袁賀滔

（廣東東莞市石龍中學(xué)，廣東 東莞523320）

1 牛頓萬有引力定律遺留的問題。

牛頓提出的萬有引力定律的公式是

公式不是由更深層次的規(guī)律推導(dǎo)出來，因此，公式的提出實(shí)質(zhì)是假設(shè)性質(zhì)的，是否正確，由日后的實(shí)踐檢驗。

公式中m 代表的是質(zhì)點(diǎn)，即，質(zhì)量為m 的幾何點(diǎn)。牛頓提出萬有引力定律時沒有指出，或說沒有考慮定律在空間的適用范圍，也即公式中的兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離R，從無窮遠(yuǎn)至0 都可用，這就留下如下的問題。

兩質(zhì)點(diǎn)在引力吸引下靠近，隨著R 的縮小，F(xiàn) 增大，加速靠近。R→0，F(xiàn)→∞，最終兩個質(zhì)點(diǎn)重合成為一個新質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量等于（m1+m2）的幾何點(diǎn)。新質(zhì)點(diǎn)又可以和另一質(zhì)點(diǎn)m3吸引，同樣的過程重合為（m1+m2+m3）的新質(zhì)點(diǎn)。如此類推的結(jié)果，這一幾何點(diǎn)有無窮多的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)之間的引力無窮大，質(zhì)量密度無窮大，這就是“奇點(diǎn)”。

奇點(diǎn)、無窮大的值是物質(zhì)的點(diǎn)模型和牛頓萬有引力定律必然的數(shù)學(xué)結(jié)果，而這種數(shù)學(xué)結(jié)果卻不可能是物理實(shí)在，這種矛盾又稱為“無窮大困難”。

2 如何克服無窮大困難？

2.1 物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)模型是不可能放棄的，從經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)，從牛頓三大定律到薛定格方程、電子狄拉克方程，表述的對象都是質(zhì)點(diǎn)，人們至今找不到一個可以代替質(zhì)點(diǎn)的模型。

2.2 如果給（1）設(shè)定一個限制條件，定律不能計算到某一個狹小的空間內(nèi)，當(dāng)然可以避免無窮大，但這種人為的限制實(shí)質(zhì)是逃避困難，這個狹小的空間里始終都存在物理實(shí)在。

2.3 在鉛用點(diǎn)模型的前提下，顯而易見的克服無窮大困難的辦法就是不讓兩質(zhì)點(diǎn)重合，也即不讓（1）中的R=0，當(dāng)然不是指人為的設(shè)定，而是大自然的安排。剛好微觀世界量子力學(xué)中的不確定原理，就是不讓兩質(zhì)點(diǎn)重合在一起的天然的制約規(guī)律。

3 不確定原理

不確定原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是質(zhì)點(diǎn)位置不確定量△x 和動量不確定量△p 的關(guān)系式

上關(guān)系式表明，當(dāng)△x 減小時，△p 就增大，極端的情況，當(dāng)△x=0，則△p=∞，雖然無窮大的△p 是一個不確定量，但表明質(zhì)點(diǎn)存在取極大動量值的概率。不確定量關(guān)系式的其中之一的物理意義，可以理解為：

如果有一種機(jī)制，壓縮或說禁錮一個質(zhì)點(diǎn)的活動范圍，即△x 減小，不確定關(guān)系規(guī)律就會加大動量不確定量，對抗這種機(jī)制對質(zhì)點(diǎn)活動范圍的壓縮，這種效應(yīng)相當(dāng)于有一種排斥力對抗壓縮力。極端的情況，這一機(jī)制把質(zhì)點(diǎn)禁錮在一個點(diǎn)，不確定量關(guān)系就會由于△p=∞，令質(zhì)點(diǎn)具有極大動量的概率，使得質(zhì)點(diǎn)被禁錮于一點(diǎn)的事件不可能發(fā)生。

吸引力令兩質(zhì)點(diǎn)的距離R 縮短，相當(dāng)于是一種壓縮質(zhì)點(diǎn)活動范圍的機(jī)制，如無其他機(jī)制的干擾，會發(fā)展到極端情況，兩質(zhì)點(diǎn)會重合。但正正是不確定原理令質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生一種排斥效應(yīng)，對抗吸引力壓縮質(zhì)點(diǎn)的活動范圍，令重合的事件不能發(fā)生。

因此說，不確定原理是解決“無窮大困難”的天然規(guī)律，比人為的“重整化”方法更合理，不確定原理賦予質(zhì)點(diǎn)一種對抗壓縮它的活動空間的排斥力。不確定原理與物質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)，比如與質(zhì)量、電荷等無關(guān)，只要是微觀客體（粒子），或說物質(zhì)點(diǎn)，不管物質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)是什么，管制微觀世界的量子力學(xué)就會賦予物質(zhì)點(diǎn)這種排斥力，因此是一種萬有的力，阻止兩物質(zhì)點(diǎn)無限接近。

參考“萬有引力”的命名，這種排斥力可以稱為“萬有排斥力”，用符號Fq表示。這種排斥力來源于量子力學(xué)規(guī)律，又可命名為萬有的“量子排斥力”，或簡稱“量子排斥力”是量子力學(xué)所特有的。

4 不同類型的（1）式和（2）式如何融合

大自然存在得很巧妙，萬有引力管治宏觀世界，萬有斥力管治微觀世界，特別是深層次的微觀空間。但大自然的世界應(yīng)該是一個完整的世界，那么兩種類型完全不同的數(shù)學(xué)式（1）和數(shù)學(xué)式（2）又如何融合呢？薛定格方程正是一個很好的示范，薛定格方程是量子力學(xué)的波動力學(xué)方程，但方程里卻有一個原封不動的經(jīng)典力學(xué)的庫倫力場，因此，不同類型的（1）式和（2）式融合的方法如下：

我們可以設(shè)計一個既反映不確定原理效應(yīng)，又屬于經(jīng)典力學(xué)類型的量子排斥力，以便能夠像庫侖吸引力那樣，一起放入量子波動力學(xué)方程中。

5 萬有的量子排斥力Fq

萬有引力公式（1）是一個假設(shè)性質(zhì)的公式，為避免過多的思考過程的書述，本文在此直截了當(dāng)?shù)靥岢黾僭O(shè)性質(zhì)的量子排斥力Fq公式

其中D1和D2分別是兩個微觀物質(zhì)點(diǎn)的“力荷”。由于不確定關(guān)系式與物質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)，比如與質(zhì)量、電荷等無關(guān)，只跟微觀世界的普適常數(shù)普朗克常數(shù)h 有關(guān)，因此設(shè)定

式中c 是真空中光速，如此（3）可寫成

萬有的量子排斥力公式

可以驗證Fq的量綱是牛頓。這公式不是由公式（2）推導(dǎo)出來的，因此與萬有引力公式一樣是假設(shè)性質(zhì)的，是以另一種形式反映不確定原理的效應(yīng)。待定常數(shù)r0的單位是長度，或稱為“特征尺寸”，它反映排斥作用開始顯現(xiàn)的微觀空間尺寸。r0是一個很小的數(shù)值，以保證Fq是一種深層次的微觀空間才起作用的力。如第4 節(jié)所說的，

（1）式和（2）式融合的辦法是把引力和斥力（5）加在一起，把合力放入波動力學(xué)方程中。

并且，引力不單是萬有引力，還包括庫倫引力，甚至恒星坍塌時的向內(nèi)的壓縮力。作為典型的例子，一個質(zhì)子和一個電子相互作用，合力可寫為

上式以排斥力的方向為正，吸引力的方向為負(fù)。微觀粒子的質(zhì)量很小，作為兩個微觀粒子的相互作用，當(dāng)有庫倫吸引力出現(xiàn)時，萬有引力一項就可以忽略，于是在實(shí)際上，（7）式可以寫成

作為一種估算，這里暫時設(shè)定

在此設(shè)定下，作為一種感性的認(rèn)識，以下是在關(guān)鍵點(diǎn)位庫侖力Fe 與萬有排斥力Fq 的對比

當(dāng)R=10-8米，F(xiàn)e=2.3×10-12N Fq=2×10-17N

當(dāng)R=10-14米，F(xiàn)e=2.3N Fq=2×10N

當(dāng)R=10-16米，F(xiàn)e=2.3×104N Fq=2×107N

當(dāng)R=10-20米，F(xiàn)e=2.3×1012N Fq=2×1019N

（1）R=10-8米是氫原子基態(tài)的尺寸，是從宏觀世界開始進(jìn)入微觀世界的空間，可以看出，F(xiàn)q 只是Fe 十萬分之一，量子排斥力的引入對氫原子的原有的量子力學(xué)的討論沒有影響。

（2）R=10-14米是接近特征尺寸r0的點(diǎn)位，可以看出量子排斥力開始大于庫倫吸引力。

（3）R=10-16米是開始進(jìn)入深層次的微觀空間的點(diǎn)位，量子排斥力已是庫倫吸引力的一千倍。

（4）R=10-20米是已進(jìn)入到深層次的微觀空間的點(diǎn)位，此時，量子排斥力已經(jīng)主導(dǎo)這種空間。

可以預(yù)計，電子向質(zhì)子進(jìn)發(fā)的過程必有一個平衡位置R0，排斥力與吸引力剛好對消，此數(shù)值可令（7）中的F=0 求得，此時

由量子力學(xué)氫原子理論知（

其中a 是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)

于是

6 經(jīng)典諧振和量子諧振

作為感性的認(rèn)知，在平衡位置附近，電子在庫倫吸引力和量子排斥力共同作用下會出現(xiàn)經(jīng)典諧振?，F(xiàn)在給以數(shù)學(xué)表述。

其中R0由（9）和（13）表示，即R0=r0/a 并有

合力方程（7）可以寫成

我們只討論x＜＜1，即x 比1 小很多的情況，以致數(shù)學(xué)上的泰勒級數(shù)展開式中，可以只取頭兩項，即（1+x）-2=（1-2x）和

如此（17）式變成

因有（16）式，則由上式得

上式正是經(jīng)典力學(xué)彈性力的數(shù)學(xué)形式，可以寫成

k 就是彈性系數(shù)。如果把（13）式代入，則，彈性系數(shù)又可以寫成

可以驗證k 的量綱，k=（焦耳秒）（米/秒）/米3=牛頓米米/米3=牛頓/米，正是彈性系數(shù)的量綱。

在彈性力（22）的作用下，電子就成為一個經(jīng)典的諧振子，其平衡位置是R0，按已有的經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，就可寫出，振子的角頻率ω2=k/me，把k（24）代入得

按已有的經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，寫出彈性勢能

以上的討論過程基本上是經(jīng)典力學(xué)的過程，但在R0附近的空間是微觀空間，服從量子力學(xué)規(guī)律，因此，這個經(jīng)典諧振子實(shí)際是量子諧振子。在數(shù)學(xué)表述上，正如第4 節(jié)所說，可以簡單地利用氫原子電子的薛定格方程，把方程中的經(jīng)典庫倫場勢能U=-KQ2/R 用（26）的經(jīng)典彈性勢能代替，就得量子諧振子的定態(tài)薛定格方程

上述方程的解有系列能量本征值

最穩(wěn)定的狀態(tài)是n=0，即零點(diǎn)能ε

角頻率ω 見（25）式。

由此可見，包括宏觀世界和微觀世界的宇宙，來回往返的振動才是最基本的運(yùn)動形式。

7 嘗試用中子模型確定r0 的數(shù)值

恒星坍縮造成的巨大壓縮力，足可以令原子的基態(tài)崩潰，在庫侖吸引力作用下質(zhì)子和電子結(jié)合在一起，成為中子。但在量子排斥力的對抗下，在平衡位置R0附近形成量子諧振。為嘗試在引入量子排斥力的概念下，對中子進(jìn)行計算，在此提出一個中子模型：

中子是質(zhì)子和電子組成的量子諧振子。

實(shí)驗已測得三者的質(zhì)量是，

質(zhì)子mp=1.6726231×10-27千克

電子me=9.1066×10-31千克

中子mn=1.6749286×10-27千克

那么，mp+me=1.6735338×10-27千克

可見，中子的質(zhì)量比質(zhì)子和電子的質(zhì)量之和還大，那么，質(zhì)量差△m 所相應(yīng)的狹義相對論的能量△mc2就相當(dāng)于量子諧振子的（13）式的零點(diǎn)能量ε=0.5hω（n=0 最穩(wěn)定），即

把ω2（25）代入上式的第二式得

經(jīng)移項整理后得

最后得

8 振動是最基本的運(yùn)動形式

任何粒子只要有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，至少由兩部分物質(zhì)組成，這部分物質(zhì)直稱為“結(jié)構(gòu)物質(zhì)”，既然在理論研究時，把粒子作點(diǎn)模型質(zhì)點(diǎn)處理，那么，“結(jié)構(gòu)物質(zhì)”也只能作“結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)”處理，也就是說一個粒子（至少）由兩個結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)組成。如果這兩個結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)之間沒有某種吸引力維系，不可能構(gòu)成一個粒子，但如果除了吸引力之外沒有其他因素干擾或說制約，這兩個結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)又成為一個點(diǎn)。點(diǎn)模型只能是一種數(shù)學(xué)模型，不可能是真實(shí)的物理存在。正好本文引入的萬有的量子排斥力成為一種干擾制約的因素，兩結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)在吸引力和量子排斥力的共同作用下組成量子諧振子，而不是在吸引力作用下結(jié)合成一個點(diǎn)。

9 結(jié)論

因此，各種各樣的粒子其實(shí)是各種各樣的量子諧振子，也可以說，對于包括宏觀世界和微觀世界的宇宙，來回往返的周期性振動是最基本的運(yùn)動形式。