邢家省，楊義川，吳 桑

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

熱傳導(dǎo)方程的解是解析函數(shù),這是熱傳導(dǎo)方程的一個深刻的結(jié)果,在偏微分方程的研究中起著重要作用[1-10].奧列尼克[2]對熱傳導(dǎo)方程解的各階偏導(dǎo)數(shù)給出了先驗估計，證明了熱傳導(dǎo)方程的解是解析函數(shù).該結(jié)果是關(guān)于空間變量局部解析的.筆者將對熱傳導(dǎo)方程初值問題的解關(guān)于空間變量和時間變量是解析函數(shù)這一結(jié)論給出簡單的證明，并指出定解條件不同會導(dǎo)致解析性結(jié)果不同.

1 n維齊次熱傳導(dǎo)方程初值問題的解是解析函數(shù)的證明

考察n維齊次熱傳導(dǎo)方程初值問題

(1)

其中：x=(x1,x2,…,xn);Δu=ux1x1+ux2x2+…+uxnxn.利用Fourier變換法,可以得到n維齊次熱傳導(dǎo)方程初值問題的求解公式[1-10]

(2)

引理1[1]設(shè)φ(y)∈C(Rn),且φ在Rn上有界，

(3)

則對于Ret>0，u(z,t)是關(guān)于所有復(fù)變量z∈Cn,t∈C的解析函數(shù).

證明設(shè)復(fù)向量z=ξ+iη,復(fù)數(shù)t=σ+iτ，其中ξ,η為n維實向量,σ,τ為實數(shù).

從而對于σ>0，有

同理可證

關(guān)于復(fù)變量z,t在{(z,t)∈Cn×C,Ret>0}上是內(nèi)閉一致收斂的.

由引理1可得以下結(jié)果：

定理1設(shè)φ(y)∈C(Rn),且φ在Rn上有界，則由(2)式確定的函數(shù)u(x,t)在Rn×(0,+∞)上關(guān)于(x,t)是解析的.

注意到

定理2設(shè)φ(x)∈C(Rn),且存在常數(shù)|φ(x)|≤A+Ber|x|,使得|φ(x)|≤A+Ber|x|(x∈Rn),則由(3)式確定的函數(shù)u(x,t)(u(x,t)∈C(Rn×[0,+∞))∩C2,1(Rn×(0,+∞)))是問題(1)在Rn×(0,+∞)上的古典解,且u(x,t)∈C∞(Rn×(0,+∞))，對于t>0,u(x,t)是x的整解析函數(shù).

2 熱傳導(dǎo)方程解的偏導(dǎo)數(shù)估計

(4)

其中C=2n+10.

由極值原理[1-7]可推出在wR+ρ中，

(5)

于是

(6)

由此為了證明(4)式，只需證明在wR+ρ中對于適當(dāng)選擇的C1，有Lv≤0.

L(((R+ρ)2-(|x|2+|t|))2)=2(2n+1)((R+ρ)2-(|x|2+|t|))-8|x|2=q(x,t)，

于是

(7)

為了估計(7)式等號右邊的第3個和式，應(yīng)用估計式2ab≤a2+b2，可得

奧列尼克[2]應(yīng)用(4)式進一步建立了熱傳導(dǎo)方程解的任意階導(dǎo)數(shù)的估計：

(8)

(9)

從j=0開始，依次將j=1,…,k-1的情形代入(9)式，得到一系列的迭代不等式，由此可得(8)式.證畢.

(10)

由此推出(10)式成立.證畢.

3 熱傳導(dǎo)方程的解關(guān)于空間變量x的解析性

由牛頓二項式定理可得引理6.

引理7[1-2,10-14]對于任意正整數(shù)m，有mm≤m!em.

引理8[2]方程Lu=0在區(qū)域w中C2,1(w)類的解u(x,t)是變量(x1,x2,…,xn)的解析函數(shù)，即對于任意的點(x0,t0)∈w，當(dāng)|x-x0|<ε時，函數(shù)u(x,t0)可表示為按xj-x0j(j=1,…,n)的冪的形狀的收斂冪級數(shù)，其中ε=ε(x0,t0)>0.

證明根據(jù)文獻[1-2]中的結(jié)果，函數(shù)u(x,t)是w中x與t的無窮次可微函數(shù)，則由泰勒公式，有

應(yīng)用引理4中u(x,t)導(dǎo)數(shù)的估計，選取R+ρ足夠小，使得區(qū)域wR+ρ含于w，其中wR+ρ={(x,t):|x-x0|2+|t-t0|<(R+ρ)2,t

注1[1-2]在Rn+1的某個區(qū)域Q中，滿足齊次熱傳導(dǎo)方程的函數(shù)u(x,t)關(guān)于t不一定是解析的.

例如，任取x0∈RN,t0∈R，構(gòu)造函數(shù)

在齊次邊值條件下，邢家省等[15]證明了齊次熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的解關(guān)于(x,t)可展開成收斂的冪級數(shù)，即熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的解關(guān)于(x,t)是解析的.

4 熱傳導(dǎo)方程解的劉維爾定理

引理9[2](劉維爾定理) 設(shè)在半空間QT={(x,t):x∈Rn,t≤T}中給定了方程Lu=0的C2,1(QT)類的解u(x,t)，并設(shè)

(11)

其中C1，q為正常數(shù).那么，u(x,t)在QT中是冪次不高于[q]的關(guān)于x,t的多項式，更準確地，在QT中，

(12)

證明為了證明(12)式，只需證明u(x,t)的所有形如

(13)

的導(dǎo)數(shù)在QT中恒等于0.

(14)

其中常數(shù)C2與ρ無關(guān).顯然，當(dāng)k+2p>q時，(14)式的右端當(dāng)ρ→+∞時趨于0.如果|α|+2p≥[q]+1，那么|α|+2p>q，所以所有形如(13)式的導(dǎo)數(shù)在wR中等于0.因為R是任意數(shù)，所以在QT中這些導(dǎo)數(shù)等于0.證畢.

特別地，由引理9可以推出，方程Lu=0在下半空間QT={(x,t):x∈Rn,t≤T}中的有界解u(x,t)，在這個下半空間是常數(shù)[2].注意，方程Lu=0在上半空間Q={(x,t):x∈Rn,t>0}中的有界解未必是常數(shù).

對于調(diào)和方程的解，有學(xué)者[1-2,4]利用平均值定理給出了梯度估計，進而給出了高階偏導(dǎo)數(shù)的估計，由此證明了調(diào)和方程的解是解析函數(shù).而調(diào)和方程Δu=0的解u(x)可以看作是熱傳導(dǎo)方程Lu=0的解，于是利用熱傳導(dǎo)方程的結(jié)果，也可推出調(diào)和方程的解是解析函數(shù).此外，調(diào)和方程的解可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用極值原理，從而給出梯度估計.