎo)精度指標(biāo)脫靶量為例，利用Bayes方法對多源數(shù)據(jù)進(jìn)行融合評估，具體流程如圖1所示。

圖1 多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度融合評估流程圖Fig.1 Flow chart of the guidance precision fusion evaluation on multi-source data

2 基于數(shù)據(jù)相容性與物理機(jī)理折合誤差的先驗信息復(fù)合可信度計算

2.1 數(shù)據(jù)相容性檢驗及對應(yīng)先驗信息可信度計算[3]

從數(shù)據(jù)分析角度而言，先驗信息可信度計算方法一般是基于數(shù)據(jù)的相容性檢驗。目前較為常用的方法是運(yùn)用秩和檢驗法對兩類數(shù)據(jù)進(jìn)行相容性檢驗。針對制導(dǎo)精度而言，需要用系統(tǒng)級外場原型試驗數(shù)據(jù)樣本與不同類型的替代等效試驗折合后的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行檢驗。若檢驗后兩者分布差異較大，不能看作同一總體，則該類替代等效試驗折合樣本應(yīng)予以剔除，不能與系統(tǒng)級外場原型試驗數(shù)據(jù)樣本放到一起進(jìn)行融合。

記X=(X1,…,Xn1)為系統(tǒng)級外場原型試驗樣本，Y=(Y1,…,Yn2)為一種類型的替代等效試驗折合后數(shù)據(jù)樣本(先驗子樣)，要求驗證X與Y是否屬于同一總體，為此，引入競擇假設(shè)

H0：X與Y屬于同一總體?H1：X與Y不屬于同一總體

運(yùn)用秩和檢驗，將X、Y混合，由小到大排序，得次序統(tǒng)計量Z1≤Z2≤…≤Zn1+n2。

記Yk=Zj，即Y中的第k個元Yk在混合排序中的名次為j，稱它為Yk的秩，記作γk(Y)=j。

于是在獲得子樣X、Y之后，計算秩和T，在檢驗水平α之下，若T1

先驗子樣Y的可信度p可定義為當(dāng)采納H0事件時H0成立的概率，即X和Y屬于同一總體的概率，則有p=P{H0|A}。

利用Bayes公式推導(dǎo)可得

(1)

式中：β為采偽概率；P(H0)為先驗概率。

下面分別討論采偽概率β和先驗概率P(H0)的計算方法。

2.2 采偽概率β計算方法

確定檢驗水平α之下的臨界區(qū)域為D={T≤T1或T≥T2}，根據(jù)采偽概率定義，有β=P{T1

采偽概率β的計算相對較為復(fù)雜，想給出其解析表達(dá)式相對困難，通常采用Bootstrap方法估計分布，并通過Monte Carlo仿真進(jìn)行計算。針對制導(dǎo)精度指標(biāo)，如脫靶量，一般認(rèn)為X、Y均服從正態(tài)分布，于是相容性檢驗問題可轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體下均值與方差的相等性檢驗問題。

H0:D1/D0=1?H1:D1/D0=λ2>1

計算步驟如下：

Step1選擇檢驗的顯著性水平α；

Step2查找自由度為(n1-1,n2-1)的Fα/2和自由度為(n2-1,n1-1)的Fα/2；

此時，采偽概率β=P{F1-α/2

β=P{F1-α/2

P{F1-α/2/λ

(2)

因此，可得F1-β=Fα/λ，通過查找F分布表，可以得出采偽概率β。

2.3 先驗概率P(H0)計算方法

在式(1)中，當(dāng)無任何其他先驗信息可利用時，可取P(H0)=1/2，此時可信度p簡化為

同理，完全加權(quán)負(fù)項集NI(Negative Itemset)關(guān)聯(lián)度(all-weighted Negative Itemset Relevancy,awNIR)的計算如式(9)所示：

(3)

針對制導(dǎo)精度試驗，隨著制導(dǎo)方式、目標(biāo)特性、環(huán)境、干擾策略與樣式等各個因素的變化，脫靶量、命中概率等精度指標(biāo)也隨之產(chǎn)生變化。不同類型的替代等效試驗制導(dǎo)精度結(jié)果均可依據(jù)物理機(jī)理模型折合到系統(tǒng)級外場原型試驗下，但是由于不同類型下各因素的試驗環(huán)境和狀態(tài)不一，以及折合過程中的誤差傳播、隨機(jī)擾動等帶來的影響，折合結(jié)果都會產(chǎn)生誤差[9-13]。此時，將不同類型的替代等效試驗折合數(shù)據(jù)作為先驗信息，若能夠測算到替代等效試驗折合過程產(chǎn)生的誤差和觀測總誤差，則對應(yīng)的先驗概率P(H0)可以根據(jù)替代等效試驗的折合精度進(jìn)行計算。

現(xiàn)設(shè)共有M類多源替代等效試驗，每類試驗的數(shù)據(jù)樣本數(shù)記為Ni(i=1,…,M)，分別折合到系統(tǒng)級外場原型試驗狀態(tài)下。記第i類替代等效試驗數(shù)據(jù)折合樣本的折合誤差為σi，可以依據(jù)物理模型的精度和誤差傳播關(guān)系推導(dǎo)得到觀測總誤差σ總i，則第i類替代等效試驗折合樣本的先驗概率P(H0)i可表示為

(4)

式中，參數(shù)ηi和γi為衡量變化速率的參數(shù)。對于不同類型試驗應(yīng)該選取不同值，一般取ηi∈[0.5,2]，γi∈[1,2]，此時函數(shù)變化速率相對較為緩慢，也可以結(jié)合工程經(jīng)驗對參數(shù)進(jìn)行選取[14]。

可以看出，若σi=0，即表示折合的方法和過程未產(chǎn)生任何折合誤差，這是一種理想情況，此時P(H0)i=1，代入式(1)后得先驗信息復(fù)合可信度為1，即表示該類替代等效試驗折合樣本完全可信，可以直接與系統(tǒng)級外場原型試驗樣本進(jìn)行融合。若σi≈σ總i，并取ηi=1，得P(H0)i≈1/2，說明該類替代等效試驗折合樣本中的觀測誤差基本都是由折合過程產(chǎn)生的，此時等價于無先驗信息可利用的情況，直接利用數(shù)據(jù)相容性檢驗得到的可信度與系統(tǒng)級外場原型試驗樣本進(jìn)行加權(quán)融合。

從物理機(jī)理角度而言，本節(jié)中先驗概率P(H0)i的定義其實表征了第i類替代等效試驗折合樣本與原型試驗樣本的一種相似程度。觀測總誤差中折合誤差越低，表示該類試驗折合后的樣本數(shù)據(jù)越可信，這與式(1)中先驗信息可信度隨先驗概率增大而遞增的變化規(guī)律也是一致的。

先驗信息可信度的準(zhǔn)確度量對Bayes融合估計結(jié)果影響很大。本節(jié)提出的先驗概率計算建立在對誤差機(jī)理和誤差折合精度的分析基礎(chǔ)上，對應(yīng)算出的復(fù)合可信度具有一定的準(zhǔn)確性。

3 基于復(fù)合可信度的Bayes融合評估

3.1 經(jīng)典Bayes估計[3,14-15]

給定先驗樣本X=(X1,X2,…,Xn)，記參數(shù)θ的估值為δ(X)，令L(θ,δ)為損失函數(shù)。此時在給定X之下的平均損失為

(5)

式中，π(θ|X)為θ的驗后密度函數(shù)。

(6)

損失函數(shù)L(θ,δ)取平方誤差損失函數(shù)L(θ,δ)=(θ-δ)2，則θ的Bayes估計即為其驗后分布π(θ|X)的數(shù)學(xué)期望值δ(X)，即

(7)

估計的后驗方差為

MSE(δ(X)|X)=Eθ|X(θ-E[θ|X])2=Var(θ|X)

(8)

3.2 無先驗信息時的分布參數(shù)確定[14]

(9)

(10)

假定無先驗信息可用，則有無信息先驗 π(μ,D)∝D-1，根據(jù)Bayes公式有

(11)

經(jīng)計算，可以得到正態(tài)-逆Gamma分布超參數(shù)α0、β0的估計值為

(12)

3.3 有先驗信息時的Bayes融合估計

(13)

若不考慮替代等效試驗的可信度，直接將樣本X(1)與X(0)融合估計，則有(μ,D)服從正態(tài)-逆 Gamma 分布，記

(14)

分布密度函數(shù)為

(15)

可以推出，超參數(shù)α1、β1的估計值為

(16)

(17)

將一類替代等效試驗的推斷結(jié)果拓展到M類替代等效試驗下，可以得出，(μ,D)服從正態(tài)-逆Gamma分布，超參數(shù)αM,βM的估計值為

(18)

則可得到μ和D的Bayes估計為

(19)

μ和D的后驗方差為

(20)

3.4 基于復(fù)合可信度的Bayes融合估計

在有先驗信息時的Bayes融合估計中考慮M類替代等效試驗折合樣本的可信度。根據(jù)先驗信息可信度的計算，可以得到第i類替代試驗折合樣本的可信度為pi，對試驗結(jié)果進(jìn)行加權(quán)融合，則可以得到(μ,D)服從正態(tài)-逆Gamma分布的超參數(shù)α′M,β′M的估計值為

(21)

此時，μ和D的Bayes估計為

(22)

后驗方差為

(23)

4 仿真案例

以制導(dǎo)精度脫靶量指標(biāo)為例進(jìn)行仿真。脫靶量服從的總體分布其實是未知的，但是為了使仿真結(jié)果便于比較，這里假設(shè)其服從正態(tài)分布N(25,10)，從中隨機(jī)抽取樣本數(shù)為6的系統(tǒng)級外場原型試驗子樣(單位為m)，記為X(0)=[5.721 7, 30.214 1, 15.089 8, 22.468 7，35.092 7，25.510 1]。另外，設(shè)現(xiàn)有兩類替代等效試驗，假設(shè)其折合后的脫靶量結(jié)果分別服從正態(tài)分布N(25,11)和N(25,10.2)，從中各隨機(jī)抽取樣本數(shù)為20和10的樣本?？梢钥闯?，這里兩類替代等效試驗折合數(shù)據(jù)的分布與原型試驗的分布均有一定差異，第一類替代等效試驗樣本量較大，但與原型試驗總體分布對比，分布差異相對較大；第二類替代等效試驗樣本量相對較少，但其分布差異與原型試驗總體分布較為接近。

表1給出了三種脫靶量評估方法的結(jié)果，分別給出了均值、方差的點估計以及兩個估計的后驗方差。第一種方法未融合替代等效試驗的折合樣本，直接利用系統(tǒng)級外場原型試驗樣本進(jìn)行估計；第二種方法經(jīng)相容性檢驗判定兩類替代等效試驗折合樣本均與原型試驗子樣屬于同一分布后，未考慮物理機(jī)理影響，僅用數(shù)據(jù)相容性檢驗得到的可信度，利用Bayes方法融合估計，先驗概率取P(H0)=1/2；第三種方法基于復(fù)合可信度進(jìn)行Bayes融合評估，兩類替代等效試驗折合樣本的折合誤差分別取σ1=3.5，σ總1=4，σ2=1，σ總2=10，并均取η1=η2=γ1=γ2=1，代入式(4)可得，兩類替代等效試驗折合樣本的先驗概率分別為P(H0)1=0.533 3，P(H0)2=0.909 1。取α=0.025，利用F檢驗計算得出兩類替代等效試驗的采偽概率β1=0.035 5，β2=0.026 5，代入式(1)可得，兩類試驗的信息可信度分別為p1=0.969 0，p2=0.997 3。

表1 三種脫靶量評估方法對比Tab.1 Comparison of three miss distance assessment methods

對比三種方法的評估結(jié)果并進(jìn)行分析,可知：

1) 方法1估計結(jié)果與仿真的初始分布N(25,10)差異極大，且均值與方差估計的后驗方差都相對較高。這主要是因為系統(tǒng)級外場原型試驗數(shù)據(jù)樣本量較少，估計結(jié)果與采樣數(shù)據(jù)高度相關(guān)。

2) 方法2與方法3均利用替代等效試驗折合樣本擴(kuò)充了信息源，雖然兩類替代等效試驗與原型試驗分布有一定差異，但是融合后的評估結(jié)果與方法1相比更接近于仿真的初始分布，且均值、方差估計的后驗方差均大幅降低。

3) 本例中第一類替代等效試驗樣本量較多，但折合精度不高；第二類樣本量相對較少，但折合精度更高。引入復(fù)合可信度的多源數(shù)據(jù)Bayes融合評估方法(即方法3)的計算結(jié)果與方法2的計算結(jié)果相比，均值與方差估計相對更為穩(wěn)健，后驗方差也有所降低，且有效降低了低可信度先驗信息的影響，結(jié)果更為合理。

5 結(jié)束語

本文主要針對多源數(shù)據(jù)制導(dǎo)精度的融合評估問題，以服從正態(tài)分布的脫靶量指標(biāo)為例，提出了一種依托數(shù)據(jù)相容性檢驗和物理機(jī)理折合誤差來計算多源替代等效試驗信息可信度的方法，并以此為基礎(chǔ)，利用Bayes方法與系統(tǒng)級外場原型試驗樣本加權(quán)融合評估。仿真結(jié)果表明，引入復(fù)合可信度后的Bayes融合評估方法能夠從一定程度上改善單純依靠外場原型試驗小子樣評估結(jié)果不準(zhǔn)確的情況，使精度指標(biāo)的評估結(jié)果更為精確、穩(wěn)健，具有實用性。

本文提出的這種思路其實可以看作是工程化折合方法與數(shù)理統(tǒng)計方法的有機(jī)結(jié)合，與物理工程背景結(jié)合緊密，具有合理性和實用性。文中制導(dǎo)精度指標(biāo)以脫靶量為例，若對命中概率、抗干擾概率等概率型指標(biāo)開展評估，替代等效試驗信息可信度的計算方法仍然適用，而在Bayes融合評估中則需要采用二項分布參數(shù)的相關(guān)估計方法[16-17]。