汪一敏

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常有一些說法似是而非，甚至錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)教師對(duì)此須有清晰的認(rèn)識(shí)，才能更好地進(jìn)行教學(xué)。

一、一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形

平行四邊形是不是軸對(duì)稱圖形？不少教師還是有疑惑的。有些教師接受了平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形的觀點(diǎn)，在教學(xué)中通過讓學(xué)生對(duì)一般的平行四邊形進(jìn)行探索（觀察折疊等），從而得到平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形的結(jié)論。但有些教師注意到特殊的平行四邊形是軸對(duì)稱圖形，如菱形。

我們?cè)谶M(jìn)行判斷推理時(shí)要用到概念，概念可以指向個(gè)體（概念中的元素），也可以指向整體（概念元素的集合）。如“人”，在說理的過程中它是指?jìng)€(gè)體，還是指整體，有時(shí)真會(huì)把人搞糊涂，所以為了明確地表達(dá)觀點(diǎn)，在“人”用于表達(dá)集合概念時(shí)，會(huì)用“人類”一詞。

但漢語中表達(dá)概念的詞有這種特性的不多，“白馬非馬”之所以能把許多人繞暈，就是因?yàn)椤榜R”既可以指向個(gè)體（具體的馬），也可以指向整體（馬的集合）。公孫龍牽著白馬來到城門前，守城士兵說“馬不能進(jìn)城”，公孫龍說“我的白馬不是‘馬”……這里士兵所說的“馬”是指?jìng)€(gè)體，而公孫龍所說的“馬”是指整體（集合概念）。從邏輯上而言，公孫龍的“詭辯”也沒有錯(cuò)，守城士兵無法反駁他，所以讓他牽馬進(jìn)城了。

對(duì)小學(xué)生來說，要理解“白馬非馬”中的邏輯關(guān)系有點(diǎn)困難，因?yàn)樗麄冸y以理解集合概念的含義。通常他們?cè)谑褂酶拍顣r(shí)，往往指向概念所屬的個(gè)體，從這個(gè)意義上說，“平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形”的說法是不對(duì)的，因?yàn)槠叫兴倪呅沃械牧庑危òㄕ叫危┦禽S對(duì)稱圖形。

當(dāng)我們把“平行四邊形”作為單個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象即作為集合概念看待時(shí)，“平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形”的說法也沒錯(cuò)，就像“白馬非馬”，這時(shí)上課的過程就不是通常所見的了。

當(dāng)教師理解、清晰了這其中的邏輯關(guān)系，就會(huì)選擇結(jié)論：“一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形。”并在課堂教學(xué)中有相應(yīng)的體現(xiàn)。

二、面動(dòng)成體的說法極不嚴(yán)謹(jǐn)

點(diǎn)、（直）線、（平）面是幾何學(xué)的基本元素，這種被抽象了的理想化元素的特點(diǎn)是點(diǎn)沒有大小，線沒有粗細(xì)，面沒有厚薄。那種聯(lián)系長(zhǎng)方形說“線”沒有寬度、聯(lián)系長(zhǎng)方體說“面”沒有高度的表述，既不恰當(dāng)，也無必要。

點(diǎn)、線、面這種理想化的特征，小學(xué)生理解起來有點(diǎn)困難。當(dāng)年虛數(shù)（復(fù)數(shù)）產(chǎn)生時(shí)，曾引起人們的不解和焦慮：它表示什么？如何理解？直到高斯用復(fù)平面解釋說，一個(gè)虛數(shù)（復(fù)數(shù)）表示復(fù)平面上的一個(gè)向量，才消除了人們的焦慮。用數(shù)學(xué)模型表征數(shù)學(xué)概念，可加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。當(dāng)學(xué)生疑惑地提出：“老師，那么有沒有粗細(xì)的線？”你可以這樣回答：“我畫一條給你看看?！保ㄒ娪覉D）

圖中黑白交界的線沒有粗細(xì)。兩條沒有粗細(xì)的線的交點(diǎn)沒有大小。

為了把點(diǎn)、線、面聯(lián)系起來，有些教師認(rèn)為“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”，并由此展開課堂教學(xué)。雖然在課堂氛圍中，師生對(duì)“動(dòng)”的理解并無歧義，“動(dòng)”即平移，但寫成文章，這種說法十分不妥。比如點(diǎn)動(dòng)成圓也是“動(dòng)”，圓繞其一條直徑旋轉(zhuǎn)一周也是“動(dòng)”，但結(jié)果是球。

點(diǎn)平移成線，線平移成面。有些教師在教學(xué)中是這樣詮釋“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”的，見下圖。

點(diǎn)A平移成線（段）AB，AB可以平移成長(zhǎng)方形面ABCD，長(zhǎng)方形面ABCD可以平移成長(zhǎng)方體。

是長(zhǎng)方體嗎？不是！長(zhǎng)方體內(nèi)部是“空”的，而平移出來的這個(gè)“長(zhǎng)方體”是實(shí)心的。

有的教師則簡(jiǎn)單一點(diǎn)，只想用動(dòng)的觀點(diǎn)來說明長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方體的聯(lián)系（見下圖）。

長(zhǎng)方形（垂直）平移一段距離，形成長(zhǎng)方體。結(jié)果這個(gè)“長(zhǎng)方體”只有四個(gè)面，面ABCD與它的相對(duì)的面是沒有的。

因此，“面動(dòng)成體”的說法極不嚴(yán)謹(jǐn)。

類似的錯(cuò)誤在各類教科書中也有出現(xiàn)。如“長(zhǎng)方形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是圓柱”（見右圖）。

這兩底面圓心有一連線的幾何體是圓柱嗎？

正確的應(yīng)該是“長(zhǎng)方形繞其一條對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是圓柱”。

（杭州師范大學(xué)教育學(xué)院? ?310000）