粟 丹，趙 春

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

傳染病的出現(xiàn)和傳播會給人類的生存和發(fā)展帶來嚴(yán)重威脅，因此建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來分析傳染病的傳播規(guī)律進(jìn)而控制疾病的傳播是十分重要的.垂直傳染（指胎兒由母體得到疾?。┳鳛橐环N特殊的疾病傳播方式在維持疾病的延續(xù)中起著重要作用，目前對具有垂直傳染和年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型的研究較少[1-3].文獻(xiàn)[1]研究了具有垂直傳染和年齡結(jié)構(gòu)的SEIR傳染病模型的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[2]研究了一類帶有垂直傳染的年齡結(jié)構(gòu)SIR流行病模型的解的存在唯一性.文獻(xiàn)[3]研究了帶有垂直傳染和具有年齡結(jié)構(gòu)的接種流行病模型的解的存在性.

當(dāng)母體感染某種傳染病后，她體內(nèi)將產(chǎn)生相應(yīng)抗體，對處于潛伏期、染病期和已恢復(fù)的母體，她們所生育的子代在一個(gè)短暫時(shí)期內(nèi)具有自然免疫力，稱為被動免疫，當(dāng)被動免疫消失后，子代則變成易感者.本文考慮在以往具有年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型[4-8]的基礎(chǔ)上添加被動免疫，研究一類具有垂直傳染和年齡結(jié)構(gòu)的MSEIR傳染病模型的穩(wěn)定性.

1 模型建立

將人群分為被動免疫類、易感類、潛伏類、染病類和免疫類.M（a，t）、S（a，t）、E（a，t）、I（a，t）和R（a，t）分別表示被動免疫類、易感類、潛伏類、染病類和免疫類人群在t時(shí)刻年齡為a的人口密度.b（a）和 μ（a）分別表示與年齡相關(guān)的出生率和自然死亡率.[δ（a）]-1、[τ（a）]-1和[γ（a）]-1分別為平均被動免疫周期、平均潛伏周期和平均染病周期，不考慮因病死亡，κ1和κ2分別為E和I的垂直傳染率.設(shè)傳染病以混合比例方式傳播，令水平傳染力函數(shù)為

其中：a+＞ 0，k（a）為與年齡相關(guān)的接觸率，β（a）為與年齡相關(guān)的染病率.

建立MSEIR模型為

其中Q=（0，T）×（0，a+），且初邊值條件為

本文假設(shè)模型（1）～（2）滿足如下條件：

（A1）b（a）、δ（a）、τ（a）、γ（a）、β（a）、k（a）∈L∞[0，a+]，且b（a）、δ（a）、τ（a）、γ（a）、β（a）、k（a）均非負(fù).

（A2）M0（a）、S0（a）、E0（a）、I0（a）、R0（a）∈L1[0，a+]，且M0（a）、S0（a）、E0（a）、I0（a）、R0（a）均非負(fù).

（A3）μ（a）∈L∞loc[0，a+]，μ（a）≥0，且

定義若（M，S，E，I，R）∈（L∞（0，T）；L1（0，a+））5在每條特征線a-t=l上都絕對連續(xù)，（a，t）∈Q，l∈R，且M、S、E、I、R滿足式（1）及

則稱（M，S，E，I，R）為模型（1）～（2）的解.

2 解的存在唯一性

令

則模型（1）可寫為

記（x1，x2，x3，x4，x5）=（M，S，E，I，R），定義解的空間為

利用特征線法求解模型（3），可得

令

P（a，t）=M（a，t）+S（a，t）+E（a，t）+I（a，t）+R（a，t）則P（a，t）滿足

由文獻(xiàn)[9]可知，存在常數(shù)

使得在（0，T）上幾乎處處滿足‖P（·，t）‖L1（0，a+）≤CT，其中

定理 1設(shè)條件（A1）~（A3）成立，則模型（1）~（2）在空間X中存在唯一解（M，S，E，I，R）.

證明定義映射Π：X→X及等價(jià)范數(shù)為

則對任意 y1、y2∈X，有

且有

同理于式（7）可得

同理于式（8）~式（9）可得

利用式（7）~式（15），結(jié)合式（6）可得

其中A是與‖δ‖L∞（0，a+）、‖τ‖L∞（0，a+）、‖γ‖L∞（0，a+）、‖β‖L∞（0，a+）、‖k‖L∞（0，a+）有關(guān)的常數(shù).顯然當(dāng) α＞A時(shí)，Π是X上的壓縮映射，則Π存在唯一的不動點(diǎn)x0，即模型（1）~（2）存在唯一解 x0.證畢.

3 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

假設(shè)人群處于穩(wěn)定狀態(tài)，即

對模型（1）進(jìn)行歸一化變換，令

可得

模型（16）的平衡解滿足

求解模型（17）得

顯然，當(dāng)β0=0時(shí)，由式（18）可得e（a）≡i（a）≡r（a）≡0，即存在無病平衡點(diǎn)

設(shè)模型（16）存在指數(shù)形式的解

求解模型（20）得

定理2若0＜1，則無病平衡點(diǎn)W（0m（0a），s（0a），0，0，0）是局部漸近穩(wěn)定的；若0＞1，則無病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

證明顯然G（λ）關(guān)于λ嚴(yán)格遞減，且0.若0＜1，則特征方程（21）有唯一負(fù)實(shí)根 λ*，此時(shí)無病平衡點(diǎn)W0是局部穩(wěn)定的.進(jìn)一步，設(shè)λ=x+iy是方程（21）的任意一個(gè)復(fù)數(shù)根，x、y∈R，則由 1=G（λ*）=G（x+iy）≤G（x）可得 Re λ =x≤λ*，即 W0是局部漸近穩(wěn)定的.若0＞1，則存在唯一正常數(shù)λ*滿足方程（21），即特征方程（21）有唯一的正實(shí)根，此時(shí)無病平衡點(diǎn)W0不穩(wěn)定.證畢.