王懿，張愛霞，郭瑞巖，張成良

(1.中國石油大學(北京)，北京 102249；2.中國石油集團海洋工程有限公司，北京 100028)

水下機器人在海洋作業(yè)環(huán)境中發(fā)揮重要作用，如何保證水下機器人所攜帶的多自由度機械臂系統(tǒng)在流阻影響下的控制精度，是水下機器人安全作業(yè)的關鍵. 水下機械臂在流阻作用下的運動預測既需要常規(guī)方法描述機械臂空間運動及其特性，又需要結合水動力學中流體作用于機械臂各關節(jié)的阻力矩，才能最終準確得到控制系統(tǒng)所需要的關節(jié)力和力矩[1].

在國內(nèi)外相關研究中,Kawamura等[2]和Sakagami等[3]提出了一種水下機器人機械手動力學分析方法，通過計算機迭代學習得到了流體附加質(zhì)量、流體阻力和浮力等水動力影響因素. Padir等[4]研究了兩種攜帶同一剛性負載的UVMS系統(tǒng)，提出了將廣義速度與任務空間速度結合的運動學模型. 國內(nèi)水下機器人方面，中國科學院沈陽自動化研究所的范云龍[5]和張鈺[6]分別設計了五功能和七功能的中等負載水下電動機械手，基于Kane方法建立了考慮機械臂深海工作環(huán)境中流體阻力的動力學模型. 肖治琥[7]基于Lagrange方法建立了考慮流體阻力作用下的水下三自由度機械手系統(tǒng)動力學模型，并開展了船池對照試驗以驗證其動力學模型. 林江[8]設計了專用水下三關節(jié)電動機械手(autonomous underwater vehicle,AUV)，通過Newton-Euler動力學遞推算法進行了動力學分析和力矩影響研究. 高涵等[9]基于微分變換法建立了水下機械手簡化動力學模型，對比分析了流體水阻力系數(shù)和附加質(zhì)量力系數(shù)對關節(jié)力矩的影響，并得到了浮力力矩的影響大于攪水力矩的結論.

本文針對一種應用于深水環(huán)境的六自由度機械臂，基于Denavit-Hartenberg方法(D-H方法)進行了運動學分析，綜合運用迭代Newton-Euler矢量力學方法和Morison方程進行了動力學分析并得到六自由度機械臂各關節(jié)的水動力矩.

1 六自由度水下機械臂運動學

在多自由度機械臂的運動學方程建立之前，首先通常采用標準D-H方法來確定各相鄰關節(jié)軸線的位置關系，D-H方法將關節(jié)之間的連桿視為剛體，在機械臂每個連桿上建立一個坐標系，通過齊次坐標變換來實現(xiàn)兩個連桿上坐標的變換，在多連桿串聯(lián)的系統(tǒng)中，多次使用齊次坐標變換，就可以建立首末坐標系的關系. 空間中相鄰兩個關節(jié)軸線的公垂線為機械臂等效連桿的長度，用ai-1表示，而參數(shù)di表示沿著公軸線方向的偏置距離；將相鄰兩關節(jié)軸線投影到其公垂線所在平面上，二者的夾角稱為兩軸線的扭角αi-1，扭角αi-1的方向由右手法則確定；相鄰的兩個連桿之間由關節(jié)軸連接，當二者不在同一平面時，通常用θi來表示機械臂關節(jié)角.

如圖1所示的六自由度機械臂各連桿均固連于對應坐標系下的旋轉關節(jié)，由D-H方法得到連桿參數(shù)如表1所示.

表1 六自由度機械臂D-H參數(shù)表

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2 六自由度水下機械臂動力學

六自由度機械臂是一種復雜非線性變量耦合的自動控制系統(tǒng)，對于這類系統(tǒng)的動態(tài)控制除了需要掌握其空間位置和姿態(tài)以外，還需要了解其運動控制所必要的力和力矩.

2.1 Newton-Euler迭代法

機械臂的鏈式結構特性使其力和力矩需通過前一連桿向后一連桿傳遞，因此可以通過建立連桿間的速度傳遞關系來進一步實現(xiàn)力和力矩的求解. 在各旋轉關節(jié)的角度和角速度已知的情況下，可以根據(jù)機械臂運動學和各連桿坐標系質(zhì)量分布得到驅(qū)動關節(jié)電機所需要提供的輸出力矩. 基于上述迭代思想，根據(jù)Newton-Euler公式可以將機械臂關節(jié)驅(qū)動力和力矩分為以下兩步進行計算：

① 連桿1向連桿n的速度、加速度迭代計算.

根據(jù)速度迭代計算，可以得到對于第i+1個旋轉關節(jié)的角速度，有

(2)

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連桿i+1坐標系原點線加速度為

(4)

連桿i質(zhì)心線加速度為

(5)

(6)

(7)

② 連桿n向連桿1力、力矩迭代計算.

在得到相鄰連桿的力和力矩結果之后，可以通過力和力矩平衡方程得到：

作用在連桿i上的所有力的矢量和

(8)

作用在連桿i上的所有力矩之和

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2.2 考慮流體阻力的水下機械臂動力學

對于柱體任意高度Z處的水平流體阻力為

(10)

對于單位柱高的圓柱體上水平流體阻力為

(11)

τH=τD+τM=

(12)

式中：τD為流體拖曳力矩;τM為附加質(zhì)量力矩.

運動Newton-Euler迭代法對水下多自由度機械臂建立形式如下的動力學方程為

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根據(jù)多自由度機械臂連桿間速度傳遞矩陣，可計算獲得各連桿速度相對于坐標系{i}原點的線速度矢量. 例如：關節(jié)1(基關節(jié))固連于地面靜止端，關節(jié)軸線豎直向上所在坐標系為{1}坐標系. 機械臂連桿間速度傳遞的基本假設為基坐標系{0}的原點速度為0，考慮連桿2、連桿3以及連桿5的運動形式，可以得到關節(jié)1(基關節(jié))所受流體拖曳力矩τD為

(14)

分別將其連桿速度矢量代入流體阻力矩計算公式中，可得關節(jié)1所受附加質(zhì)量力矩τM為

自然景觀是地理知識的重要組成部分，因此新時期小學語文教師在實際展開教學活動的過程中，要想實現(xiàn)地理知識的有效滲透，結合教學內(nèi)容有針對性進行自然景觀相關知識的講解具有重要意義。

(15)

2.3 六自由度機械臂水動力學方程解算

考慮到電機通常安裝在運動關節(jié)的位置上，假定機械臂連桿的質(zhì)量分布集中于關節(jié)旋轉中心，則每個連桿的質(zhì)心矢量為

(16)

機械臂基座固定不動，因此有：

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根據(jù)六自由度機械臂Newton-Euler動力學公式，代入迭代方程式(2)～(9)中，可以得到六自由度機械臂動力學方程正解中各連桿速度和加速度. 相鄰連桿的轉動變換公式由連桿變換矩陣正向遞推可以得到機械臂各連桿的角速度、角加速度、線加速度、質(zhì)心線加速度. 例如：最靠近機械臂基座的連桿1的速度、加速度迭代計算公式為

(18)

而相鄰的連桿2速度、加速度迭代計算公式為

(19)

類似地，通過設定機械臂各連桿的角度變化函數(shù)可以分別得到連桿3、4、5、6的速度和加速度正向遞推結果. 而通過將求得的各連桿速度和加速度代入式(12)～(15)中可以反向遞推得到六自由度機械臂各連桿的力和力矩.

3 仿真與結果分析

3.1 機械臂動力學仿真

基于上述建立的考慮流阻影響的水下機械臂動力學模型，采用Matlab軟件進行仿真分析. 通過設計六自由度機械臂各運動關節(jié)的角度變化函數(shù)，來定量研究水下機械臂連桿和關節(jié)所受的力與力矩，并通過對比靜水環(huán)境和空氣環(huán)境兩種條件下的關節(jié)力矩差異來分析流體阻力對水下機械臂關節(jié)驅(qū)動力矩的影響. 六自由度機械臂的前三關節(jié)為起承載作用的主關節(jié)，分別采用斜率較大的角度變化函數(shù)；后三關節(jié)均為精確操作的腕關節(jié)，采用相同的斜率較為平緩的角度變化函數(shù). 關節(jié)1～6的關節(jié)角度的函數(shù)變化如圖2所示.

基于六自由度機械臂水下動力學方程和圖2所示，機械臂運動軌跡可求得連桿坐標系下各關節(jié)所受的流體拖曳力矩τD和附加質(zhì)量力矩τM，二者的矢量和為關節(jié)所受的流體阻力矩τH. 其中關節(jié)1所受的流體阻力矩τH以及拖曳力矩τD和附加質(zhì)量力矩τM如圖3所示，而關節(jié)2至關節(jié)6的拖曳力矩τD和附加質(zhì)量力矩τM如圖4(a)和圖4(b)所示.

3.2 機械臂流阻影響分析

根據(jù)上述六自由度機械臂水動力方式解算方法，結合圖2規(guī)劃的機械臂運動軌跡，可得到空氣中關節(jié)1(基關節(jié))的驅(qū)動力矩τA如圖5所示.

將空氣中關節(jié)1的驅(qū)動力矩τA與關節(jié)所受的流體阻力矩τH結合，可得到其在水下條件下所受到的力矩τB. 下圖6(a)～(c)分別表示了0～3 s、3～4 s以及4～5 s的空氣中條件下關節(jié)1力矩τA和水下條件下關節(jié)1力矩τB的變化對比情況.

當機械臂6個關節(jié)按圖2設計的關節(jié)角變化曲線運動時，空氣中關節(jié)1(基關節(jié))的最大驅(qū)動力矩達106.0 N·m(t=0.57 s時)，反向驅(qū)動力矩最大達-62.2 N·m(t=2.40 s時). 而考慮流體作用力時，距離關節(jié)1較近的關節(jié)2(肩關節(jié))關節(jié)3(肘關節(jié))所受的的流體拖曳力矩τD和附加質(zhì)量力矩τM較大，因此關節(jié)力變化曲線受前三個關節(jié)的影響較大，關節(jié)1(基關節(jié))的水下最大驅(qū)動力矩可達108.7 N·m(t=0.57 s時)，水下反向驅(qū)動力矩最大可達-65.3 N·m(t=2.40 s時). 通過分析圖6所示關節(jié)1在空氣中關節(jié)力矩τA和水下關節(jié)力矩τB的變化曲線，可以得到各個區(qū)間二者的差值與空氣中力矩的比值，即水動力對關節(jié)驅(qū)動力的影響因子γ.

由此可見，在上述機械臂運動軌跡條件下，關節(jié)1所受最大流體阻力矩相對于機械臂空氣中驅(qū)動力矩的影響最大可達8.696%. 因此在設計水下機械臂的運動控制系統(tǒng)時，需要考慮其水動力對控制力矩的影響.

4 結 論

基于迭代Newton-Euler方法和Morison公式建立了考慮流體阻力影響的水下六自由度機械臂的動力學模型，通過Matlab軟件求解了動力學方程以及水動力學流體阻力項，并通過案例分析研究了流體阻力對機械臂驅(qū)動力的影響程度. 得到如下主要結論：

① Newton-Euler迭代法在處理多自由度機械臂動力學方程建模的問題時，物理參數(shù)意義明確，且極大降低了算法求解的計算量，利用計算機編程可以完成諸如機械臂等復雜多剛體的動力學分析需求；

② 按照設計關節(jié)角變化曲線運動且不考慮關節(jié)摩擦時，六自由度機械臂關節(jié)1(基關節(jié))最大瞬時流體水阻力矩占其空氣中關節(jié)力矩的比例可達8.696%；

③ 對于水下機械臂的控制系統(tǒng)，流體阻力矩的存在增加了控制難度，影響了其末端執(zhí)行機構的定位精度，因此需要在設計控制策略時考慮水阻力矩的影響.