張曉萍，李偉康, 李進(jìn)金,2

(1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021; 2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000)

經(jīng)典粗糙集理論由波蘭學(xué)者Pawlak[1]首次提出,該理論可處理不確定、不精確、不一致的不完全數(shù)據(jù)信息.雖然經(jīng)典粗糙集理論不需要數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息，但仍具有一定的局限性[2-3]:需建立在等價(jià)關(guān)系基礎(chǔ)上、在大數(shù)據(jù)背景下計(jì)算效率低、屬性約簡(jiǎn)的過(guò)擬合.

為滿足數(shù)據(jù)處理的要求,許多學(xué)者對(duì)經(jīng)典粗糙集理論進(jìn)行一系列推廣,如一般關(guān)系下的粗糙集、變精度粗糙集[4-5]、局部粗糙集[3]、決策理論粗糙集[6]等,變精度粗糙集是在經(jīng)典粗糙集的基礎(chǔ)上,引入?yún)?shù)β(0≤β<0.5),即允許一定的錯(cuò)誤分類率發(fā)生[7-8].當(dāng)β=0時(shí),經(jīng)典粗糙集就是變精度粗糙集的特例.局部粗糙集理論可以更好地應(yīng)用于大數(shù)據(jù)處理,在計(jì)算上、下近似時(shí),無(wú)需考慮論域中的所有對(duì)象,只需考慮樣本中的對(duì)象,提高了數(shù)據(jù)處理的效率.文獻(xiàn)[6]引入決策風(fēng)險(xiǎn),作出的決策規(guī)則需使決策風(fēng)險(xiǎn)最小.目前，粗糙集理論及其推廣已廣泛地應(yīng)用于模式識(shí)別[9-10]、知識(shí)發(fā)現(xiàn)[9,11-12]、規(guī)則提取[9,13]和決策管理等領(lǐng)域.

概念逼近與屬性約簡(jiǎn)是研究粗糙集的兩個(gè)關(guān)鍵因素[3],對(duì)給出的新樣本做有效的概念逼近可以更加客觀地觀察新樣本,通過(guò)屬性約簡(jiǎn)、對(duì)象與屬性值之間的關(guān)系，可以對(duì)決策信息系統(tǒng)進(jìn)行有效的決策規(guī)則提取.決策規(guī)則提取往往出現(xiàn)在決策信息系統(tǒng)數(shù)據(jù)的處理中.利用粗糙集理論進(jìn)行決策規(guī)則提取時(shí)，一般會(huì)有兩類決策規(guī)則:確定性和可能性決策規(guī)則[14-16].基于此，文中對(duì)基于局部粗糙集模型下的決策規(guī)則提取進(jìn)行研究.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

假設(shè)U是一非空有限集合,稱為論域,R?U×U是U上一等價(jià)關(guān)系，則K=(U,R)稱為近似空間.x∈U的等價(jià)類記為[x]R,若[x]R=[y]R,則稱對(duì)象x與y在等價(jià)關(guān)系R上是不可區(qū)分的.

定義1[3]給出一個(gè)近似空間K=(U,R)及U的任意非空子集X,X的下近似和上近似分別為

2 局部粗糙集

在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中,為了計(jì)算給定的每個(gè)樣本X的上、下近似,需要考慮給定數(shù)據(jù)集的所有對(duì)象，在大數(shù)據(jù)背景下,要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力.因此，為了提高數(shù)據(jù)處理的效率,文獻(xiàn)[3]結(jié)合經(jīng)典粗糙集和決策理論粗糙集提出局部粗糙集.

定義3[3]設(shè)(U,R)為一近似空間,R?U×U為U上一二元關(guān)系,D是定義2U×2U上的包容度函數(shù),則U上的任一非空子集X的α-下近似和β-上近似分別為

表1 某公司面試人員的基本信息表Tab.1 Basic information table of interviewers of company

由例1可知：在局部粗糙集與經(jīng)典粗糙集中,給出論域的任一子集,調(diào)整參數(shù)值可使子集的上、下近似更加接近該子集,即應(yīng)用局部粗糙集理論可以對(duì)集合做更有效的概念逼近,數(shù)據(jù)處理更加精確.

3 局部粗糙集模型中的決策規(guī)則提取

3.1 規(guī)則提取[14]

用∧與∨分別表示邏輯連接詞“和”與“或”.在決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪syggg00)中，C為條件屬性，d為決策屬性.任何屬性值對(duì)(a,v)稱為A原子，a∈A?C,v∈Va,Va為對(duì)象在屬性a下的取值．任何A原子或者不同的A原子的∧稱為A描述．若t是A描述，則出現(xiàn)在t中的屬性記為A(t)，A(t)={a|(a,v)∈t}，具有描述t的對(duì)象集稱為t的支持，用‖t‖表示，‖t‖={x∈U|a(x)=v,?(a,v)∈t}，則易得‖t∩s‖=‖t‖∩‖s‖,‖t∪s‖=‖t‖∪‖s‖.

對(duì)于A?C，記DES(A)={t|t是一個(gè)A描述且‖t‖≠?}，若對(duì)任何的t∈DES(A)，有A(t)=A，則稱t是一個(gè)滿的A描述，記FDES(A)={t|t∈DES(A)且A(t)=A}.

例2繼例1，取A={學(xué)位,性別},t1=(學(xué)位,本科)，則‖t‖={x1,x5,x6}，此時(shí)，A(t)={學(xué)位},A(t)≠A，故t1不是滿的A描述；取t2=(學(xué)位,本科)∧(性別,男)，則‖t2‖={x1,x6}，此時(shí)，A(t2)={學(xué)位,性別},A(t2)=A，則t2是一個(gè)滿的A描述．

以下討論都建立在t是一個(gè)滿的A描述的基礎(chǔ)上，即t∈FDES(A)．

3.2 局部粗糙集的決策規(guī)則提取

在每個(gè)決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪syggg00)中都可以產(chǎn)生決策規(guī)則,合理的決策規(guī)則對(duì)新樣本的決策具有重要的參考作用,這不僅要求數(shù)據(jù)具有真實(shí)性和有效性,也要求在分析數(shù)據(jù)時(shí)提取合理的決策規(guī)則.

定理1對(duì)于決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪syggg00),s=(d,w)，w∈Vd，t∈FDES(C)，且0≤β<α≤1，則

1)D(‖s‖|‖t‖)≥α，當(dāng)且僅當(dāng)|{x∈U|d(x)=w∈?(t),?a∈C,(a,a(x))∈t}|≥α|‖t‖|;

2)D(‖s‖|‖t‖)>β，當(dāng)且僅當(dāng)|{x∈U|d(x)=w∈?(t),?a∈C,(a,a(x))∈t}|>β|‖t‖|.

|{x∈U|d(x)=w∈?(t),?a∈C,(a,a(x))∈t}|≥α|‖t‖|.

“?”充分性.w∈?(t)={d(x)|x∈‖t‖},則‖t‖∩‖s‖≠?,即D(‖s‖|‖t‖)>0.又因?yàn)?/p>

|{x∈U|d(x)=w∈?(t),?a∈C,(a,a(x))∈t}|≥α|‖t‖|，

2) 當(dāng)0<β時(shí),證明同1).

當(dāng)β=0時(shí),D(‖s‖|‖t‖)>0，當(dāng)且僅當(dāng)|{x∈U|d(x)=w∈?(t),?a∈C,(a,a(x))∈t}|>0.

“?”必要性.當(dāng)D(‖s‖|‖t‖)>0時(shí),‖t‖∩‖s‖≠?,存在x∈‖t‖∩‖s‖,使d(x)=w,故w∈?(t)={d(x)|x∈‖t‖}.同時(shí)，有{x∈U|d(x)=w∈?(t),?a∈C,(a,a(x))∈t}≠?.

“?”充分性顯然可見.

證畢.

定理2決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪syggg00)中,s=(d,w)，w∈Vd，t∈FDES(C)，且0≤β<α≤1，則

證明：由定理1即可證明.

對(duì)于X?U,A?C,基于局部粗糙集模型，推廣可得

表2 某同學(xué)瀏覽的房子的基本信息表Tab.2 Basic information table of house browsed by student

例3某同學(xué)去旅游前打算預(yù)定房子,他查看了10間房子,依次標(biāo)記為x1～x10,并且將價(jià)格、環(huán)境、結(jié)構(gòu)作為評(píng)價(jià)指標(biāo),即屬性集C={價(jià)格,環(huán)境,結(jié)構(gòu)}.該同學(xué)將此次瀏覽的信息制成表格,并給出“是否預(yù)定”的初步?jīng)Q策,如表2所示.

取α=0.6,s=(是否預(yù)定,是),則‖s‖={x2,x4,x6,x7,x9},能夠做α-確定的決策情況如下.

1) 考慮A=C={價(jià)格,環(huán)境,結(jié)構(gòu)}，有t=(價(jià)格,低)∧(環(huán)境,優(yōu))∧(結(jié)構(gòu),良)，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,過(guò)高)∧(環(huán)境,優(yōu))∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,高)∧(環(huán)境,良)∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,低)∧(環(huán)境,良)∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,低)∧(環(huán)境,良)∧(結(jié)構(gòu),良)，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1.

2) 考慮A?C={價(jià)格,環(huán)境}或者{環(huán)境,結(jié)構(gòu)}或者{價(jià)格,結(jié)構(gòu)}，那么，有t=(價(jià)格,低)∧(環(huán)境,優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,過(guò)高)∧(環(huán)境,優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,低)∧(環(huán)境,良)，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(環(huán)境,良)∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=0.67；t=(價(jià)格,過(guò)高)∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,低)∧(結(jié)構(gòu),良)，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,高)∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,低)∧(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1.

3) 考慮A?C={價(jià)格}或者{環(huán)境}或者{結(jié)構(gòu)}，那么，有t=(價(jià)格,低)，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(價(jià)格,過(guò)高)，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=1；t=(結(jié)構(gòu),優(yōu))，決策t→s的確定性因子Cer(t→s)=0.6.

4 結(jié)束語(yǔ)

在經(jīng)典粗糙集模型的決策規(guī)則提取中,確定因子Cer(t→s)=1的規(guī)則稱為確定性規(guī)則,結(jié)合局部粗糙集模型給出的規(guī)則提取公式，引入?yún)?shù)值α,α∈(0,1],使規(guī)則提取公式的泛化能力更強(qiáng),適用性更廣.當(dāng)α=1時(shí)，即普通的決策規(guī)則提取情況.在今后的工作中,將進(jìn)一步比較局部粗糙集模型與其他粗糙集模型的決策規(guī)則,以及多個(gè)粗糙集模型的結(jié)合決策規(guī)則提取.