馬慧慧，陶海紅

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西，西安 710071)

極化敏感陣列是信號處理的一個前沿領域，它具有時、空、極化多維性，能夠更大限度上利用信號的固有屬性和傳播信息，在雷達、通信、聲納和生物醫(yī)學等眾多領域有著廣闊的應用前景[1]，主要包括目標檢測[2]、濾波[3]和參數(shù)估計[4-8]這幾個方面. 針對極化敏感陣列波達方向(DOA)估計，眾多常規(guī)標量陣列的DOA估計算法[9-15]已經(jīng)被推廣到極化敏感陣列，形成了如多重信號分類(MUSIC)[6]、子空間旋轉不變(ESPRIT)[7]、多項式求根(ROOT-MUSIC)[8]等極化敏感陣列參數(shù)估計算法. 在這些算法中,文獻[6]中方法需要進行譜峰搜索，運算量較大. 為了克服計算量過大的問題，文獻[7]中方法采用ESPRIT算法，但是需要進行參數(shù)配對，比較繁瑣. 文獻[8]中提出利用ROOT-MUSIC對三正交共心式極化敏感陣列進行參數(shù)估計，可以克服MUSIC方法運算量太大的缺點，且無需進行參數(shù)配對，但是求根多項式階數(shù)比較大.

在低信噪比情形下，上述研究方法參數(shù)估計性能均會嚴重下降. 文獻[16-19]中針對傳統(tǒng)標量陣列，提出通過產(chǎn)生偽噪聲進行重采樣，并通過參數(shù)估計結果可行性判定方法剔除不正常的DOA估計值的方法，并且提到角度范圍對參數(shù)估計性能影響不大，只是假設預知參數(shù)范圍，并未提出如何預估計DOA和極化參數(shù)范圍，事實上，角度范圍預估計的精確性對參數(shù)估計性能有明顯影響；且通過重采樣后仍然存在DOA估計值為異常值的情況，嚴重影響估計精度；并且每組重采樣添加的偽噪聲相同，而這種添加偽噪聲方式并不是最優(yōu)；且只是針對傳統(tǒng)標量陣列. 針對以上缺點，本文在此基礎上提出針對COLD陣列的ROOT-MUSIC算法，提出預估計來波方向和極化參數(shù)的范圍的方法，與并重采樣相結合，使經(jīng)重采樣后參數(shù)估計值都為正常值，不存在異常值，改變添加偽噪聲方式，對每組重采樣選出最優(yōu)的偽噪聲權值，本文方法可以避免譜峰搜索，降低求根多項式階數(shù)，減少計算量，并大幅度提高低信噪比下的DOA和極化參數(shù)估計性能.

本文建立了陣列信號模型，提出了基于重采樣的COLD陣列波達方向和極化參數(shù)聯(lián)合估計算法，對所提算法進行仿真分析，驗證其有效性，

1 陣列及其信號模型

如圖1所示，由M個COLD陣元構成的均勻極化敏感陣列位于x軸，每個陣元由一個偶極子和一個磁環(huán)構成，偶極子平行于z軸，磁環(huán)平行于xoy平面，陣元間距是d. 假設空間有K個互不相關的遠場窄帶完全極化入射信號，俯仰角θ∈[-π/2,π/2]為與z軸的正向夾角，γ∈[0,π/2]為極化輔助角，η∈[-π,π]為極化相位差，λ為信號的波長. 陣列接收信號X(t)為

AS(t)+N(t).

(1)

式中：A=[a1a2…aK]為陣列流形矩陣;S(t)=[s1(t)s2(t)…sK(t)]T為信號矢量;N(t)表示均值為0，方差為σ2的復高斯白噪聲. 其中：

ai(θi,γi,ηi)=ais(θi)?aip(θi,γi,ηi),

i=1,2…，K.

(2)

空域導向矢量為

ais(θi)=[1ejφi…ej(M-1)φi]T,i=1,2…，K.

(3)

式中，φi=2πdsinθi/λ,i=1,2…，K，λ為信號的波長. 極化導向矢量可表示為

(4)

2 基于重采樣的COLD陣列波達方向及和極化參數(shù)聯(lián)合估計

傳統(tǒng)高分辨算法在低信噪比下參數(shù)估計性能嚴重下降，針對這個問題，本文提出了一種基于重采樣的COLD陣列波達方向和極化參數(shù)聯(lián)合估計算法，其步驟如圖2所示.

本文算法首先利用ROOT-MUSIC算法對DOA和極化參數(shù)進行估計，然后對參數(shù)估計結果給出可行性判定，判斷估計值是否都是正常值，若都是正常值，則直接作為DOA、極化參數(shù)估計值輸出；否則，對于估計得到的異常值，通過添加隨機產(chǎn)生的偽噪聲進行一組重采樣，并結合ROOT-MUSIC算法得到重采樣后的一組估計值，再通過參數(shù)估計結果可行性判定，若正常值數(shù)目為0，繼續(xù)重采樣迭代，

直到正常值數(shù)目大于0，退出循環(huán). 對于添加的偽噪聲，服從均值為0的高斯分布，其功率由噪聲加權得到，需要根據(jù)在0.1～1.0之間的不同權系數(shù)下得到的正常值數(shù)目來確定權系數(shù)，選擇對應正常值數(shù)目最多的權系數(shù)為當前重采樣添加偽噪聲的權，也就是說，每組重采樣添加的偽噪聲服從的分布不盡相同.

2.1 COLD陣列ROOT-MUSIC算法

陣列接收信號協(xié)方差矩陣為

Rx=E[XXH]=ARsAH+σ2I.

(5)

式中X=[X(t1)X(t2)…X(tN)]，2M×N維，N為快拍數(shù). 對Rx進行特征值分解，可得

(6)

式中：Us為信號子空間，由Rx特征值分解的K個大特征值所對應的特征向量構成；Λs為對角矩陣，對應K個大特征值;Un為噪聲子空間，由(2M-K)個小特征值對應的特征向量構成；Λn為對角陣，對應(2M-K)個小特征值. 定義

T(θ,γ,η)=[as(θ)?ap(θ,γ,η)]H×

(7)

對式(7)變形，可得

(8)

令

由子空間原理知，陣列導向矢量張成的空間和噪聲子空間正交，即

span{A}⊥span{Un}.

(10)

故式(7)中，有

T(θ,γ,η)=0.

(11)

(12)

可知zi=ej2πdsin θi/λ為式(12)的根，共有2M個根，但只有位于單位圓內(nèi)的K個根才是對應于信號波達方向的解. 俯仰角估計值為

θi=sin-1(arg(zi)λ/(2πd)).

(13)

得到DOA估計值后，利用T(θ,γ,η)求解極化參數(shù)問題可以看作一個解優(yōu)化問題，如下：

s.t|ap(θ,γ,η)|2=sin2θ.

(14)

建立代價函數(shù)：

(15)

對式(15)的ap(θ,γ,η)求梯度，令結果為0，可得

(16)

即

P(θ)ap(θ,γ,η)=μap(θ,γ,η).

(17)

從式(17)可得，ap(θ,γ,η)為P(θ)做特征值分解后對應的特征向量，μ為特征值. 因

(18)

ap(θ,γ,η)=vmin[P(θ)].

(19)

由上述可知，要對極化參數(shù)進行估計，先要對P(θi)進行特征值分解，得到最小特征值對應的特征向量vmin(θi)，極化輔助角、極化相位差的估計值為

(20)

(21)

(22)

2.2 參數(shù)估計結果可行性判定

對于圖1所示的陣列模型，不考慮噪聲情形下，加權后COLD陣列的輸出功率為

(23)

其中，

Rx≈XXH/N.

(24)

式中Wk是權矢量，可表示為

Wk=as(θk)?ap(θk,γk,ηk).

(25)

使θk取遍[-π/2,π/2]，γk取遍[0,π/2]，ηk取遍[-π,π]，可得到B的P個極值點，對應為(θ1,γ1,η1),(θ2,γ2,η2),…(θP,γP,ηP),P≥K. 則信號源的俯仰角范圍為

[θ1L,θ1R]∪[θ2L,θ2R]∪…∪[θPL,θPR].

(26)

式中，[θPL,θPR]表示以θP為中心，向左右各取5°所構成的區(qū)間，信源極化輔助角范圍為

[γ1L,γ1R]∪[γ2L,γ2R]∪…∪[γPL,γPR].(27)

式中[γPL,γPR]表示以γP為中心，向左右各取5°所構成的區(qū)間. 極化相位差范圍為

[η1L,η1R]∪[η2L,η2R]∪…∪[ηPL,ηPR].(28)

式中[ηPL,ηPR]表示以ηP為中心，向左右各取5°所構成的區(qū)間.

若由ROOT-MUSIC算法估計得到的俯仰角以及極化參數(shù)在上述范圍內(nèi)，則可認為是正常估計值，否則，是異常估計值. 這個判定估計結果是否正常的過程即為參數(shù)估計結果可行性判定方法.

2.3 加偽噪聲重采樣

在常規(guī)高分辨參數(shù)估計算法中，在低信噪比較低的情況下進行特征值分解時，噪聲子空間元素可能會混入信號子空間，會導致出現(xiàn)大量異常值，通過加偽噪聲進行重采樣，注入隨機噪聲，可以打破原始極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)矩陣，更新信號子空間和噪聲子空間，提高參數(shù)估計正常值比例，重構數(shù)據(jù)矩陣可以表達為

Yi=X+Zi=AS+N+Zi.

(29)

式中：Yi=[Yi(t1)Yi(t2)…Yi(tN)]為第i次重采樣數(shù)據(jù)矩陣，2M×N維，i=1,2,…,L；X=[X(t1)X(t2)…X(tN)]為原始陣列接收數(shù)據(jù)，2M×N維. 且

Yi(t)=X(t)+Zi(t)=

(30)

Zi是隨機產(chǎn)生的零均值高斯偽隨機噪聲，2M×N維，且滿足[18]

(31)

則重構矩陣Yi協(xié)方差矩陣：

(N為快拍數(shù)).

(32)

偽噪聲方差可以定義為[18]

(33)

式中：

(34)

其中λi(i=1,2…,2M)為RX經(jīng)過特征值分解后的特征值，且λ1≥λ2≥…≥λ2M.

在文獻[16]中，直接取p=0.3是最優(yōu)值，對于每一組重采樣，都加入相同的偽噪聲. 而在本文中，由于在信噪比較低時，信號子空間元素可能會混入噪聲子空間，從而導致出現(xiàn)異常估計值，因此在添加偽噪聲時，不能使其功率相對于噪聲太大，從而進一步削弱信號，因此，取p在0.1～1.0范圍內(nèi)的值較為合適，對于每組重采樣，添加一組p的取值在0.1～1.0之間的偽噪聲，判斷p在不同取值下得到的正常值數(shù)目，取對應最多正常值數(shù)目的p作為本組重采樣最優(yōu)值，也就是說，對每組重采樣添加的偽噪聲是不同的.

對于每一組重采樣數(shù)據(jù)，可通過重構矩陣Yi(i=1,2,…,L)實現(xiàn)，并對每次重采樣數(shù)據(jù)采用ROOT-MUSIC算法，得到該組重采樣數(shù)據(jù)對應的一組參數(shù)估計值，具體步驟如下.

① 令

Pmrrm,i=[as(z-1)?I2]HUn,i×

(35)

式中：L為重采樣次數(shù)；Un,i為RYi進行特征值分解后得到的噪聲子空間. 求解Pmrrm,i=0的根，可以得到第i次重采樣后位于單位圓內(nèi)的K個根Zk,i=ej2πdsin θk,i/λ，k=1,2…,K，進而得到第i次重采樣對應的K個目標源的來波方向θk,i=sin-1(arg(Zk,i)λ/(2πd)),k=1,2…,K.

② 令

P(θk,i)=[as(θk,i)?I2]HUn,m×

(36)

對P(θk,i)進行特征值分解，得到最小特征值對應的特征向量vkmin(θk,i),k=1,2…,K，即為第k個目標源的極化域導向矢量，進而得到第i次重采樣對應的K個目標源的極化輔助角和極化相位差分別為

(37)

(38)

得到L組K個目標源對應的DOA和極化參數(shù)后，再利用參數(shù)估計結果可行性判定方法，選擇正常的DOA和極化參數(shù)估計值，剔除非正常估計值，并得到本組重采樣在最優(yōu)權下的一組正常值.

若在最優(yōu)權下DOA估計結果有Qs(Qs≤K)個正常值，極化輔助角估計結果中有Qm(Qm≤K)個正常值，極化相位差估計結果中有Qn(Qn≤K)個正常值，則第v個信號的DOA、極化參數(shù)估計值分別為

(39)

(40)

(41)

3 仿真實驗和性能分析

本節(jié)用計算機仿真來證明本文所提陣列結構和DOA估計算法的有效性. 在下面的仿真中，考慮該均勻COLD陣列陣元數(shù)M=8，在x軸上均勻分布，陣元間距d=λ/2，假設接收信號為遠場窄帶TEM波，且信號之間相互獨立，都是零均值高斯隨機過程，噪聲為加性高斯白噪聲. 設2個相互獨立的信號入射到極化敏感陣列，信號波達方向和極化參數(shù)分別為(θ1,γ1,η1)=[30,40,80]，(θ2,γ2,η2)=[70,45,60]，快拍數(shù)N=100，進行1 000次Monte-carlo試驗，重采樣估計器維數(shù)L=30. 比較本文所提算法與極化敏感陣列ESPRIT[14]、三正交共心式極化敏感陣列ROOT-MUSIC算法[15]的性能.

RMSE的計算方式為

(42)

由圖3(a)～3(c)可以看到，在低信噪比(SNR≤0 dB)時，相對于傳統(tǒng)ESPRIT方法，COLD陣列ROOT-MUSIC算法的DOA參數(shù)估計精度在低信噪比下參數(shù)估計性能略有提高，極化參數(shù)估計性能提升比較明顯；相對于COLD陣列ROOT-MUSIC算法，本文提出的基于重采樣的ROOT-MUSIC算法的DOA以及極化參數(shù)估計性能均大幅度提高，這是因為在低信噪比情況下，信號子空間、噪聲子空間劃分不夠準確，噪聲子空間元素可能混入信號子空間，導致出現(xiàn)大量異常值，但是通過多次重采樣，更新接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，更新特征值分解得到的信號子空間和噪聲子空間，提高正常值所占比例，并經(jīng)過參數(shù)估計結果可行性判定方法，把正常估計值留下，剔除異常值，且本文進行每組重采樣都要選取最優(yōu)的偽噪聲權值，不會存在經(jīng)過重采樣后得到的參數(shù)估計值均為異常值的情況，這些都使得本文算法的參數(shù)估計精度得到大幅度提高.

4 結 論

本文提出了一種基于重采樣的COLD陣列ROOT-MUSIC參數(shù)估計方法，該算法通過不斷重采樣大大提高了參數(shù)估計正常值所占比例，尤其是在低信噪比情形下，并且通過偽噪聲選優(yōu)大幅度提高了COLD陣列在低信噪比下的參數(shù)估計精度，不需要任何關于來波信號的先驗知識，不需要進行譜峰搜索，相對于傳統(tǒng)標量陣列，可以利用天線提供的極化分集，在進行DOA估計的同時，進一步估計來波的極化信息，且參數(shù)估計精度更高. 仿真結果表明，在低信噪比情況下，異常值數(shù)目降低，DOA和極化參數(shù)估計性能大幅度提高.