◇ 云南 蔣金團(tuán)

數(shù)學(xué)和物理不僅在科研上密切相關(guān),在實(shí)際的學(xué)習(xí)中,兩者間的關(guān)聯(lián)也無處不在.物理學(xué)科的思維模式、思維方法與數(shù)學(xué)的思維模式、思維方法有許多異曲同工之處,將一些物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,有助于我們更加清晰、更加深刻地看到問題的本質(zhì).2020年高考全國卷Ⅰ理綜第18題,就是這樣一道巧用數(shù)學(xué)知識(shí)突破物理難點(diǎn)的好題.這道題涉及的物理情境是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng),是考生非常熟悉的物理模型,但命題者巧妙地把題目的難點(diǎn)設(shè)置在臨界軌跡的尋找上,并且臨界軌跡的尋找與往常的題目有很大不同,平常所用的放縮法和旋轉(zhuǎn)法在這里并不適用,考生一時(shí)難以下手.這道題不僅考生覺得難,很多教師也覺得難度不小.本文嘗試從數(shù)學(xué)的角度對(duì)題目涉及的臨界軌跡進(jìn)行探秘,以供參考.

1 試題的5種解法

圖1

原題一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖1中虛線所示為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子,在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng),這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( ).

分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間由圓心角和周期共同決定,而運(yùn)動(dòng)周期與粒子的速度無關(guān),因此,要讓粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長,只需讓粒子轉(zhuǎn)過的圓心角最大即可,考慮到圓心角是弦切角的兩倍,本題既可以從圓心角的角度尋找臨界軌跡,也可以從弦切角的角度尋找臨界軌跡.

解法1 臨界條件法

設(shè)半圓邊界的半徑為r,帶電粒子的軌道半徑為R,帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由牛頓第二定律得,勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為聯(lián)立兩式可得.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,所以要讓粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長,只需運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角β取得最大值即可.

圖2

如圖2所示,其中A點(diǎn)為ab半圓的圓心,B為射出磁場(chǎng)的點(diǎn),根據(jù)圓心角與弦切角的關(guān)系可得,圓心角β＝2×(90°＋θ),當(dāng)弦長cB與半圓邊界相切時(shí),θ取得最大值,β也取得最大值,此時(shí)有30°,所以粒子運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間故選C.

解法2 正弦定理法

如圖3所示,設(shè)半圓邊界的半徑為r,根據(jù)圓心角與弦切角的關(guān)系可得,圓心角β＝2×(90°＋θ),當(dāng)θ取得最大值時(shí),帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長.在△ABC中,由正弦定理可得當(dāng)sin∠ABc＝1時(shí),θ取得最大值,此時(shí)有,即θ＝30°,所以粒子運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間,解得t＝故選C.

圖3

解法3 余弦定理和均值不等式法

如圖3所示,設(shè)半圓邊界的半徑為r,根據(jù)圓心角與弦切角的關(guān)系可得,圓心角β＝2×(90°＋θ),當(dāng)θ取得最大值時(shí),帶電粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長.

令|Bc|＝x,在△ABc中,由余弦定理得

解法4 余弦定理和一元二次函數(shù)法

如圖4所示,設(shè)半圓邊界的半徑為r,帶電粒子的軌道半徑為R.設(shè)軌跡圓的圓心為O′,半圓邊界的圓心為A,在△O′AB中,由余弦定理得

圖4

解法5 余弦定理和導(dǎo)數(shù)法

如圖4所示,設(shè)半圓邊界的半徑為r,帶電粒子的軌道半徑為R.設(shè)軌跡圓的圓心為O′,半圓邊界的圓心為A,在△O′AB中,由余弦定理得

令(cosα)′＝0,解得R＝r,即當(dāng)R＝r時(shí),α取得最大值,此時(shí)

所以α角的最大值為α＝60°,因此粒子運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為故選C.

小結(jié)本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題,這是一個(gè)考生非常熟悉的模型,很多考生都能熟練運(yùn)用洛倫茲力和圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)推出最大運(yùn)動(dòng)時(shí)間由最大圓心角決定,進(jìn)而知道解答本題的關(guān)鍵是找出最大圓心角對(duì)應(yīng)的臨界軌跡.但是在實(shí)現(xiàn)物理問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化之后,不少考生難以建立正確的數(shù)學(xué)模型,無法用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)找到解決問題的突破口.出現(xiàn)上述問題的根本原因是考生缺乏學(xué)科融合的理念和學(xué)科遷移的能力,因此在日常教學(xué)中,物理教師應(yīng)擇機(jī)抓住結(jié)合點(diǎn),滲透數(shù)物融合的理念,更加全面地提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

2 物理教學(xué)中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的策略

1)加強(qiáng)物理教師與數(shù)學(xué)教師之間的交流,以發(fā)展新課程改革所提倡的學(xué)習(xí)方式——探究與合作.合作交流是新一輪課程改革的重要主題之一,但是在大多數(shù)人眼中,交流只是學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間的事,很少有人關(guān)注不同學(xué)科教師之間的教學(xué)交流合作.交流合作不僅僅是一種互相幫助、彼此共贏的學(xué)習(xí)方式,也是一種非常重要的教育觀念.教學(xué)知識(shí)和教學(xué)方法的交流不同于物質(zhì)交換,思想交流迸發(fā)出來的是更加強(qiáng)大、更加全面的智慧火花,這必將使得各學(xué)科教師都能在自己薄弱的方面有所提升.物理教師應(yīng)加強(qiáng)與數(shù)學(xué)教師之間的交流合作,通過交流了解物理和數(shù)學(xué)兩學(xué)科之間共有的知識(shí)結(jié)構(gòu),從而抓住適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)在物理教學(xué)中對(duì)涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行補(bǔ)充和拓展,比如教授拋體運(yùn)動(dòng)知識(shí)之后,我們可以補(bǔ)充一些拋物線方程的知識(shí);再如教授磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)以后,我們可以補(bǔ)充一些圓方面的數(shù)學(xué)知識(shí),從而提高學(xué)生的綜合能力和核心素養(yǎng).

2)鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度審視物理問題,在實(shí)際教學(xué)中,物理教師可以運(yùn)用大量的物理問題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在物理中的重要性,同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生把一些物理問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題.通過不斷的引導(dǎo)與鼓勵(lì),使學(xué)生頭腦中形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的意識(shí),隨著物理知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷擴(kuò)充,學(xué)生越來越意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在解決物理問題中的重要性,并將其運(yùn)用在自己的物理學(xué)習(xí)中,逐步嘗試應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題,進(jìn)而掌握相關(guān)的方法與技巧,從而使處理實(shí)際問題的綜合能力螺旋式上升.