陳小瓏

[摘? 要] 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，常以綜合題的形式出現(xiàn)，并且問題的命制形式和考查方式對(duì)實(shí)際教學(xué)有導(dǎo)向作用. 開展問題探究可以引導(dǎo)學(xué)生辨析問題知識(shí)點(diǎn)，掌握思路的構(gòu)建策略，提升學(xué)生的思維. 文章以一道函數(shù)與幾何綜合的試題為例，開展解后反思、教學(xué)思考，并提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);幾何;三角形相似;兩直線平行

二次函數(shù)與幾何綜合是中考常見的壓軸題，其解法具有一定的代表性，因此需要對(duì)解題思路的構(gòu)建過程加以剖析. 實(shí)際解題時(shí)，建議采用“題干深剖，逐問解決;以點(diǎn)聯(lián)面，幾何建?！钡牟呗?，即關(guān)注題干信息，挖掘隱含條件，把握幾何與函數(shù)的紐帶作用，結(jié)合幾何性質(zhì)建立模型.

題干呈現(xiàn)，條件解讀

問題? （2020年江蘇南京市?？碱}改編）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，- ），連接AC和BC.

題干解讀? 上述是二次函數(shù)與幾何的綜合題，給出了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn). 分析拋物線的解析式后發(fā)現(xiàn)，其乘積形式透露了兩個(gè)信息：一是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0），（-1，0）;二是兩交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，于是可以求出其對(duì)稱軸為x=1. 后續(xù)解題時(shí)除了可以充分利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)外，還可以從點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，推導(dǎo)直線解析式，由幾何性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)構(gòu)建方程.

逐問剖析，解法探究

該壓軸題共分為三小問，各小問的條件相互獨(dú)立，又具有一定的關(guān)聯(lián)性，探究解法時(shí)需要對(duì)條件進(jìn)行剖析，結(jié)合圖像來構(gòu)建解析思路.

第（1）問：試求拋物線的解析式.

該問求拋物線的解析式. 由y=a（x-3）（x+1）可知，實(shí)則是求a的值，故只需要將拋物線上異于A，B的點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中即可.

將C（0，- ）代入y=a（x-3）（x+1）中，可解得a= ，所以拋物線的解析式為y= （x-3）（x+1），即y= x2- x- .

第（2）問：拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)E是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF∥BC，直線EF與拋物線的另一交點(diǎn)為F. 設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b. 如圖1，直線y=kx+b與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，連接DG，如果△DGF∽△BDC，試求k和b的值.

該問的核心條件有兩個(gè)：①EF∥BC，②△DGF∽△BDC. 對(duì)于條件①，需根據(jù)B，C的坐標(biāo)，結(jié)合兩直線平行來確定k的值;對(duì)于條件②，則需要關(guān)注“相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定”這一條件，后續(xù)聯(lián)系相似三角形的性質(zhì)來確定E，F(xiàn)的坐標(biāo).

過點(diǎn)F作DG的垂線，垂足為H，如圖2. 易知A（-1，0），B（3，0），所以直線BC的解析式為y= x- . 因?yàn)镋F∥BC，所以k= . 由拋物線的對(duì)稱軸為x=1可知D（1，0），所以CD= =2. 所以CD=BD=2. 在Rt△COD中，因?yàn)镺D=1，OC= ，所以tan∠ODC= . 所以∠ODC=60°，∠CDB=120°. 因?yàn)椤鱀GF∽△BDC，所以DG=FG，∠DGF=120°. 設(shè)DG=FG=2m（m>0），在Rt△FGH中，有∠HGF=60°，則HG= FG=m，HF= m. 所以F（1+ m，3m）. 因?yàn)辄c(diǎn)F在拋物線上，將其坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)= ·（x-3）（x+1）后，可解得m1= ，m2= （舍去），故F（5，4 ）. 將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入EF的表達(dá)式y(tǒng)= x+b后可解得b= .

綜上可知，k= ，b= .

第（3）問：變更第（2）問的條件，將“直線y=kx+b與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，連接DG，如果△DGF∽△BDC”替換為“直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)M，與直線y= x交于點(diǎn)N”，如圖3，如果滿足 - = ，試求b的值.

該問是變更問題（2）的部分條件，則問題的兩個(gè)核心條件變?yōu)椋孩貳F∥BC，② - = . 同樣地，由條件①可求出k= ;對(duì)于條件②，可對(duì)其適當(dāng)變形，得到 - =1，對(duì)于其中的斜直線，可以采用“化斜為直”的策略，分別過相關(guān)點(diǎn)作y軸的垂線，顯然可以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立平行直線之間的線段關(guān)系，后續(xù)只需借助點(diǎn)的坐標(biāo)來構(gòu)建方程求解即可.

分別過F，N，E三點(diǎn)作y軸的垂線，垂足分別為P，Q，S，如圖4. 聯(lián)立y= x與直線EF的表達(dá)式y(tǒng)= x+b，可得N b， b;聯(lián)立直線EF的表達(dá)式與拋物線的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后可得x2-3x-3- b=0，其中E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)就是方程的兩個(gè)解，可分別設(shè)為x1和x2. 由韋達(dá)定理可得x1+x2=3，x1·x2=-3- b. 因?yàn)镋S∥NQ∥FP，所以△MNQ∽△MES，△MNQ∽△MFP. 由相似性質(zhì)可得 = = ， = = ，又 - =1，所以 - =1. 所以 · =-1，可解得b=2 .

解后反思，拓展變式

上述是對(duì)一道幾何與二次函數(shù)相結(jié)合的壓軸題的逐問剖析，所呈現(xiàn)的分析思路、模型構(gòu)建和計(jì)算推理過程具有一定的研究?jī)r(jià)值. 完成解法探究后有必要進(jìn)一步開展解后反思.

1. 反思問題的突破關(guān)鍵

本題共三個(gè)小問，其中第（2）問和第（3）問為核心之問，呈現(xiàn)了拋物線與幾何的綜合. 第（2）問求直線解析式的系數(shù)，突破的關(guān)鍵是對(duì)兩個(gè)幾何條件的分析與轉(zhuǎn)化;如何將兩直線平行和三角形相似關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，上述從直線斜率、三角函數(shù)視角完成了解答. 第（3）問同樣求直線解析式的系數(shù)，但條件變更為多條線段長(zhǎng)度的代數(shù)關(guān)系，突破的關(guān)鍵是如何利用該關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)，上述采用的是“化斜為直”的策略，結(jié)合相似三角形來實(shí)現(xiàn). 因此，解決函數(shù)與幾何的綜合題時(shí)，需要關(guān)注問題的核心條件，從函數(shù)與幾何的綜合視角來探索突破的關(guān)鍵點(diǎn).

2. 反思與歸納問題的解法

深入分析上述綜合題，可將第（2）問視為函數(shù)背景下的三角形相似問題. 對(duì)于該類問題，解析時(shí)需要充分利用相似三角形的特性，從兩大視角來構(gòu)建思路：一是基于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建線段比例關(guān)系;二是把握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，從幾何視角進(jìn)行拓展分析，引入三角函數(shù)，結(jié)合直角三角形構(gòu)建線段比值關(guān)系. 而第（3）問則可視為函數(shù)背景下的線段比值問題，實(shí)則是根據(jù)幾何線段關(guān)系來轉(zhuǎn)化代數(shù)式，同樣有多種方法，包括三角形相似時(shí)的對(duì)應(yīng)邊比例式、直角三角形的勾股定理、三角函數(shù)比例式等，在實(shí)際求解時(shí)需要充分利用點(diǎn)的坐標(biāo).

3. 思考問題的拓展方向

本題屬于函數(shù)與幾何的綜合題，其中涉及直線與拋物線相交、兩直線平行、三角形相似等知識(shí)，從相似、線段比例等視角進(jìn)行了考查，實(shí)際上還可以圍繞動(dòng)點(diǎn)，從幾何面積、特殊三角形的視角進(jìn)行函數(shù)與幾何的綜合，充分拓展學(xué)生的思維.

（1）變式方向1：幾何面積

問題：點(diǎn)E是第二象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF∥BC，直線EF與拋物線的另一交點(diǎn)為F，設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，點(diǎn)G是直線EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△BCG的面積為10，試求直線EF的解析式.

思路點(diǎn)撥：點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)已知，于是BC的長(zhǎng)固定，結(jié)合EF∥BC可確定k的值. 同時(shí)可將△BCG視為以BC為底、點(diǎn)G為頂點(diǎn)的三角形，則高為點(diǎn)G到直線BC的距離，由面積為10可確定高的值，再由距離公式即可確定b的值，從而確定直線EF的解析式.

（2）變式方向2：特殊三角形

問題：點(diǎn)E是第二象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF∥BC，直線EF與拋物線的另一交點(diǎn)為F，設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，連接EB，F(xiàn)B，若△EFB是以EF為底邊的等腰三角形，試求直線EF的解析式.

思路點(diǎn)撥：同樣地，由EF∥BC可確定k的值，由條件可知BE=BF，則點(diǎn)B在EF的垂直平分線上，于是可用參數(shù)b表示出點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出EF的中點(diǎn)H的坐標(biāo)，顯然BH⊥EF，則有kEF·kBH=-1，從而可解出b的值，求出直線EF的解析式.

教學(xué)思考，學(xué)習(xí)建議

1. 培養(yǎng)學(xué)生的圖形分離意識(shí)

對(duì)于函數(shù)與幾何的綜合題，圖形線條較為繁雜，如果不能根據(jù)條件排除干擾，很容易陷入思維誤區(qū)，造成推理、演算不暢，因此，教學(xué)中教師需要培養(yǎng)學(xué)生的圖形分離意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握從復(fù)合圖形中分離圖形的方法. 解題教學(xué)中需要分兩步進(jìn)行：第一步，讀題，理解圖形構(gòu)建的過程;第二步，提取圖形，結(jié)合問題中的幾何條件，進(jìn)行核心圖形分離，如相似三角形、直角三角形等. 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生熟悉常見的幾何模型，提升圖形分離與提取的意識(shí).

2. 引導(dǎo)學(xué)生開展知識(shí)綜合

“整合知識(shí)，構(gòu)建體系”是中考復(fù)習(xí)的重要階段，尤其是以函數(shù)為核心來進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)探究，如上述所涉及的三角形相似、兩直線平行、三角函數(shù)等，這些知識(shí)均具有極強(qiáng)的綜合性. 教學(xué)中，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生從基本的定理、定義入手，把握知識(shí)關(guān)聯(lián)，整理出條理清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并結(jié)合具體問題總結(jié)相應(yīng)的分析思路. 為追求良好的學(xué)習(xí)效果，教師可以結(jié)合知識(shí)進(jìn)行綜合練習(xí)、拓展練習(xí)，設(shè)置相應(yīng)的檢測(cè)環(huán)節(jié)，以強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用.