霍志敏 李雪飛 聶慶微 張玲玲 王榮華

摘? 要：產(chǎn)權(quán)體是三維地籍的登記客體，其模型是三維地籍登記的基礎(chǔ)。帶洞產(chǎn)權(quán)體是一種幾何形狀比較特殊的體，在建模過(guò)程中存在一定困難，是三維地籍建模必須解決的一個(gè)問(wèn)題。文章給出了三維帶洞產(chǎn)權(quán)體的分類(lèi)，在此基礎(chǔ)上，提出了一種三維空間數(shù)據(jù)模型和基于“拉伸”式的三維帶洞產(chǎn)權(quán)體重建方法。利用該方法，在已有的2D圖形基礎(chǔ)上，可快速重建三維帶洞產(chǎn)權(quán)體，為三維空間權(quán)的管理和利用提供了理論借鑒和技術(shù)支持。

關(guān)鍵詞：三維地籍;產(chǎn)權(quán)體;拉伸;三維重建

中圖分類(lèi)號(hào)：P208? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2020）26-0017-04

Abstract： The property right body is the registration object of three-dimensional cadastre， and its model is the basis of 3D cadastral registration. The property right with cavities is a kind of body with special geometric shapes， and there are some difficulties in the process of modeling， which is a problem that must be solved in 3D cadastral modeling. In this paper， the classification of three-dimensional property rights with cavities is given. On this basis， a three-dimensional spatial data model and a reconstruction method of 3D property rights with cavities based on "stretching" are proposed. Using this method， the 3D property right with cavities can be quickly reconstructed on the basis of the existing 2D graphics， which provides theoretical reference and technical support for the management and utilization of 3D space rights.

Keywords： 3D cadastral; property right body; stretching; 3D reconstruction

人口的劇增和土地資源的日益稀缺促使城市土地利用不斷向立體空間延伸[1]，導(dǎo)致了不同的產(chǎn)權(quán)單元在空間上相互疊加，形成了復(fù)雜的產(chǎn)權(quán)簇或產(chǎn)權(quán)層。特別是不斷出現(xiàn)的新型建筑，如空中跨街建筑、錯(cuò)層住宅等，使得傳統(tǒng)的二維地籍圖和分層分戶(hù)圖難以準(zhǔn)確表達(dá)產(chǎn)權(quán)單元的空間權(quán)屬范圍[2]。實(shí)踐中，因空間權(quán)屬范圍不明確引起的糾紛日漸突出[2]。清晰、準(zhǔn)確地界定各類(lèi)產(chǎn)權(quán)單元在三維空間中的權(quán)屬范圍已成為權(quán)屬管理部門(mén)亟需解決的問(wèn)題[3]。

近幾年來(lái)，郭仁忠[3-5]Stoter[6-8]等提出引入三維地籍來(lái)解決上述問(wèn)題，即以具有明確三維權(quán)屬邊界的產(chǎn)權(quán)體為登記對(duì)象來(lái)管理立體權(quán)利。產(chǎn)權(quán)體是三維地籍中最小的單元，相當(dāng)于二維地籍中的宗地，通常采用多面體表達(dá)[6]。以產(chǎn)權(quán)體的形式登記可以準(zhǔn)確記錄產(chǎn)權(quán)單元的空間權(quán)屬范圍，為空間確權(quán)提供了有效方法。然而，城市中產(chǎn)權(quán)體的數(shù)量巨大，如何快速、經(jīng)濟(jì)對(duì)其重建是實(shí)現(xiàn)三維產(chǎn)權(quán)精細(xì)管理的關(guān)鍵。而現(xiàn)實(shí)世界中的產(chǎn)權(quán)體多為規(guī)則體，并有對(duì)應(yīng)的二維圖形數(shù)據(jù)（樓層平面圖、宗地圖等）和高度信息，可采用“拉伸”二維圖形的方式重建產(chǎn)權(quán)體的三維模型，即以二維圖形為底面，按照給定高度，自下向上“拉伸”生成體模型。

目前，Ledoux研究了基于“拉伸”式的拓?fù)湟恢滦灾亟ǎ⑼ㄟ^(guò)引入“節(jié)點(diǎn)柱”來(lái)解決鄰接建筑物不等高以及圖形拓?fù)淙踹B接的問(wèn)題。賀彪[1]研究了異構(gòu)建筑物的拓?fù)渲亟?，提出異?gòu)條件下橫向拓?fù)涞臉?gòu)建算法。然而，這些研究所基于的二維圖形都不帶洞。現(xiàn)實(shí)世界中，洞是較普遍存在的現(xiàn)象，如包含天井的建筑、電梯間、房間中的柱子等。因此，洞的重建問(wèn)題不能忽視。本文將以二維圖形為基礎(chǔ)，研究基于“拉伸”式的帶洞產(chǎn)權(quán)體拓?fù)渲亟ā?/p>

1 分析

1.1 洞的數(shù)學(xué)描述

從拓?fù)鋵W(xué)的角度來(lái)講，曲面上的洞被稱(chēng)為“環(huán)柄”（handles），面的“環(huán)柄”數(shù)稱(chēng)為虧格（Genus）。虧格數(shù)是拓?fù)渥儞Q下的一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?。如果一個(gè)曲面具有圖（graph）結(jié)構(gòu)

1.2 二維帶洞多邊形限定

帶洞二維多邊形類(lèi)型有多種，涉及內(nèi)外邊界相接、洞中帶島等多種奇異情況。這些奇異型雖然在幾何上有意義，但在GIS中并不一定合法。倘若以非法的二維圖形作為“拉伸”數(shù)據(jù)源，則生成的三維產(chǎn)權(quán)體也是奇異非法的。因此，需要對(duì)“拉伸”所使用的帶洞多邊形進(jìn)行限定。具體限定如下：

（1）帶洞多邊形的內(nèi)外邊界、外外邊界、內(nèi)內(nèi)邊界應(yīng)分離，不允許存在強(qiáng)連接（邊邊相接）、弱連接（邊點(diǎn)相接）或刺出。圖1（a）給出上述情況的示例，其中洞①與外邊界之間為強(qiáng)連接，洞②與外邊界之間為弱連接，③為外外邊界強(qiáng)連接，④為外外邊界弱連接，洞②⑤⑥間為內(nèi)邊界的弱連接，洞①⑤間為內(nèi)邊界的強(qiáng)連接，⑦為內(nèi)邊界刺出外邊界。（2）帶洞多邊形的洞內(nèi)不允許有島（圖1（b）中①），亦不允許島與洞以強(qiáng)連接（圖1（b）中②）或弱連接（圖1（b）中③）的方式存在。（3）帶洞多邊形內(nèi)部應(yīng)為連通區(qū)域，即多邊形內(nèi)外邊界圍成的區(qū)域?yàn)橐徽麎K，圖1（c）是個(gè)反例，其內(nèi)部不連通，表達(dá)該圖形需要兩個(gè)多邊形。

1.3 三維帶洞體分類(lèi)

采用“拉伸”方式重建產(chǎn)權(quán)體的方法有兩種：一種是先將二維圖形離散化，再拉伸生成三維體（圖2（a））。該方法的實(shí)質(zhì)是去洞化，通過(guò)連接帶洞多邊形的內(nèi)外邊界，將其分解為多個(gè)無(wú)洞多邊形后，再進(jìn)行“拉伸”。“拉伸”后生成的三維體（圖2（a））是由多個(gè)同胚于球面的曲面（拓?fù)湫g(shù)語(yǔ)，指由平面片圍成的封閉面集）粘合而成，而非一個(gè)曲面。這導(dǎo)致了本應(yīng)完整的體被分解為多個(gè)體，使得體的表達(dá)不唯一，出現(xiàn)一個(gè)產(chǎn)權(quán)體對(duì)應(yīng)多個(gè)幾何體的情況。另一種方法是直接“拉伸”二維圖形生成三維體，“拉伸”后生成的體是一個(gè)封閉曲面，如圖2（b）所示。依據(jù)“拉伸”過(guò)程體與洞是否等高，還可細(xì)分為等高式“拉伸”和非等高式“拉伸”;前者為體與洞“拉伸”高度相同（圖2（b）），后者為體與洞“拉伸”高度不同（圖2（c））。另外，前者的頂面為一個(gè)平面，后者的頂面則是由多個(gè)平面構(gòu)成。雖然二者在幾何上存在差異，但在拓?fù)渖鲜堑葍r(jià)的，二者都同胚于環(huán)面，具有相同的虧格G=1和歐拉示性數(shù)N=0。受被“拉伸”二維圖形形狀的影響（如構(gòu)成內(nèi)外邊界的邊數(shù)不等），非等高式“拉伸”生成體的頂面幾何形狀可能不唯一，如圖2（d）外邊界有6條邊，內(nèi)邊界有4條邊，由這些邊生成頂面存在多種形式。再如圖2（e）（f），頂面的構(gòu)建更加復(fù)雜，需要人工干預(yù)。本文旨在設(shè)計(jì)三維拓?fù)涞淖詣?dòng)構(gòu)建算法，因此，僅考慮了帶洞多邊形的等高式“拉伸”。

2 空間數(shù)據(jù)模型

2.1 二維空間數(shù)據(jù)模型

“拉伸”所使用二維數(shù)據(jù)采用拓?fù)鋽?shù)據(jù)模型組織，涉及四種拓?fù)湓兀汗?jié)點(diǎn)（Node）、邊（Edge）、邊環(huán)（Edge_loop）和面（Face）。具體描述如下：

（1）節(jié)點(diǎn)為拓?fù)錁?gòu)造的最低維基元，由x，y坐標(biāo)構(gòu)成;節(jié)點(diǎn)同時(shí)被兩條或兩條以上的邊共享。（2）邊為由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)限定的有向直線(xiàn)段，由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。邊同時(shí)被一個(gè)或兩個(gè)邊環(huán)共享。（3）邊環(huán)是由邊按照一定次序和方向組成的閉合環(huán)。若邊的方向與邊環(huán)的方向相反，則在該邊的標(biāo)號(hào)前添加負(fù)號(hào)，以示該邊方向與邊環(huán)方向相反。邊環(huán)上的所有邊共平面。如圖3左圖，el1={e1，-e4，-e2，e3}，el2={-e5，e6，-e7，e8}。（4）面是由一個(gè)或多個(gè)邊環(huán)圍成的平面。其中第一個(gè)邊環(huán)定義了面片外邊界，其它定義了面片的內(nèi)邊界（洞）;面片同樣具有方向性，其方向由邊環(huán)方向決定。如圖3左圖，f1={el1，el2}。

2.2 三維空間數(shù)據(jù)模型

對(duì)于“拉伸”生成的三維數(shù)據(jù)采用六種拓?fù)湓乇磉_(dá)：節(jié)點(diǎn)（Node）、邊（Edge）、邊環(huán)（Edge_loop）、面片（Face）、面環(huán)（Face_loop）和多面體（Polyhedron）。其中，前四種是上述二維拓?fù)湓卦谌S的推廣，除節(jié)點(diǎn)增加了z分量外，在拓?fù)錁?gòu)建上相同，都是采用了節(jié)點(diǎn)-邊-邊環(huán)-面這種拓?fù)溥f進(jìn)的方式。對(duì)于面環(huán)和多面體的描述如下：

（1）面環(huán)是由多個(gè)面片形成的殼，并且構(gòu)成面環(huán)的各個(gè)面片具有相同的方向。如面片方向與整個(gè)面環(huán)方向相反，則在該面片的標(biāo)號(hào)前添加負(fù)號(hào)，以示該面片定向與面環(huán)定向相反。如圖3右圖， Face_loop1={f1，f2，f3，f4，f5，f6}，F(xiàn)ace_loop2={f7，f8，f9，f10}。（2）多面體由一個(gè)或多個(gè)面環(huán)構(gòu)成。其中第一個(gè)面環(huán)定義了多面體的外邊界，其它定義了多面體內(nèi)邊界（洞）。如圖3右圖， Polyhedron1={ Face_loop1，F(xiàn)ace_loop2}。

3 基于“拉伸”式的三維帶洞產(chǎn)權(quán)體重建算法

基于“拉伸”式的產(chǎn)權(quán)體拓?fù)渲亟ㄉ婕叭?lèi)信息：底面、立（墻）面和頂面。由于單樓層型和多樓層型產(chǎn)權(quán)體的重建方法存在差異，本文將對(duì)它們分開(kāi)討論。

3.1 單樓層型帶洞產(chǎn)權(quán)體的重建算法

對(duì)于體洞等高的產(chǎn)權(quán)體而言，雖然底面與頂面的高度不同，但二者結(jié)構(gòu)卻相同。在生成頂面時(shí)，只要復(fù)制底面數(shù)據(jù)與拓?fù)潢P(guān)系，并將頂點(diǎn)坐標(biāo)中的z分量值替換為頂面的高度即可。因此，頂面的構(gòu)建比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是立面的構(gòu)建。立面的構(gòu)建分兩步：第一步是將底面上的節(jié)點(diǎn)“拉伸”為垂直邊。由于“拉伸”是垂直的，對(duì)于底面的任意節(jié)點(diǎn)而言，不妨設(shè)為A（x，y，z），忽略z坐標(biāo)，在頂面中搜索離點(diǎn)（x，y）最近的節(jié)點(diǎn)，理論上應(yīng)該是坐標(biāo)等于（x，y），但由于計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)精度問(wèn)題，可能有少許偏差，因此找到的最近點(diǎn)A'即是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn);以A為起點(diǎn)A'為終點(diǎn)生成垂直邊EAA'（圖3右圖）。對(duì)底面中的所有節(jié)點(diǎn)均做上述處理，產(chǎn)生垂直邊集。第二步是將底面上的邊“拉伸”為立面。以底面任意一條邊為起始，不妨設(shè)為EAB（下標(biāo)的第一個(gè)字母表示起點(diǎn)，第二字母表示終點(diǎn)，下同），查找與該邊相關(guān)聯(lián)的垂直邊?？赏ㄟ^(guò)構(gòu)成該邊的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行查找，如查找與節(jié)點(diǎn)A、B關(guān)聯(lián)的邊EAA， EBB，進(jìn)而查找到EAB，獲得構(gòu)成立面的邊集{EAB，EAA，EBB，EAB}。對(duì)邊集中的邊排序，獲取立面F=（ EAB，EBB，-EAB，-EAA）。對(duì)底面中的所有邊均做上述處理，產(chǎn)生垂直面集。通過(guò)上述“拉伸“算法，產(chǎn)生的是NEF（Node-Edge-Face）拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

3.2 多樓層型帶洞產(chǎn)權(quán)體的重建算法

對(duì)于多樓層型產(chǎn)權(quán)體而言，由于上下層結(jié)構(gòu)可能不同，不能使用單樓層型算法進(jìn)行“拉伸”。例如，圖4第二列為某建筑物中三個(gè)樓層的二維結(jié)構(gòu)圖，若采用單樓層型“拉伸”算法對(duì)三個(gè)樓層重建，將生成圖4第一列所示的體。由于上下層結(jié)構(gòu)不同，使得重建后下層（如第n層）頂面與上層底面（如第n+1層）不同，導(dǎo)致上下層拓?fù)錈o(wú)法接合，影響了整個(gè)建筑物的拓?fù)錁?gòu)建。因此，多樓層型產(chǎn)權(quán)體重建不僅要考慮被“拉伸”層的結(jié)構(gòu)，還要考慮其相鄰層的結(jié)構(gòu)。為此，我們將多樓層產(chǎn)權(quán)體拓?fù)渲亟ㄋ栊畔⒎譃閮煞N：粘合面圖和結(jié)構(gòu)圖。

3.2.1 基于粘合面圖的縱向拓?fù)錁?gòu)建

粘合面顧名思義是將上下兩層“粘合”起來(lái)。粘合面圖用于生成上下層間的粘合面，以實(shí)現(xiàn)層間縱向拓?fù)涞臉?gòu)建。為粘合上下層，粘合面圖應(yīng)同時(shí)具備上下層的結(jié)構(gòu)特征，這就要求粘合面圖應(yīng)融合上下層結(jié)構(gòu)。為達(dá)到該目的，采用以下步驟：

（1）樓層圖疊加。將上下層結(jié)構(gòu)圖疊加，疊加后的圖同時(shí)具有了上下層的結(jié)構(gòu)。（2）疊加圖求并。求并（例如ArcGIS中的Union功能）是以疊加后的邊界為基礎(chǔ)，“打碎”原始結(jié)構(gòu)圖，刪除重復(fù)拓?fù)浠?，打斷相交拓?fù)浠瑯?gòu)建新基元，實(shí)現(xiàn)兩層結(jié)構(gòu)融合，生成粘合面圖。圖4中的上、下粘合面（第3列的上下兩圖）為疊加求交后的示例。（3）空洞“實(shí)面”化。在疊加求并過(guò)程中，洞不能再被當(dāng)作一塊空區(qū)域，而是被當(dāng)作一個(gè)真正的面參與求并。如圖4，求并前，f1為帶洞多邊形，包含一塊空區(qū)域h1（洞），f3與之類(lèi)似;生成了面f5，f6和f7。其中，f5的邊界與f1的邊界相同;f6的外邊界為f5（或f1）的內(nèi)邊界，內(nèi)邊界為f7的邊界;f7由h2的邊界構(gòu)成。再如，E1所在面與f4疊加后，生成f8、f9、f10與f11;“拉伸”后，f4生成體的上粘合面為f8與f10;f2生成體的下粘合面則為f8與f9。可見(jiàn)，同一個(gè)粘合面在不同樓層拓?fù)錁?gòu)建中所使用部分不同。經(jīng)該過(guò)程，洞被轉(zhuǎn)化為實(shí)面參與后期的拓?fù)渲亟?。?）重建拓?fù)?。通過(guò)鄰接拓?fù)浠蚕淼途S拓?fù)浠姆绞剑ㄈ鐑蓚€(gè)鄰接面共享一條公共邊），構(gòu)建節(jié)點(diǎn)-邊-面這種層次化遞進(jìn)拓?fù)潢P(guān)系。

3.2.2 基于結(jié)構(gòu)圖的橫向拓?fù)錁?gòu)建

結(jié)構(gòu)圖用于生成產(chǎn)權(quán)體的立面（墻），以實(shí)現(xiàn)同一層產(chǎn)權(quán)體間橫向拓?fù)錁?gòu)建。結(jié)構(gòu)圖決定了哪些位置有立面，哪些立面圍成一戶(hù)。在重建第n層時(shí)，其結(jié)構(gòu)圖即為該層的樓層平面圖。結(jié)構(gòu)圖的“拉伸”過(guò)程如下：

（1）節(jié)點(diǎn)生成垂直邊。在已構(gòu)建的上、下粘合面中查找與待“拉伸”節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，生成垂直邊;查找方法與單樓層型相同。例如，圖4第二列第n層結(jié)構(gòu)圖上的節(jié)點(diǎn)N1在上、下粘合面中查找到的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)為N1和N1，故N1“拉伸”生成的垂直邊為EN1 N1。（2）邊生成立面。對(duì)于結(jié)構(gòu)圖中的一條邊，在上、下粘合面中查找對(duì)應(yīng)的邊集。結(jié)構(gòu)圖中的一條邊對(duì)應(yīng)著上粘合面或下粘合面中的一條或多條邊。例如，圖4第二列第n層結(jié)構(gòu)圖上的邊EN1N2的節(jié)點(diǎn)在上粘合面中對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為N1和N2。在確定對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)基礎(chǔ)上，檢查上粘合面圖中N1和N2是否構(gòu)成一條邊;如果是，邊EN1 N2為對(duì)應(yīng)邊;否則，查找上粘合面中到邊EN1 N2的距離小于給定閾值的節(jié)點(diǎn);同樣忽略z坐標(biāo)，是普通的平面算法。小于這個(gè)閾值時(shí)，就認(rèn)為該點(diǎn)在邊上。所有由這些節(jié)點(diǎn)加上N1和N2構(gòu)成的邊即為對(duì)應(yīng)的邊集。如圖4中節(jié)點(diǎn)M便落在邊EN1 N2上。上粘合面中所有落在邊EN1 N2上的節(jié)點(diǎn)與N1和N2構(gòu)成的邊即為對(duì)應(yīng)的邊集{EN1 M，，EM N2}。同理獲得邊EN1N2在下粘合面中對(duì)應(yīng)的邊集{EN1 P，，EP N2}。對(duì)查找到的邊集與上一步中生成的垂直邊一起排序，生成立面F=（EN1 N1，EN1 M，EM N2，- EN2N2 ，-EN2P，-EP N1）。通過(guò)上述“拉伸”算法，生成了整個(gè)樓層乃至整棟建筑物的垂直立面集，獲取了與單樓層型相似的NEF（Node-Edge-Face）拓?fù)淠Ｐ?，需要在離散面中自動(dòng)尋體。（3）面生成體。對(duì)于結(jié)構(gòu)圖中的每一個(gè)面（多邊形），首先在上、下粘合面圖中找出其對(duì)應(yīng)的面片集。過(guò)程如下：求取結(jié)構(gòu)圖面片中所有邊的對(duì)應(yīng)邊，圈定結(jié)構(gòu)圖面片在上、下粘合面圖中的范圍。如果這些對(duì)應(yīng)邊剛好圍成一個(gè)面片，那么此面片即為對(duì)應(yīng)面片。否則，依次判斷上粘合面圖或下粘合面圖中的所有面片，挑選出那些落在圈定范圍內(nèi)的面片，這些面片構(gòu)成了對(duì)應(yīng)的面片集。如圖4中的面片f2在上粘合面圖中對(duì)應(yīng)面片f3和f4。同樣這個(gè)判斷也是基于x，y坐標(biāo)進(jìn)行的，是一個(gè)普通的平面多邊形與多邊形關(guān)系的判斷。由上、下粘合面圖中相對(duì)應(yīng)的面片集形成體的上、下面。體的側(cè)面則由構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖中面片的邊所生成的面片來(lái)構(gòu)造。如圖4中的邊EN1N2為構(gòu)成面片f2的一條邊，那么由該邊生成的面片就是由面片f2生成的體的一個(gè)側(cè)面。

4 結(jié)束語(yǔ)

三維地籍是面向空間權(quán)管理的地籍，其登記客體是一個(gè)三維的幾何體。與二維圖形相比，三維圖形更加復(fù)雜，其幾何、拓?fù)渚S護(hù)也更加困難。三維帶洞體作為一種特殊的體在三維地籍建設(shè)過(guò)程中不可回避，它在表達(dá)上比不帶洞的體更加困難。為了解決該類(lèi)體的建模，本文提出了“拉伸”式的三維帶洞產(chǎn)權(quán)體的重建方法。這種方法主要面對(duì)規(guī)則的產(chǎn)權(quán)體，即立面垂直、底面水平的體，這種體也是三維地籍管理的絕大多數(shù)類(lèi)型。在下一步的工作中，我們將開(kāi)發(fā)具體的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)權(quán)體的重建。

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