云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院
Hilbert與變分法:1900年, 國際數(shù)學(xué)領(lǐng)袖、20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家D.Hilbert在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上, 提出的23個(gè)著名數(shù)學(xué)問題中有3個(gè)問題與變分法直接相關(guān), 特別是第23個(gè)問題就是 “變分法的進(jìn)一步發(fā)展”,Hilbert認(rèn)為變分法將匯入20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流。
希爾伯特(David Hilbert 1862-1943)
變分法的起源:18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家J.Bernoulli提出了最速降線問題:一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下,從一個(gè)給定點(diǎn)A到不在它垂直下方的另一點(diǎn)B,如果不計(jì)摩擦力,問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短?
變分法的重要里程碑:1973年,意大利倫琴科學(xué)院院士A.Ambrosetti和美國科學(xué)院院士P.H.Rabinowitz提出了著名的山路定理, 標(biāo)志著變分法有了重大發(fā)展。
變分法的近期發(fā)展:2018年,意大利數(shù)學(xué)家A.Figalli因在最優(yōu)傳輸理論及其在偏微分方程等方面的應(yīng)用做出的重要貢獻(xiàn)獲菲爾茲獎(jiǎng)(Fields Medal, 這是數(shù)學(xué)界2個(gè)最重要獎(jiǎng)項(xiàng)之一)。
A.Figalli
變分法中的2個(gè)典型困難:一是失去“緊性”;二是失去“光滑性”。
失去“緊性”的問題:最早在文[H.Brezis,L.Nirenberg,Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm.Pure Appl.Math.36 (1983)437-477]中提出。
失去“緊性”的典型例子Brezis-Nirenberg 問題:有界區(qū)域上帶臨界指數(shù)的問題
失去“光滑性”的問題:最早出現(xiàn)在文[S.Kurihara, Large-amplitude quasi-solitons in superfluids films, J.Phys.Soc.Jpn.50(1981)3262-3267]中提出的一類帶修正項(xiàng)的Schrodinger方程駐波的研究中.
X不是一個(gè)線性空間,u,v屬于X,不一定屬于X,很難找到一個(gè)合適的空間, 使得I是光滑泛函,這導(dǎo)致很多經(jīng)典的變分技巧不能直接用來研究該方程。
項(xiàng)目提出了變分泛函擾動(dòng)法。變分泛函擾動(dòng)法的主要思想:用光滑泛函逼近非光滑泛函。 考慮擾動(dòng)泛函
1)提出了一種把非光滑變分問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)變分問題的新方法——變分泛函擾動(dòng)法??朔思s束極小化、Nehari流形和變量代換等方法不能研究一般擬線性橢圓方程的局限性。該方法具有原創(chuàng)性, 已成為研究具有重要物理背景的帶修正項(xiàng)的Schr?dinger 方程解存在性的1種重要方法。
2)對擾動(dòng)方法做了進(jìn)一步的討論, 通過添加2項(xiàng)擾動(dòng)來獲得擬線性橢圓方程變號解的存在性。 特別將我們提出的新方法應(yīng)用于幾類典型的擬線性橢圓方程:全空間上擬線性橢圓方程;帶參數(shù)形式擬線性橢圓方程;帶臨界指數(shù)擬線性橢圓方程.取得了突破性的進(jìn)展。
3)項(xiàng)目還有其他幾個(gè)重要工作, 例如:全空間上非線性Schr?dinger方程組混合態(tài)解的存在性;漸近線性Schr?dinger方程變號解、半空間橢圓邊值問題、重調(diào)和方程及帶Hardy項(xiàng)的p-重調(diào)和方程變號解、哈密頓性橢圓方程組半經(jīng)典問題基態(tài)解的集中現(xiàn)象等。
該成果的70篇論文發(fā)表在Calc.Var.Partial Differential Equations, Comm.Partial Differential Equations, J.Differential Equations, Nonlinearity, Proc.Amer.Math.Soc.等該領(lǐng)域國際公認(rèn)的權(quán)威期刊上,全部被SCI收錄, 其中JCR一區(qū)期刊上52篇。ESI高被引論文5篇, 其新方法、新思想及新結(jié)果被國內(nèi)外同行在 Calc.Var.Partial Differential Equations,Comm.Partial Differential Equations,J.Differential Equations, Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect., Z.Angew.Math.Phys.等 SCI刊物上總引697次, 他引510次;單篇SCI論文他引最高為67次; 20篇核心論文SCI他引383次;8篇代表性論文SCI他引192次。
所開展的系列工作被國際數(shù)學(xué)界最重要的評論機(jī)構(gòu)“美國《數(shù)學(xué)評論》”收錄并摘評。例如:日本Kyoto Sangyo University, W.Tatsuya 教授在美國《數(shù)學(xué)評論》評論代表性論文[1]:“In this paper,the authors propose a newapproach…Their approach is effective for dealing with multiple solutions of quasilinear equations in a general form to which the idea of change of variables does not apply (在該文中,作者提出了一種新方法,克服了變量代換方法不能研究一般擬線性橢圓方程的局限性,并用該方法獲得了其無窮多解的存在性)”美國St.John’s University,F(xiàn).Catrina教授在美國《數(shù)學(xué)評論》評論代表性論文[3]:“The authors use a perturbation method to prove the existence of ground state solutions to modified nonlinear Schr"odinger equations.The existence of solutions is proved first for a perturbed problem with additional terms, and with constant(作者利用擾動(dòng)方法證明了帶修正項(xiàng)的擬線性Schr?dinger方程基態(tài)解的存在性,這是該方程在臨界情形下解存在性的第一個(gè)結(jié)果)”。
項(xiàng)目提出的新方法、新思想及獲得的新結(jié)果被美國、 意大利、日本、巴西、突尼斯、越南、波蘭以及國內(nèi)同行在該領(lǐng)域國際公認(rèn)的權(quán)威期刊上多次介紹和引用。國內(nèi)也有很多同行對我們的工作給予了高度評價(jià)。
1)發(fā)展了變分法,針對失去“光滑性”的問題,原創(chuàng)性地提出一種把非光滑變分問題轉(zhuǎn)化為光滑變分問題的新方法——變分泛函擾動(dòng)法, 完全克服了約束極小化、Nehari流形和變量代換等方法不能研究一般擬線性橢圓方程的局限性,該方法已成為研究擬線性橢圓方程特別是有重要物理意義的帶修正項(xiàng)的Schr?dinger方程解存在性的主要方法之一(見代表性論文[1])。
2)應(yīng)用所提出的新方法在擬線性橢圓方程解的存在性、多重性及解的性態(tài)分析等問題取得了突破性進(jìn)展(見代表性論文[2,3,6,7])。
3)發(fā)現(xiàn)了全空間及半空間上p-Laplace算子第二特征值及其等價(jià)定義,刻畫了該算子的特征值序列并完整描繪了相應(yīng)的特征曲線圖,結(jié)合團(tuán)隊(duì)所發(fā)展的Cerami條件下的變號臨界點(diǎn)定理,進(jìn)而在全空間及半空間上帶位勢井的漸近線性p-Laplace方程變號解存在性方面獲得系列全新結(jié)果;在高階Sobolev空間中提出了1種新的產(chǎn)生流不變集的算子,得到了重調(diào)和方程及帶Hardy項(xiàng)的p-重調(diào)和方程變號解的存在性(見代表性論文[4,5,8])。
4)代表性文獻(xiàn)
[1]Xiangqing Liu,Jiaquan Liu, Zhiqiang Wang.Quasilinear elliptic equations via perturbation method.Proc.Amer.Math.Soc.141(1) (2013) 253-263.
[2]Xiangqing Liu, Jiaquan Liu, Zhiqiang Wang.Quasilinear elliptic equations with criticalgrowth via perturbation method.J.Differential Equations 254(2013) 102-124.
[3]Xiangqing Liu, Jiaquan Liu, Zhiqiang Wang.Ground states for quasilinear Schr?dinger equations with critical growth.Calc.Var.Partial Differential Equations 46 (2013)641-669.
[4]Xiangqing Liu, Yisheng Huang.On signchanging solution for a fourth-order asymptotically linear elliptic problem.Nonlinear Anal.72 (2010)2271-2276.
[5]Xiangqing Liu, Jiaquan Liu.On a boundary value problem in the half-space.J.Differential Equations 250 (2011) 2099-2142.
[6]Xian Wu.Multiple solutions for quasilinear Schr?dinger equations with a parameter.J.Differential Equations 256(7) (2014) 2619-2632.
[7]Xian Wu, Ke Wu.Existence of positive solutions, negative solutions and high energy solutions for quasilinear elliptic equations on RN.Nonlinear Anal.Real World Appl.16(2014)48-64.
[8]Yanheng Ding, Cheng Lee, Fukun Zhao*.Semiclassical limits of ground state solutions to Schr?dinger systems.Calc.Var.Partial Differential Equations 51(2014) 725-760.